Теория метода и описание установки. Метод измерения скорости полета снаряда основан на законе сохранения момента импульса относительно некоторой оси

Метод измерения скорости полета снаряда основан на законе сохранения момента импульса относительно некоторой оси.

Момен­том импульса материальной точки относительно некото-рого центра О называется векторная величина ( - векторное произведение вектора на вектор ), где - радиус-вектор материальной точки, проведенный из центра О (рис. 8.1) - импульс (количество движения) мате­риальной точки. Численно , где α – угол между векторами и .

Рис.8.1

Проекция вектора , на ось Z , проходящую через точ­ку 0, называется моментом импульса материальной точки относи­тельно оси Z, . Если скорость точки лежит в плоскости, перпендикулярной оси Z, то , где - кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой направлена скорость.

Для твердого тела, вращавшегося вокруг неподвижной оси, момент импульса определяется выражением , где - момент инерции тела относительно оси вращения, - угловая скорость вращения.

Момент импульса системы тел определяется выражением

, (8.1)

где , - момент импульса i-го тела.

Закон сохранения момента импульса относительно некоторой оси формулируется следующим образом: если момент внешних сил, действующих на систему относительно некоторой оси равен нулю, то момент импульса системы по отношению к той же оси остается постоянным.

Пусть снаряд массой , движущийся со скоростью , попадает в неподвижное уравновешенное твердое тело на расстоя­нии от оси вращения и застревает в нем. Применение закона сохранения момента импульса относительно оси вращения дает следующее соотношение

(8.2)

Рис. 8.2.

До столкновения с телом моментом импульса обладал лишь сна­ряд , после столкновения , где - момент инерции тела вместе со снарядом. По зако­ну сохранения L0 = L. Зная m, l, J, w можно определить скорость снаряда:

(8.3)

В настоящей работе для измерения скорости снаряда используется баллистический крутильный маятник ФРМ-09. Он состоит из основания, оснащенного регу­лируемыми ножками, которые позволяют устанавливать основание гори­зонтально. В основании закреплена стойка, на ко­торой закреплены верхний, нижний и средний крон­штейны. К среднему кронштейну прикреплено стреляющее устройст­во, а также прозрачный экран с нанесенной на него угловой шкалой и фотоэлектрический датчик. Кронштейны имеют зажимы, служащие для крепления стальной проволоки, на которой подвешен маятник, состоящий из двух мисочек, наполненных пластилином, двух перемещаемых грузов, двух стержней и водилки.

Сразу после соударения снаряда крутильный маятник облада­ет только кинетической энергией.

. (8.4)

По достижении максимального отклонения из положения равновесия маятник останавливается, его кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию упругой деформации закрученной проволоки

, (8.5)

где f - модуль кручения проволоки; J - момент инерции маятника вместе со снарядом; w - наибольшее значение угловой скорости маятника; a₀ - наибольший угол отклонения маятника из положения равновесия.

Приравнивая выражения (8.4) и (8.5) (по закону сохранения энергии) находим:

. (8.6)

Тогда выражение (8.3) для скорости снаряда примет вид

(8.7)

С другой стороны, движение маятника после попадания в него снаряда описывается основным законом динамки вращательного движения:

, (8.8)

где - момент сил упругости закрученной проволоки.

Так как угловое ускорение e - вторая производная от угла поворота a по времени, то мы приходим к дифференциальному уравнению колебательного движения маятника:

. (8.9)

Решение этого уравнения ищут в виде:

. (8.10)

Выражение (8.10) будет удовлетворять уравнению (8.9) (в чем можно убедиться непосредственной подстановкой) лишь в том случае, когда

.

Откуда получается формула для периода колебаний крутильного маятника

. (8.11)

Подставляя в (8.7) выражение для момента инерции из (8.11), получим:

. (8.12)

Специальная методика измерения скорости V позволяет исключить модуль кручения f из формулы (8.12).

Пусть снаряд был выпущен из стреляющего устройства, когда перемещаемые грузы находились на расстоянии R₁ от оси вращения. В этом положении момент инерции маятника равен

.

и период колебаний будет равен

. (8.13)

После перемещения грузов до расстояния период изменится и станет равным

, (8.14)

где J₀ - момент инерции маятника без грузов; M - масса одного груза.

Из (8.13) и (8.14) можно получить следующее выражение для

. (8.15)

Подставляя выражение (8.15) в формулу (8.12) для с учетом того, что T = T₁, получим

. (8.16)

В формуле (8.16) величины M, m, l - задаются, а T₁, T₂, R₁, R₂, a₀ - измеряются.

Порядок выполнения работы

1. Включить сетевой шнур измерителя в питающую сеть.

2. Нажать переключатель СЕТЬ, проверяя, все ли индикаторы измерителя высвечивают цифру нуль, а также светится ли лампочка фотоэлектрического датчика.

3. Максимально отдалить друг от друга грузы.

4. Установить маятник в таком положении, чтобы черта на мисочке показывала угол отклонения α=0.

5. Выстрелить снаряд из стреляющего устройства.

6. Измерить максимальный угол отклонения маятника α₀.

7. Включить и занулить счетчик времени.

8. Отклонить маятник на угол α₀, включить секундомер и отпустить маятник.

9. Измерить время для двадцати колебаний и вычислить Т₁. Пункты 5 – 9 повторить три раза.

10. Максимально приблизить друг к другу грузы М и повторить действия согласно пунктам 4, 7, 8 (исключая пункты 5,6).

11. Измерить время для двадцати колебаний и вычислить Т₂. Измерения провести по три раза. Результаты измерений занести в таблицу 8.2. Скорость вычислить по формуле (8.16).

Таблица 8.2

α0	R1	t1	T1	R2	t2	T2	V
α0 cp			T1 cp			T2 cp	Vcp

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте цель работы.

2. Как определяется момент импульса материальной точки, твердого тела относительно неподвижной оси вращения?

3. При каких условиях выполняется закон сохранения момента импульса относительно оси?

4. Почему измерения проводятся при двух положениях перемещаемых грузов?

5. Как получить формулу (8.16)?

6. Сделайте выводы по работе.

9. ИЗУЧЕНИЕ ПРЕЦЕССИИ ГИРОСКОПА

Приборы и принадлежности: гироскоп РМ-10.

Перед выполнением лабораторной работы необходимо в учебной литературе по курсу физики ознакомиться со следующими темами: свободные оси, гироскоп, момент импульса, основной закон динамики вращательного движения.

Введение

В этой работе определяется скорость прецессии гироскопа Ω и проверяется отношения:

.

Гироскопом называется быстро вращающееся симметричное твердое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Основное свойство гироскопа – способность сохранять неизменным направление оси вращения при отсутствии момента внешних сил.

Рис. 9.1.

Рассмотрим гироскоп, состоящий из диска, который может вращаться вокруг го­ризонтальной оси О₁О₂ (рис. 9.1) и противовеса К. Ось гироскопа О₁О₂ шарнирно закреплена в точ­ке О₁ вертикальной подставки. Противовес К мож­но перемещать вдоль оси. Если противовес К расположен таким образом, что точка О₁ явля­ется центром тяжести, т.е. где F₁ и F₂ - силы тяжести диска и противовеса, l₁ и l₂ плечи сил, то результирующий момент сил, действующих на систему, равен нулю (М=О). В противном случае система отклонилась бы от положе­ния равновесия. Пусть диск уравновешенной системы вращается с угловой скоростью ω. В этом случае на основании II закона динамики для вращательного движения

(9.1)

получим

, (9.2)

где - момент импульса диска. Из уравнения (9.2) следует, что вектор момента импульса в этом случае не зависит от времени.

.

Рис.9.2.

Гироскоп обладает постоян-ным моментом импульса , совпадающим по направлению с угловой скоростью; таким образом, при отсутствии момента внешних сил гироскоп сохраняет положе­ние своей оси в пространстве. Передвинем противовес К на небольшое расстояние вправо. Центр тяжести системы переместится в точку О' (рис.9.2). Равновесие на­рушится, ось гироскопа бу­дет составлять с вертикалью угол j. В этом случае момент силы (в формуле (9.1)) об­условлен

смещением цент­ра тяжести системы и

,

где - радиус-вектор, проведенный из точки О₁ к точке приложения силы. Вектор на рис. 9.2 направ­лен (по правилу векторного произведения) от нас. Момент силы численно равен

. (9.3)

Из уравнения (9.2) следует, что изменение момента импульса за время dt совпадает по направления с вектором

. (9.4)

Результирующий момент будет равен

.

Это означает, что ось гироскопа изменит свое положение в гори­зонтальной плоскости, повернувшись за время dt на угол da. За последующий промежуток времени снова произойдет изменение момента импульса на и т.д. В результате ось гиро­скопа будет непрерывно вращаться с некоторой угловой скоростью W, описывая в пространстве конус. Такое движение называет­ся прецессией

Величина

(9.5)

называется угловой скоростью прецессии. Вычислим ее значение.

Из формул (9.3) и (9.4) следует, что

. (9.6)

Из рис. 9.2 следует: , тогда

(9.7)

подставим (9.7) в (9.5), получим

или . (9.8)

Из уравнения (9.8) следует, что с увеличением угловой скорос­ти вращения гироскопа ω угловая скорость прецессии W уменьшается. Если скорость вращения диска постоянна w = const, то отношение постоянно.

Описание прибора

На основании, оснащенном ножками с регулируемой высо­той, позволяющим произвести выравнивание прибора, закреплена колонка с кронштейном, на котором закреплен фотоэлектрический датчик и внешняя втулка вращательного соединения. Электри­ческий двигатель смонтирован на кронштейне. Рычаг, за­крепленный на корпусе двигателя, имеет миллиметровую шкалу. На рычаге закреплен груз (противовес). С помощью указателя можно определить по шкале угол поворота гороскопа вок­руг вертикальной оси. Диск имеет на окружности отверстия через каждые 5°, которые с помощью фотоэлемента позволяют да­вать информацию об угле оборота гироскопа. На лицевой панели блока управления находятся следую­щие манипуляционные элементы:

I) СЕТЬ, 2) СБРОС, 3) СТОП, 4) РЕГ. СКОРОСТЬ.

Время запуска гироскопа 2 минуты.

Порядок выполнения работы

1. Перемещая груз (5), установить рычаг гироскопа перпендикулярно оси, так чтобы ось гироскопа была горизонтальной.

2. Включить питание двигателя.

3. Отрегулировать обороты двигателя 6000 об/мин.

4. Переместить груз на 2 см от положения равновесия.

5. Нажать кнопку "Сброс".

6. После показания времени не менее 30 с. нажать "Стоп".

7. Снять показания угла α_i и времени t_i прецессии.

8. Вычислить угловую скорость прецессии: .

9. Изменяя положение груза на 2 см, повторить измерения. При этом ось гироскопа каждый раз ориентировать в исходное состояние, одинаковое при всех измерениях.

Таблица 9.1

r /cм/
α *10 град
T, c
Ω ,с-1

10. Построить график зависимости: W = f(r) и убедиться в его линейности.

11. Проверить соотношения:

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте цели работы.

2. Как определяются направления векторов: углового перемещения, угловой скорости, углового ускорения?

3. Запишите выражения для момента импульса относительно точки и относительно неподвижной оси.

4. Сформулируйте 2-ой закон динамики для вращательного движения.

5. Запишите выражение момента сил относительно точки.

6. Сформулируйте закон сохранения момента импульса.

7. Что называется гироскопом?

8. Куда направлен вектор момента импульса гироскопа?

9. Каково направление вектора момента сил гироскопа? С каким вектором совпадает направление момента сил?

10. Запишите условие равновесия системы.

11. Какое движение называется прецессией? Чему равна угловая скорость прецессии?

12. Как изменится скорость прецессии с изменением угловой скорости вращения?

13. Сделайте выводы по работе.

10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

Приборы и принадлежности: оборотный маятник, секундомер.

Введение

Всякое тело, подвешенное в точке, лежащей выше его центра тяжести, может колебаться и представляет собой физический маятник (рис. 10.1).

Если мятник отклонить от положения равновесия на угол j, то сила тяжести создает относительно оси вращения (проходит через т. О₁ перпендикулярно к плоскости рисунка) вращающий момент

, (10.1)

где l₁ - расстояние от оси вращения до центра тяжести С, m – масса маятника, а угол j отсчитывается от вертикальной линии против часовой стрелки. Момент силы М стремится вернуть маятник в положение равновесия.

При малых углах отклонения колебания маятника будут близки к гармоническим. Действительно, при малых углах sinj » j и (10.1) принимает вид:

. (10.2)

По основному закону динамики вращательного движения

, (10.3)

где J – момент инерции маятника относительно оси О₁,

ε = d²φ / dt² - угловое ускорение

Подставляем M и ε в (10.3), получим

. (10.4)

Обозначая , перепишем (10.4) в виде

. (10.5)

Уравнение (10.5) – дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Решением этого уравнения является функция

, (10.6)

где j₀ - максимальный угол отклонения маятника от положения равновесия, а - круговая (или циклическая) частота.

Для периода колебаний получаем:

. (10.7)

Величину называют приведенной длиной физического маятника. Подставив это в (10.7), найдем, что приведенной длина физического маятника равна длине математического маятника с таким же периодом колебаний.

Точка, находящаяся на расстоянии l_пр от точки подвеса по лини, проходящей через центр тяжести, называется центром качания.

Точка подвеса и центр качания обладают свойством обратимости: если центр качания сделать точкой подвеса, то прежняя точка подвеса станет новым центром качания, при этом период колебаний не изменится.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно оси z равен моменту инерции этого тела относительно оси z’, проходящей через его центр инерции параллельно оси z, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями z и z’, т.е. (рис. 10.2)

, (10.8)

где J - момент инерции относительно оси z, J₀ - момент инерции относительно оси z’, m - масса тела, l - расстояние между осями z и z’.

Рассмотрим вращение физического маятника вокруг т. О₁ (рис. 10.1).

Проведем линию О₁С и на ее продолжении возьмем точку О₂, такую, что О₁О₂= . Обозначим О₂С= , так что . Тогда

.Таким образом, . Теперь перевернем маятник и рассмотрим его вращение вокруг оси, проходящей через т. О₂, при этом

,

откуда следует, что l_пр1 =l_пр2.

Зная период колебаний физического маятника и его приведенную длину l_пр, ускорение свободного падения рассчитаем по формуле:

. (10.9)

Таким образом, для определения g с помощью физического маятника необходимо измерить период колебаний T и определить приведенную длину маятника l_пр.