Динамика вращательного движения твердого тела

Цель работы: 1. Измерить время одного оборота шкива при различных массах

груза, вычислить угловое ускорение вращающейся системы тел и момент силы. Построить график зависимости углового ускорения от момента силы.

2. Измерить время одного оборота шкива при различных расположениях дисков на стержне, вычислить момент инерции системы тел двумя способами. Построить графики зависимости момента инерции от квадрата расстояния от дисков до оси вращения.

Аппаратура: Измерительная система (ИСМ), таймер, фотодатчик, светодиод,

линейка.

Описание эксперимента.

1. Движение твердого тела можно разложить на движения поступательное и вращательное. Причиной вращательного движения является момент силы . Момент силы определяет как силой , так и координатой точки приложения силы.

Момент силы равен

Момент силы является причиной, вызывающей вращательное движение и играет ту же роль, что и сила при поступательном движении.

Реакцией твердого тела на приложенные моменты сил является ускоренное, неравномерное вращение тела. Угловое ускорение тела зависит не только от момента сил, но и от массы, размеров и формы тела. Физическая величина, которая характеризует инертные свойства тела при вращательном движении, называется моментом инерции твердого тела .

Момент инерции при вращательном движении играет ту же роль, что и масса при поступательном движении.

Уравнение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси имеет вид:

Тогда моментом инерции называется величина равная:

Момент инерции определяется относительно заданной оси вращения. Для одного и того же тела момент инерции относительно различных осей имеет различные значения.

2. Экспериментальная установка изображена на рис.1. и состоит из штатива (1), шкива (2), с укреплённым на нём стержнем (3) с дисками (4), которые можно перемещать по стержню. На шкив намотана нить (5) с подвешенным к ней грузом (6), который собирается из отдельных гирек. При опускании груза шкив со стержнем и дисками вращается под действием момента силы натяжения нити. Таймер (7) измерительной системы (ИСМ) измеряет время t одного оборота шкива.

3. В лабораторной работе измеряют время движения и перемещение груза (6). Затем измеряют угловое ускорение , момент силы натяжения и момент инерции .

Лабораторная работа состоит из двух упражнений.

В упражнении 1 изменяют массу m груза (6). При этом изменяется сила натяжения нити и момент силы натяжения . Момент инерции системы при этом остаётся постоянным, но изменение момента силы приводит к изменению углового ускорения , которое рассчитывают по измеренному времени t и пути , пройденному грузом (6). Проведя четыре серии измерений (с различными массами груза m), строят график зависимости углового ускорения от момента силы натяжения нити .

В упражнении 2, масса m груза (6) постоянна, но изменяют момент инерции , перемещая диски (4) по стержню (3). При этом изменятся расстояние R от оси вращения до центра диска. Вычисляют момент инерции для четырех различных значений R двумя разными способами. Строят графики зависимости моментов инерции J₁ и J₂ от квадрата расстояния R² .

Расчетные формулы.

1. За время одного оборота шкива радиуса r с намотанной на него нитью груз перемещается на расстояние равное длине окружности . Движение груза массой m является равноускоренным ( ). Поскольку в момент времени t=0 скорость V₀=0, то закон движения груза имеет вид:

,

отсюда ускорение груза равно

Это ускорение равно тангенциальному ускорению точек обода шкива , которое может быть выражено через угловое ускорение ε:

Расчетная формула для углового ускорения имеет вид:

(1)

2. Рассмотрим вращательное движение стержня с укрепленными на нем дисками и поступательное движение груза на нити – рис.1.

Уравнение поступательного движения груза в проекции на ось Х имеет вид:

откуда

или

Момент силы натяжения нити равен:

или

Расчетная формула для момента силы натяжения имеет вид:

(2)

Момент инерции по определению равен:

Поэтому учитывая (1) и (2) получим расчетную формулу для момента инерции:

(3)

Это один из двух способов определения момента инерции. Назовем этот способ «первым». Вычисленный по (3) момент инерции обозначим . Второй способ вычисления изложен ниже, в пункте 4.

3. Для вычисления ошибок используют следующие формулы:

Случайная абсолютная ошибка прямых измерений времени:

(4)

Случайная относительная ошибка прямых измерений времени:

(5)

Случайная абсолютная ошибка косвенных измерений углового ускорения из (1):

(6)

Случайная абсолютная ошибка косвенных измерений момента силы из (2):

(7)

Случайная абсолютная ошибка косвенных измерений момента инерции из (3):

(8)

4. Момент инерции можно вычислить другим способом. Обозначим результат этого способа вычисления .

Момент инерции системы равен сумме моментов инерций стержня и двух одинаковых дисков :

,

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его центр масс равен:

где – масса, а - длина стержня.

Момент инерции диска относительно оси вращения, которая совпадает с осью диска, равен:

где - масса, а – радиус диска.

Поскольку центр инерции диска, укрепленного на стержне, находится на расстоянии R от оси вращения (рис.1), то момент инерции рассчитывают по теореме Штейнера:

Тогда вторая расчетная формула для момента инерции имеет вид:

(9)

Величины, необходимые для вычисления записать в таблицу I.

Порядок выполнения лабораторной работы.

Упражнение 1.

Определение зависимости углового ускорения

от момента силы.

1. Измерить и записать в таблицу I радиус шкива r и массу груза (6)

2. Закрепить на шкиве (2) стержень (3) с цилиндрами (4).

3. Установить тумблеры измерительной системы ИСМ:

а) «сеть» блока ИСМ – включить;

б) « » - в положение «К₂»;

в) «цикл/однокр» - в положение «однокр»;

г) «:2/:1/:4» - в положение «:1» . Таймер измеряет время одного оборота шкива.

4. Установить начальное положение шкива на нулевой отметке. В этом положении щель диска, расположенного за блоком, попадает в зазор между фотодатчиком и светодиодом и на панели измерительной системы светится индикатор. Таймер при этом отключён.

5. Нажать кнопку «готов»,придерживая рукой шкив на нулевом делении шкалы. На табло таймера появятся нули «0000».

Отпустить шкив, при движении которого диск, расположенный за блоком, перекрывает луч света, фототок прекращается и таймер включается.

6. После одного оборота шкива щель диска снова попадает в зазор между фотодатчиком и светодиодом – таймер отключается, раздается звуковой сигнал, а табло таймера показывает время t одного оборота. Записать t в таблицу II.

7. Повторить четыре раза пункты 4- 6. Это первая серия измерений.

8. Изменить массу m_i груза на нити и записать ее значение в таблицу II.

Повторить пункты 4 –7. Это вторая серия измерений

9. Повторить пункт 8 два раза. Это третья и четвертая серии измерений.

Результаты обработки измерений (п.4-9) записывать в таблицу II.

10. Вычислить для каждой из четырех серий измерений среднее значение , среднюю абсолютную (формула 4) и относительную (формула 5) ошибки измерений времени.

11. Вычислить для каждой из четырех серий измерений угловое ускорение (1) и абсолютную ошибку (формула 6).

12. Вычислитьдля каждой из четырех серий измерений момент силы натяжения (2) и абсолютную ошибку (формула 7).

13. Построить на миллиметровке график зависимости углового ускорения от момента силы , откладывая в каждой точке абсолютные ошибки и . (См. Приложение.)

Таблица I.

Величины необходимые для вычисления момента инерции

Радиус шкиваr,м	Перемещение грузаS=2 r, м	Масса стержняmст., кг	Длина стержня , м	Масса диска , кг	Радиус диска ,м

Таблица II.