Примеры повторных испытаний:
Формула полной вероятности и формула Байеса
Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий 
, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле
.
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых 
. Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности
Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез .
По теореме умножения вероятностей
,
откуда
.
Аналогично, для остальных гипотез
Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез 
называются апостериорными вероятностями, тогда как 
- априорными вероятностями.
Формула Байеса
Пусть событие 
происходит одновременно с одним из 
несовместных событий 
. Требуется найти вероятность события 
, если известно, что событие произошло.
На основании теоремы о вероятности произведения двух событий можно написать
Откуда
или
Примеры повторных испытаний:
1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;
2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).
Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. p=P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой q=P(A¯¯¯)=1−p.
Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли
Pn(k)=Ckn⋅pk⋅qn−k,q=1−p.
Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.
48) Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)
Для определения значений φ(x) можно воспользоваться специальной таблицей.
Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна
P(k1;k2)=Φ(x'') - Φ(x')
Здесь
-функция Лапласа
49) Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между отдельными возможными значениями и их вероятностями .
Закон распределения дискретной случайной величины проще представить в виде таблицы распределения, в первой строке которой указывают возможные значения случайной величины, а во второй строке — соответствующие вероятности этих значений.
Здесь х1, х2, x3, х4,...,хn — значения, которые может принять случайная дискретная величина X и соответствующие вероятности
p1=Р(Х=х1), p2=Р(Х=х2),
p3=Р(Х=х3), p4=Р(Х=х4).
pn=Р(Х = хn) и p1+p2+p3+p4+...+pn=1