Кинематика поступательного и вращательного движения твердого тела

1. Материальной точкой называют тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь и считать, что вся масса тела сосредоточена в одной геометрической точке. Положение материальной точки в пространстве задается радиус-вектором

= x + y +z ,

где x, y, z – координаты точки; , , – единичные векторы (орты).
Движение материальной точки в пространстве описывается одним векторным уравнением = f (t) или эквивалентными ему тремя скалярными: x = f (t); = f (t); f (t), где t – время.

2. Мгновенная скорость материальной точки

,

где ; ; – проекции вектора скорости на оси координат.

Модуль мгновенной скорости равен первой производной пути S по времени t

υ = или = .

3. Средняя скорость

< > = ,

где – перемещение материальной точки за промежуток времени t.

4. Средняя путевая скорость

< υ > = ,

где – путь, который проходит материальная точка за промежуток времени .

5. Мгновенное (полное) ускорение материальной точки

= = ,

где ; ; – проекции вектора ускорения на оси координат.

Модуль мгновенного ускорения

.

Полное ускорение можно представить как геометрическую сумму тангенциальной и нормальной составляющих

или в скалярной форме

.

Числовые значения тангенциальной и нормальной составляющих ускорения

; ,

где R – радиус кривизны траектории в данной точке.

6. Кинематическое уравнение равномерного движения материальной точки относительно оси x

,

где – координата материальной точки в момент времени t; x₀ – начальная координата (координата в момент времени t = 0); – проекция вектора скорости на ось x.

При равномерном движении = const, .

7. Кинематическое уравнение равнопеременного движения относительно оси x

,

где – проекция вектора скорости на ось x в момент времени t = 0; – проекция вектора ускорения на ось x.

При равнопеременном движении = const и скорость точки определяется уравнением

.

8. Кинематическое уравнение вращательного движения материальной точки (или абсолютно твердого тела) относительно заданной оси вращения

= ,

где – угол поворота; – время.

9. Угловая скорость при вращательном движении определяется как первая производная угла поворота по времени t

.

Средняя угловая скорость

< > = ,

где – приращение угла поворота за промежуток времени .

10. Угловое ускорение равно первой производной угловой скорости по времени t

.

11. Кинематическое уравнение равномерного вращения относительно оси z

,

где – угол поворота в момент времени t; – начальное значение угла поворота (угол поворота в момент времени t = 0); – проекция вектора угловой скорости на ось z.

При равномерном вращении = const, = 0.

Равномерное вращательное движение характеризуется периодом вращения Т, то есть промежутком времени, за которое точка (тело) совершает один полный оборот:

.

Количество оборотов, совершаемых точкой (телом) при равномерном вращении в единицу времени, называют частотой вращения

.

12. Кинематическое уравнение равнопеременного движения относительно оси z

,

где – проекция вектора угловой скорости на ось z в момент времени
t = 0; – проекция вектора углового ускорения на ось z.

При равнопеременном вращении = const и угловая скорость точки (тела) определяется уравнением

.

13. Связь между линейными и угловыми величинами выражается формулами:

; ; ,

где R – радиус кривизны траектории в данной точке.

14. Среднее значение функции за промежуток времени от t₁ до t₂определяется выражением

< у > = .

Пример 1.Точка движется по прямой согласно уравнению . Определить среднюю путевую скорость < υ > точки в интервале времени от t₁= 2 c до t₂ = 6 c.

Дано: ; .

Найти: < υ >.

Решение. Найдем координаты точки в моменты времени t₁ и t₂:

;

.

Проекция вектора скорости на ось x изменяется с течением времени по закону

.

Найдем значения в моменты времени t₁ и t₂:

м/с;

м/с.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что направление движения точки изменяется на противоположное, так как в момент времени t₁ = 2 c точка движется в сторону положительного направления оси x (положительное значение ), а в момент времени t₂ – в противоположном направлении (отрицательное значение ). Момент времени t₀, когда точка изменяет направление движения, найдем из условия

.

Тогда

.

Отрицательное значение корня не удовлетворяет условию задачи, поэтому принимаем t₀ = 4 c.

Найдем координату точки в момент времени t₀:

.

Найдем среднюю путевую скорость

< υ > .

Произведем вычисления

< υ > м/с.

Ответ: < υ >=3 м/с.

Пример 2. Точка движется по дуге окружности радиуса R. Ее скорость зависит от пройденного пути S по закону , где – постоянная. Найти угол между вектором полного ускорения и вектором скорости в зависимости от S.

Дано: R – радиус окружности, по которой движется точка; − зависимость скорости от пройденного пути; – постоянная.

Найти: = f (S).

Решение: Из рисунка 1 видно, что

, (1)

где – нормальная и тангенциальная составляющие ускоре-
Рис.1 ния.

Нормальная составляющая ускорения равна .

Тангенциальная составляющая ускорения

Подставляя значения и в уравнение (1), получим .

Анализ размерности показывает, что величина безразмерная, и убеждает в правдоподобности ответа.

Ответ: .

Пример 3. Вентилятор вращается с частотой об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = 75 оборотов. Какое время t прошло с момента выключения до полной его остановки?

Дано: ; N = 75.

Найти: t.

Решение: Пусть вентилятор вращается относительно оси z (рис. 2). Так как движение является равнозамедленным, то вектор углового ускорения направлен противоположно вектору угловой скорости . Запишем уравнение движения относительно оси z

(1)

z

Проекция вектора угловой скорости на ось z изменяется с течением времени по закону

.

В момент остановки , поэтому

,

где t – время движения вентилятора после выключения до остановки.

Подставим это выражение в уравнение (1), учитывая, что :

.

Рис. 2

Так как ; , то

.

Выполним проверку размерности

.

Произведем вычисления

.

Ответ:t = 10 c.