Дифференциальные уравнения движения

Раздел 3. ДИНАМИКА

Введение в динамику. Основные положения

Основные понятия и определения

Сформулируем еще раз[1] в несколько ином виде определение динамики как части механики.

Динамика – раздел механики, изучающий движение материальных тел под действием сил.

Обычно изучение динамики начинают с изучения динамики материальной точки и затем переходят к изучению динамики механической системы.

В силу схожести формулировок многих теорем и законов этих разделов динамики, дабы избежать излишнего дублирования и сократить текстовый объем учебника, представляется целесообразным излагать эти разделы динамики совместно.

Введем несколько определений.

Инерция (закон инерции) – свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного поступательного движения в отсутствии действия на него со стороны других тел (т.е в отсутствии сил[2]).

Инертность - способность тел сопротивляться попыткам изменить с помощью сил их состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Количественной мерой инерции служит масса (обозначается m). Эталоном массы является килограмм (кг).

Отсюда следует, что чем инертнее тело, чем больше его масса, тем меньше меняется его состояние покоя или равномерного движения под действием определенной силы, меньше меняется скорость тела, т.е. тело лучше сопротивляется воздействию силы. И наоборот, чем меньше масса тела, тем больше меняется его состояние покоя или равномерного движения, сильнее меняется скорость тела, т.е. тело хуже сопротивляется воздействию силы.

Изолированная (замкнутая) система – механическая система, на которую не действуют внешние силы[3].

Таким образом, закон инерции действует в изолированных системах.

Законы и задачи динамики

Сформулируем законы динамики материальной точки. В теоретической механике они принимаются как аксиомы, без доказательств. Справедливость этих законов обусловлена тем, что на их базе строится все здание классической механики, законы которой выполняются с большой точностью. Нарушения законов классической механики наблюдаются только при больших скоростях (релятивистская механика) и в масштабах микромира (квантовая механика).

Итак:

· 1-й закон динамики или закон инерции Галилея – практически его формулировка дана в предыдущем параграфе в виде определения инерции. Здесь мы его сформулируем так: Изолированные тела двигаются равномерно и прямолинейно, либо покоятся.

· 2-й закон или основной закон динамики точки (закон Ньютона):

.

Ньютон Исаак (1643–1727 г.г.)

английский математик,

физик, астроном и механик

Произведение массы материальной точки на ее ускорение равно силе, вызвавшей это ускорение.

.

(3.1)

Следует отметить векторный характер этого закона.

Из формулы (3.1) следует связь между размерностями массы и силы: Н = кг·м/с².

· 3-й закон – закон равенства действия и противодействия (его формулировка в точности соответствует аксиоме 4 статики, параграф 1.1.3): Действие одного тела на второе равно и противоположно действию этого второго тела на первое (сила действия равна силе противодействия).

· 4-й закон – закон суперпозиции (наложения) сил: При действии на материальную точку нескольких сил ее ускорение равно векторной сумме тех ускорений, которые она получит при действии каждой из этих сил в отдельности.

Необходимо отметить, что 4-й закон следует из правил сложения сил в статике.

С учетом 4-го закона основной закон динамики можно переформулировать в более общем виде:

Ускорение точки пропорционально векторной сумме действующих на нее сил и обратно пропорционально ее массе.

С целью компактности этот закон записывается несколько иначе:

(3.2)

где k = 1,2,…, n – индекс (номер) силы , n – число действующих на точку сил.

В зависимости от того, известен или нет закон движения точки (тела), различают первую и вторую (или основную) задачи динамики.[4]

1-я задача динамики: зная закон движения тела, определить вызывающую это движение силу(ы) и/или реакцию (если на тело наложена связь).

2-я (основная) задача динамики: - зная действующие на тело силы, определить закон его движения и/или реакцию (если на тело наложена связь).

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Сформулируйте законы динамики материальной точки.

2. Приведите формулировки задач динамики материальной точки и механических систем.

3 Чем отличаются формулировки задач динамики для свободного и несвободного тел?

Основные виды сил

Прежде всего, введем разделение всех встречающихся в природе сил на активные и реактивные (реакции связей).

Активной называют такую силу, которая может привести в движение покоящееся тело.

Реакция связи возникает в результате действия активной силы на несвободное тело и препятствует перемещению тела. Собственно поэтому, являясь следствием, откликом, последействием активной силы, она так и называется (reaction).

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в задачах механики силы.

Сила тяготения

Эта сила гравитационного притяжения между двумя телами, определяемая законом всемирного тяготения:

(3.3)

где γ – гравитационная постоянная, равная 0,6673·10^-10 м³/кг·с².

Сила тяжести

Эта сила, действующая на любое тело у поверхности Земли, направлена вертикально вниз. Она является частным случаем закон гравитационного притяжения для случая, когда (радиус Земли) и m₂ = M_З (масса Земли) и при m₁ = m определяется выражением:

(3.4)

где - ускорение свободного падения у поверхности Земли, численно равное g ≈ 9,8 м/с², m – масса тела, или механической системы, определяемая как совокупная масса всех точек системы:

.

(3.5)

Здесь - масса k-ой точки системы, n – число точек в системе. Сила тяжести – равнодействующая сил тяжестей всех точек механической системы и приложена к т.н. «центру масс» механической системы (т. С), положение которой в пространстве определяется радиус-вектором :

(3.6)

где - радиус-вектор k-ой точки системы. Координаты центра масс можно получить, спроецировав обе части равенства (3.6) на оси:

(3.7)

Помимо прямого использования формулы (3.7) для систем с конечным числом материальных точек, существуют методы определения центра масс систем с бесконечным числом точек (распределенные системы). Легко преобразовать выражение (3.6) в интегральную форму, взяв вместо дискретной массы массу элементарного объема dm=ρdV:

где .

(3.8)

Здесь ρ( ) – плотность тела, в общем случае зависящая от координаты, V - объем тела. В случае однородных тел формулы упрощаются:

.

(3.9)

Аналогичные преобразования можно выполнить для плоских тел (S – площадь поверхности плоского тела):

,

(3.10)

и линейно вытянутых тел, или стержней ( – длина стержня):

.

(3.11)

Координаты центра масс фигур можно получить по аналогии с (3.7), спроецировав (3.9)-(3.11) на оси.

Представляется очевидным (исходя из свойств интегралов), что центр тяжести симметричных однородных тел располагается в центре, на линии или плоскости симметрии (центре шара, на оси конуса, в серединной плоскости клина и т.д.).

На практике для оценки положения центра масс часто используют два приема:

·

Метод разбиения тела на части.

Рис.3.1

Если разбить тело на части, массы и центры тяжести которых известны, то можно воспользоваться формулами для дискретного суммирования (3.6). Так для тела, изображенного на рисунке 3.1, радиус-вектор центра масс и соответственно, его координаты определяется по следующему выражению:

.

· Метод отрицательных масс.

Если в теле есть полость объемом V', где нет массы, то можно поступить следующим образом: считать ее заполненной веществом наряду с другими областями тела. Если при этом известно расположение центра масс С₁ этой заполненной полости и центра масс С₂ самого тела вместе с заполненной полостью, то для получения оценки положения центра масс С тела с пустой полостью необходимо вычесть из сплошного тела область тела в форме полости, т.е. фактически воспользоваться дискретной формулой с одним отрицательны слагаемым:

.

Сила трения

В инженерных расчетах исходят из экспериментально установленных закономерностей, называемых законами сухого трения (в отсутствии смазки), или законами Кулона:

· При попытке сдвинуть одно тело вдоль поверхности другого возникает сила трения (сила трения покоя ), величина которой может принимать значения от нуля до некоторого предельного значения .

· Величина предельной силы трения , равна произведению некоторого безразмерного, экспериментально определяемого коэффициента трения f на силу нормального давления N, т.е.

.

(3.12)

· По достижению предельного значения силы трения покоя за исчерпанием сцепных свойств сопрягающихся поверхностей тело начинает перемещаться вдоль опорной поверхности, причем сила сопротивления движению практически постоянна и не зависит от скорости (разумных пределах). Эта сила называется силой трения скольжения и она равна предельному значению силы трения покоя.

· Величина силой трения скольжения в широких пределах не зависит от размеров соприкасающихся поверхности.

Приведем значения коэффициента трения для некоторых тел:

Табл. 1

Материалы контактирующих поверхностей	Коэффициент трения скольжения f
Бронза по чугуну	0,16
Бронза по железу	0,19
Сталь по стали	0,15
Металл по дубу	0,62
Дуб по дубу (волокна параллельны)	0,62
Дуб по дубу (волокна перпендикулярны)	0,54
Кожаный ремень по дубовому шкиву	0,47
Кожаный ремень по чугуну	0,28
Камень или кирпич по кирпичу	0,5-0,73
Камень или кирпич по железу	0,42-0,49
Камень или кирпич по дереву	0,46-0,60
Сталь по льду	0,027

Трение качения

Рис.3.2

При качении колеса без проскальзывания (рис. 3.2) реакция опоры несколько смещается вперед по ходу движения колеса. Причина этого – в несимметричности деформации материала колеса и опорной поверхности в зоне контакта. Под действием силы давление у края В зоны контакта возрастает, а у края А убывает. В результате реакция оказывается смещенной в сторону движения колеса на величину k, называемой коэффициентом трения качения. На колесо действует пара сил и с моментом сопротивления качению, направленным против вращения колеса:

.

(3.13)

Приведем значение коэффициента трения качения для некоторых материалов:

Табл. 2

Материалы контактирующих поверхностей	Коэффициент трения качения, см. k
Дерево по дереву	0,05-0,08
Сталь мягкая по стали (колесо по рельсу)	0,005
Сталь закаленная по стали (шариковый подшипник)	0,001

В условиях равновесия при равномерном качении моменты пар сил , и , уравновешивают друг друга: , откуда вытекает оценка значения силы, направленной против движения тела: . Отношение для большинства материалов значительно меньше коэффициента трения f. Этим и объясняется то, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением.

Сила упругости

Эта сила, с которой деформированное тело стремится вернуться в свое исходное, недеформированное состояние. Если, например, растянуть пружину на величину λ, то сила упругости и ее модуль равны, соответственно:

.

(3.14)

Знак минус в векторном соотношении показывает, что сила направлена в противоположную сторону от перемещения . Величина с носит название «жесткость» и имеет размерность Н/м.

Сила вязкого трения

Эта сила действует против вектора скорости тела, двигающегося в вязкой среде, и определяется следующими соотношениями:

,

(3.15)

где - вектор скорости движения тела, μ – коэффициент сопротивления.

Сила аэродинамического (гидродинамического) сопротивления

Как и все остальные силы сопротивления движению, направлена против скорости тела. Величину ее обычно пишут в следующем виде:

,

(3.16)

где выражение носит название ветровой напор, – плотность среды, V – скорость тела, S – площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения (мидель). Безразмерный коэффициент - называется: коэффициент (лобового) сопротивления и определяется экспериментально.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Как определить центр масс механической системы?

2. Сформулируйте законы сухого трения и трения качения. Одинаковые или разные размерности у коэффициентов трения f и трения качения k?

3 Чему равна и куда направлена сила упругости?

Дифференциальные уравнения движения

Дифференциальные уравнений движения точки

Вернемся к выражению основного закона динамики точки в виде (3.2), записав его в виде векторных дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядков (нижний индекс будет соответствовать номеру силы):

, .

(3.17)

Записанные равенства (3.17) есть дифференциальные векторные уравнения движения материальной точки.

Их можно преобразовать в систему алгебраических (3.18) или дифференциальных (3.19) уравнений движения материальной точки в координатной форме, спроецировав равенство (3.2) и, например, 2-ое уравнение (3.17) на оси координат:

(3.18)

(3.19)

Используя (2.28), системы алгебраических (3.20) и дифференциальных (3.21), (3.22) уравнений движения точки в естественных осях можно получить, спроецировав (3.2) и (3.17) на естественные оси (напомним, бинормальный компонент вектора ускорения равен нулю) :

(3.20)

(3.21)

(3.22)

Сравним, например, системы уравнений (3.19) и (3.21). Легко увидеть, что в описание движения точки в координатных осях сводится к 3-м дифференциальным уравнениям 2-го порядка, или (после преобразования), к 6-и уравнениям 1-го порядка. В тоже время описание движения точки в естественных осях связано со смешанной системой уравнений, состоящей из одного дифференциального уравнения 1-го порядка (относительно скорости ) и двух алгебраических.

Отсюда можно сделать вывод, что при анализе движения материальной точки проще решать задачу, формулируя уравнения движения в естественных осях.

Необходимо отметить, что при решении 1-й задачи динамики дифференциальные уравнения превращаются в алгебраические, решение системы которых является тривиальной задачей. При решении 2-ой задачи динамики для решения системы дифференциальных уравнений необходимо сформулировать задачу Коши, т.е. добавить к уравнениям т.н. «краевые» условия. В нашем случае – это условия, налагающие ограничения на положение и скорость в начальный (конечный) момент времени, или т.н. «начальныеусловия» в виде заданных .

В алгебраическом виде для координатных осей эти условия такие:

(3.23)

Соответственно, для осей естественного трехгранника начальные условия таковы:

.

(3.24)

Дифференциальные уравнений движения механической системы

Рассмотрим некую механическую систему. Как уже говорилось в параграфе 1.1.1, силы можно разделить на внешние и внутренние. Внешними силы (маркируются индексом «e», ) действуют на точки системы со стороны других, внешних тел, внутренние силы (маркируются индексом «i», ), действуют между точками данного тела (системы).

Поскольку по закону равенства действия и противодействия внутренние силы всегда парные (действуют на каждую из двух взаимодействующих точек), они равны, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки, то их сумма попарно равна нулю. Кроме того, сумма моментов этих двух сил относительно любой точки также равна нулю. Это означает, что сумма всех внутренних силисумма моментов всех внутренних сил механической системы порознь равны нулю:

,

(3.25)

.

(3.26)

Равенства (3.25) и (3.26) отражают свойства внутренних сил механической системы.

Пусть на некую k–ю материальную точку механической системы действуют одновременно как внешние, так и внутренние силы. Поскольку они приложены к одной точки, их можно заменить равнодействующими соответственно внешних ( ) и внутренних ( )сил. Тогда основной закон динамики k–й точки системы может быть записан, как , следовательно для всей системы будет:

(3.27)

Формально число уравнений в (3.27) соответствует числу n точек механической системы.

Выражения (3.27) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме, если в них заменить вектора ускорений первой или второй производными от скорости и радиус-вектора соответственно: По аналогии с уравнениями движения одной точки (3.19) эти векторные уравнения можно преобразовать в систему из 3n дифференциальных уравнений 2-го порядка (предоставляем возможность читателю сделать это самостоятельно).

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Напишите дифференциальные уравнения движения точки в векторной и координатной формах, а также в проекциях на естественные оси.

2. Сформулируйте оба свойства внутренних сил механической системы.

Общие теоремы динамики

В этом разделе мы рассмотрим следствия системы дифференциальных уравнений, описывающей движения материальной точки и механической системы. Эти следствия называются общими теоремами динамики.