Тақырыбы: Динамиканың кері есебін шығару

Есептің шарты : Жүк Д , массасы m , бастапқы жылдамдығын V₀ , А нүктесінен алып , тік жазықтықта орналасқан АВС иілген құбырмен суретте көрсетілгендей қозғалуда.

Жүкке АВ учаскесінде ауырлық күшінен басқа Q тұрақты күші (бағыты суретте көрсетілген ) және V жүктің жылдамдығына тәуелді , ортаның кедергі күші R. әсер етеді . (Кедергінің бағыты , қозғалыс бағытына қарама - қарсы.)

АВ учаскесінде жүктің құбырға үйкелісін ескермеуге болады. В нүктесінде жүк өзінің жылдамдық шамасын өзгертпей құбырдың ВС учаскесіне өтеді, қай жерде оған ауырлық күшінен басқа үйкеліс күші ( жүктің құбырға үйкеліс коэффиценті f = 0,2) және айнымалы күш Т әсер етеді, шамасы 5-ші кестеде берілген.

Жүкті материалды нүкте деп есептеп және АВ = i арақашықтығын немесе жүктің А нүктесінен В нүктесіне дейінгі – t₁, қозғалыс уақытты біле отырып , жүктің ВС учаскесіндегі, демек х ≤ f(t) қозғалыс заңын табу керек.

Есепті шығарудың жалпы әдісі

1.Жүктің ВС учаскесіндегі қозғалысын қарастырамыз , еркін масштабта ВС учаскесі үшін есептеу схемасын кұрастырамыз , Д жүгін қандайда бір аралық қалыпта көрсетеміз; координата осін (X осін) ВС учаскесінің бойымен бағыттап , санақ басын В нүктесінен аламыз; Д жүгіне әсер етуші барлық күштерді көрсетеміз.

2.Д жүгінің ВС учаскесіндегі дифференциалдық қозғалыс тендеуін түрінде құрастырамыз.

З.Осы теңдеуді екі рет интегралдау қортындысында қозғалыс заңын аламыз. Қозғалыс заңына кіретін интеграл тұрақтылары бастапкы шарттар бойынша анықталады. (жылдамдыктың мәні V және t₀=0 уақыт моменті кезіндегі X орын ауыстыру)

4.Есептің шарты бойынша жүк В нүктесіндегі қозғалысында жылдамдықтың шамасын өзгертпейді. Олай болса қозғалыстың ВС учаскесіндегі V_B бастапқы жылдамдығын сонымен қатар бір уақытта АВ учаскесі үшін соңғы жылдамдық болатын V_B -ны анықтау үшін , жүктің АВ учаскесіндегі қозғалысын қарастырамыз.

5. (1) және (2) пунктке ұқсас есеп схемасын және АВ учаскесіндегі жүктің дифференциалдық қозғалыс теңдеуін қарастырамыз.

6.Осы теңдеуді бір рет интегралдап, жүктің учаске соңындағы V_B қозғалыс жылдамдығын анықтаймыз.

Ескеру керек , егер есептің шарты бойынша АВ учаскесін өтудің уақыты емес , ұзындығы берілсе , онда интегралдамас бұрын уақыт бойынша айнымалыдан арақашықтық бойынша айнымалыға көшкен дұрыс , келесі шарт бойынша:

(табылған)

7.Алынған қозғалыс теңдеуіне V_B жылдамдығының мәнін қойып , қозғалыс заңын түпкілікті анықтаймыз.

Сурет 5. №5 есебінің схемасы

Кесте 5

№5 есебінің варианттарының берілгені

№5 есебіне мысал

Есептің шарты: Құбырдың АВ учаскесінде массасы m = 2кг Д жүгіне , Р ауырлық күші , Q тұрақты күш Q = 10 Н және R = 0,4 V² кедергі күші әсер етеді . Жүк Д бастапқы V₀ =5 м/с жылдамдығын А нүктесінен алып В нүктесіне дейін l = 2,5 м арақашықтығын өтіп , жылдамдығын өзгертпестен құбырдың ВС учаскесіне өтеді. Бұл учаскеде жүкке ауырлық күшінен басқа үйкеліс күші (жүктің құбырға үйкеліс коэффиценті f = 0,2) және айнымалы күш Т= 16Sin (4t) әсер етеді.

Құбырдың орналасу схемасы 5.1- суретте көрсетілген. Жүктің құбырдың ВС учаскесіндегі қозғалыс заңын аныктандар . Есептеу кезінде g = 10 м/с² алуға болады.

Сурет 5.1. №5 есептің мысалына есептеу схемасы

Шешуі:

1.Есеп схемасында Д жүгіне ВС учаскесінде әсер етуші барлық күштерді көрсетеміз .Т күші оң таңбалы болғандықтан қозғалыс бағытымен бағытталады , жүктің кұбырға үйкеліс күші Ғ_үйк - қозғалысқа қарама-қарсы , ауырлық күші Р- тік төмен және құбырдың жүкке нормаль реакция құраушысы N – кұбырға перпендикуляр . X осін ВС құбырының бойымен бағыттап , осьтің басын В нүктесінен аламыз.

2.Жүктің осы учаскедегі қозғалысының дифференциалдық теңдеуін құрастырамыз:

(1)

Осы теңдеуді біздің схемамызға қолданатындай етіп жазайық. Бұл теңдеудің оң жак бөлігі барлық күштердің X осіндегі проекциаларының қосындысынан құралады , демек

(2)

Өз кезегінде ауырлық күшін , жүктің массасы және еркін түсу үдеуі арқылы өрнектеуге болады:

Р = тg (3)

Ал үйкеліс күшін Кулон заңы бойынша үйкеліс коэффиценті арқылы және нормаль реакция байланыс құраушысымен өрнектейміз:

(4)

N реакциясын анықтау үшін барлық күштерді X осіне перпендикуляр оске проекциялаймыз және Д жүгі бұл бағытга орын ауыстырмайтындықтан , бұл проекциялардың қосындысы нольге тең болу керек , демек

Осында (3) ескере отырып , табатынымыз:

(5)

(5), (4), (3), (2) теңдеулерін (1) теңдеуге қойып және берілген Т мәнін ескере, алатынымыз:

Осы теңдеуді интегралдамас бұрын оны түрлендіреміз . Теңдіктің сол жақ жәнеоң жақ бөлігін m - ге бөлеміз , үдеуін жылдамдыктың дифференциалы ретінде көрсетеміз:

Айнымалыларды бөліп , теңдіктің оң жақ және сол жағын dt - ға бөліп жәнеинтегралдап, алатынымыз:

(6)

Жылдамдықты бірінші туынды ретінде өрнектеп , тағыда айнымалыларды бөліп және интегралдап , алатынымыз: (7)

5.Теңдеудегі С₁ және С₂ интегралдың тұрақтыларын бастапқы шарттарды қойып анықтаймыз. Бастапқы шарт ретінде X орын ауыстыруын және уақыт моменті t₀ = 0 болғандығы V жылдамдығы , демек X₀ = 0; V = V_B , олай болса (6) теңдеуден, шығатыны:

,

осыдан табатынымыз:

(7) тендеуден алатынымыз С₂ = 2

Олай болса Д жүгінің ВС учаскесіндегі қозғалыс теңдеуі былай жазылады.

(8)

6. (8) теңдеудегі V_Bанықтау үшін Д жүгінің АВ учаскесіндегі қозғалысын қарастырамыз. Ол үшін (1) пунктке ұксас осы учаске үшін есеп схемасын құрастырамыз . Осьті У арқылы белгілеп бағытын қозғалыс бағыты бойынша алып координат басын А нүктесіне орналастырамыз. Осы учаскедегі Д жүгіне әсер етуші күштерді белгілейміз. Q - шамасы және бағыты бойынша берілген тұрақты күш ; Р - ауырлық күші (тік төмен бағытталған) ; R - ортаның кедергі күші (R = 0,4V²) қозғалысқа қарсы бағытталған және N- кұбырдың жүкке реакциясы ( құбырға перпендикуляр бағытталған ).

7.Жүктің У осіндегі проекциясының дифференциалдық теңдеуін кұрастырамыз:

немесе , біздің жағдай үшін

ал (3) теңдеуді және R = 0,4V² берілген мәнін ескере отырып:

8. үдеуін ретінде өрнектеп , сосын айнымалыларды бөліп және бір рет интегралдап АВ учаскесіндегі жылдамдықтың тәуелділігін анықтаймыз . Біздің жағдайымызда АВ учаскесінің ұзындығы берілген , сондықтан да айнымалыларды бөліп, t айнымалысын жалпы әдістің (6) пунктіне сәйкес у-ке сәйкес айнымалыға ауыстырған тиімді.

Берілген тендеудің он жақ бөлігін келесі түрде өрнектейміз:

белгілеуін ендірейік, олай болса:

Тұрақтыларды интегралдау алдында бөлу үшін , теңдеудің оң жақ және сол жақ бөлігін жақшаның ішіндегі өрнекке бөліп және бір уақытта dy көбейтіп , алатынымыз

Осы өрнекті интегралдаймыз. Берілген жағдайда анықталған интегралды алуға болады:

Логорифмдердің қасиетін ескере отырып , шығатыны :

;

Алынған өрнекті V_B қарасты шешіп , соңғысын анықтаймыз.

9. Табылған V_Bмәнін (8) теңдеуге қойып Д жүгінің ВС учаскесіндегі қозғалу заңын аламыз :

Есеп №6