Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела

Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru Рассмотрим движение твердого тела, имеющею ось вращения Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru под действием произвольно направленной силы Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru , приложенной к телу в некоторой точке А , которую можно разложить на две составляющие: вертикальную и горизонтальную (рис.5.1). Вертикальная составляющая может вызывать перемещение тела в направлении оси вращения поэтому при рассмотрении вращательного движения ее можно исключить.Горизонтальная составляющая Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru , если она не пересекается с осью Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru вызывает вращение тела. Действие этой силы зависит от ее числового значения и расстояния линии действия от оси вращения. Пусть на тело, в плоскости перпендикулярной оси вращения Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru действует сила Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru (рис.5.2). Разложим эту силу на две составляющие: Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru и Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru

Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru Сила Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru пересекает ось вращения и, следовательно, не влияет на вращение тела. Под действием составляющей Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru тело будет совершать вращательное движение вокруг оси Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru . Расстояние Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru от оси вращения до линии вдоль которой действует сила Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru называется плечом силы Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru . Моментом силы относительно точки О называется произведение модуля силы Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru на плечо Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru

Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru С учетом, что Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru момент силы Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru .С точки зрения векторной алгебры это выражение представляет векторное произведение радиуса-вектора Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru , проведенного в точку приложения силы Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru на эту силу. Таким образом, момент силы относительно точки О является векторной величиной и равен Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru Вектор момента силы направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через векторы Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru и Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru , и образует с ними правую тройку векторов (при наблюдении из вершины вектора М видно, что вращение по кратчайшему расстоянию от Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru к Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru происходит против часовой стрелки).Согласно второму закону Ньютона, для тангенциальной составляющейсилы Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru , действующей на материальную точку массой m, и ускорения Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru можем записать Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru С учетом, что

Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru и Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru имеем Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru Домножимлевую и правую части на Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru и получим Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru

20. Вычисление момента инерции. Примеры. Теорема Штейнера.Момент инерции тела J относительно произвольной осиравен сумме момента инерции этого тела Jcотносительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстоянияdмежду осями(теорема Гюйгенса-Штейнера).Найдем зависимость между моментами инерции тела относительно параллельных осей z и z', одна из которых проходит через центр масс С тела. Проведем остальные оси так, как это показано рисунке

Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru По определению осевых моментов инерции имеем Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru , Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru

Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru , Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru .Тогда Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru Так как Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru и согласно Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru получаем Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru

21. Момент импульса и его сохранение. Гироскопические явления.Моментом импульса (моментом количества движения) материальной точки относительно неподвижной точки О называется вектор L, равный векторному произведению радиус-вектора r, проведенного из точки О в место нахождения материальной точки, на вектор p ее импульса L=r*P, где r - радиус-вектор частицы относительно выбранного начала отсчета, p – импульс частицы. Момент импульса системы относительно неподвижной точки:Если тело вращается вокруг одной из главных осей инерции, то направление вектора момента импульса тела совпадает с направлением вектора его угловой скорости, а значение момента импульса может быть выражено через момент инерции Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента) — векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется со временем.Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства.гироскопы — массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси сим метрии, являющейся свободной осью.Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу относительно его центра масс, отличен от нуля, то наблюдается явление, получившее название гироскопического эффекта. Оно состоит в том, что под действием пары сил F, приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа поворачивается вокруг прямой О3О3, а не вокруг прямой О2О2, как это казалось бы естественным на первый взгляд (O1O1 и О2О2 лежат в плоскости чертежа, а О3О3 и силы F перпендикулярны ей).

Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru

22. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.Кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек па которые это тело можно разбить: Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru , то линейная скорость i-ой точки равна Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru , где Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru , - расстояние от этой точки до оси вращения. Следовательно. Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru где Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru - момент инерции тела относительно оси вращения.В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений - поступательного со скоростью, равной скорости Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru центра инерции тела, и вращения с угловой скоростью Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. При этом выражение для кинетической энергии тела преобразуется к виду Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru где Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

23. Пружинный маятник. Гармонические колебания. Характеристики гармонических колебаний: смещение, амплитуда, фаза, циклическая частота, период, скорость, ускорение. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.Колебания— повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы. Например, при колебаниях маятника повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения; при колебаниях в электрическом колебательном контуре повторяются величина и направление тока, текущего через катушку.Классификации колебанийВыделение разных видов колебаний зависит от свойства, которое хотят подчеркнуть.Для подчёркивания разной физической природы колеблющихся систем выделяют, например, колебания:механические (звук, вибрация);электромагнитные (свет, радиоволны, тепловые);комбинации вышеперечисленных;По характеру взаимодействия с окружающей средой:вынужденные – колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия;собственные или свободные – колебания при отсутствии внешних сил, когда система, после первоначального воздействия внешней силы, предоставляется самой себе (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие);автоколебания – колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии и она расходуется на совершение колебаний (пример такой системы - механические часы).Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), наз. гармоническими колебаниями.Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени.Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени.Гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса (косинуса). Гармонические колебания описываются уравнением типа: Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru , где s – смещение колеблющейся точки от положения равновесия. А - максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебанияω0 — круговая (циклическая) частота,φ — начальная фаза колебания в момент времени t=0, (ω0t+φ) - фаза колебания в момент времени tФаза колебания есть значение колеблющейся величины в данный момент времени. Так как косинус имеет значение в пределах от +1 до –1, то s может принимать значения от +А до –А. Определенные состояния системы, которая совершает гармонические колебания, повторяются через промежуток времени Т, имеющий название период колебания, за который фаза колебания получает приращение (изменение) 2π, т. е. Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru откуда Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru (2)Величина, братная периоду колебаний, Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru (3)т. е. число полных колебаний, которые совершаются в единицу времени, называется частотой колебаний. Сопоставляя (2) и (3), найдем Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц — частота периодического процесса, во время которого за 1 с совершается один цикл процесса.
Найдем первую и вторую производные по времени от величины s, совершающей гармонические колебания: Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru (4)
Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru (5) т. е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды величин в формулах (4) и (5) соответственно равны Аω0 и Аω02 . Фаза величины в формуле (4) отличается от фазы величины в формуле (1) на π/2, а фаза величины в выражении (5) отличается от фазы величины (1) на π. Значит, в моменты времени, когда s=0, ds/dt имеет наибольшие значения; когда же s становится равным максимальному отрицательному значению, то d2s/dt2 равен наибольшему положительному значению.Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки. Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru , или , где m – масса точки, k – коэффициент квазиупругой силы (k=mw2).Пружинный маятникКолебательная система в этом случае представляет собой совокупность некоторого тела и прикрепленной к нему пружины. Пружина может располагаться либо вертикально (вертикальный пружинный маятник), либо горизонтально (горизонтальный пружинный маятник).

Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru где ах – ускорение, m - масса, х - смещение пружины, k – жесткость пружины.Это уравнение называют уравнением свободных колебаний пружинного маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:1)силы трения, действующие на тело, пренебрежимо малы и поэтому их можно не учитывать;2) деформации пружины в процессе колебаний тела невелики, так что можно их считать упругими и в соответствии с этим пользоваться законом Гука.Закон Гука, устанавливает линейную зависимость между упругой деформацией твердого тела и приложенным механическим напряжением. Напр., если стержень длиной l и поперечным сечением S растянут продольной силой F, то его удлинение = Fl/ ES, где E — модуль упругости (модуль Юнга).Свободные колебания пружинного маятника имеют следующие причины.1. Действие на тело силы упругости, пропорциональной смещению тела х от положения равновесия и направленной всегда к этому положению.2. Инертность колеблющегося тела, благодаря которой оно не останавливается в положении равновесия (когда сила упругости обращается в нуль), а продолжает двигаться в прежнем направлении.Выражение для циклической частоты имеет вид: Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru где w - циклическая частота, k - жесткость пружины, m - масса.Эта формула показывает, что частота свободных колебаний не зависит от начальных условий и полностью определяется собственными характеристиками самой колебательной системы — в данном случае жесткостью k и массой m. Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru Это выражение определяет период свободных колебаний пружинного маятника.

Математический маятник.

Математическим маятником называется тяжёлая материальная точка, которая двигается или по вертикальной окружности (плоский математический маятник), или по сфере (сферический маятник). В первом приближении математическим маятником можно считать груз малых размеров, подвешенный на нерастяжимой гибкой нити. Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru
Рассмотрим движение плоского математического маятника по окружности радиуса l с центром в точке О (рис. 1). Будем определять положение точки М(маятника) углом отклонения j радиуса ОМ от вертикали. Направляя касательную Mt в сторону положительного отсчёта угла j, составим естественное уравнение движения. Это уравнение образуется из уравнения движения mW=F+N, (1)где F — действующая на точку активная сила, а N — реакция связи. Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru Уравнение (1) мы получили по второму закону Ньютона, который является основным законом динамики и гласит, что производная по времени от количества движения материальной точки равна действующей на неё силе, т. е. Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru

25. Физический маятник. Приведенная длина. Свойство оборотности.Физический маятник - твердое тело, совершающее колебания в гравитационном поле вокруг горизонтальной оси подвеса, расположенной выше его центра тяжести. Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной. Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru При небольших углах отклонения (рис.7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F. Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α Динамика вращательного движения. Момент силы и момент инерции. Основной закон механики вращательного движения абсолютно твердого тела - student2.ru

Наши рекомендации