Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала. Их связь. Закон сохранения момента импульса.

При вращательном движении механической системы количество движения (импульс) не отражает изменений, происходящих в системе. Например, рассмотрим вращение абсолютно твердого тела около неподвижной оси, проходящей через центр масс этого твердого тела. Тогда на основании теоремы , тогда и . Таким образом, при любой скорости вращения твердого тела количество движения остается постоянным, следовательно, вектор количества движения не может быть характеристикой вращательного движения системы. Величина, которая отражает изменения в механической системе при ее вращательном движении, называется моментом импульса.

Пусть имеем силу, приложенную к точке А. Моментом силы , выбранным от произвольной точки О, называется векторное произведение радиуса-вектора , проведенного из точки О в начало . Этот момент, относительно точки О, равен

, где h – плечо вектора, т.е. кратчайшее расстояние между точкой О и линией, на которой лежит вектор .

Момент импульса Lчастицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса:

, где — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта, - импульс частицы.

Для нескольких частиц момент импульса определяется как (векторная) сумма таких членов:

, где , — радиус-вектор и импульс каждой частицы, входящей в систему, момент импульса которой определяется.

В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.

Из определения момента импульса следует его аддитивность: как, для системы частиц в частности, так и для системы, состоящей из нескольких подсистем, выполняется: геометрическая сумма моментов всех точек системы равна моменту количества движения механической системы.

Пусть имеется механическая система , состоящая из n материальных точек ( ). Возьмем произвольную точку О (вектор из точки О в точку m_i) и запишем уравнение движения для этой точки: .

Векторно умножим уравнение на :

Получим , где - момент равнодействующей всех ВНУТРЕННИХ сил, а со штрихом – ВНЕШНИХ.

Т.к. внутренние силы подчиняются 3-ему закону Ньютона, моменты этих сил относительно любой точки пространства, с которыми действуют две материальные точки друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому .

Таким образом, связь между моментом импульса и моментом силы: .

Теорема: Производная по времени момента импульса системы относительно выбранной точки равна геометрической сумме моментов внешних сил относительно этой же точки.