Дифференциальные уравнения движения точки

С помощью дифференциальных уравнений движения решается вторая задача динамики. Правила составления таких уравнений зависят от того, каким способом хотим определить движение точки.

1) Определение движения точки координатным способом.

Рассмотрим свободную материальную точку, движущуюся под действием сил Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru ,.., Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru . Проведем неподвижные координатные оси Oxyz (рис.4). Про­ектируя обе части равенства Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru на эти оси и учитывая, что Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru и т.д., получим дифферен­циальные уравнения криволинейного дви­жения точки в проекциях на оси прямо­угольной декартовой системы координат:

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru .

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Рис.4

Так как действующие на точку силы мо­гут зависеть от времени, от положения точки и от ее скорости, то правые части уравнений могут содержать время t, координаты точки х, у, z и проекции ее скорости Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru . При этом в правую часть каждого из уравнений могут входить все эти переменные.

Чтобы с помощью этих уравнений решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, знать еще начальные условия, т.е. положение и скорость точки в начальный момент. В координатных осях Oxyz начальные условия задаются в виде: при Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru .

Зная действующие силы, после интегрирования уравнений найдем координаты х, y, z движущейся точки, как функции времени t, т.е. найдем закон движения точки.

Пример 3. Изучим движение тела, брошенного с начальной скоростью Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru под углом Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru к горизонту, рассматривая его как материальную точку массы т. При этом сопротивлением воздуха пренебрежём, а поле тяжести будем считать однородным (Р=const), полагая, что дальность полёта и высота траектории малы по сравнению с радиусом Земли.

Поместим начало координат О в начальном положении точки. Направим ось Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru вертикально вверх; горизонтальную ось Ox расположим в плоскости, проходящей через Оy и вектор Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , а ось Oz проведём перпендикулярно первым двум осям (рис.5). Тогда угол между вектором Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru и осью Ox будет равен Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru .

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Рис.5

Изобразим движущуюся точку М где-нибудь на траектории. На точку действует одна только сила тяжести Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , проекции которой на оси координат равны: Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru .

Подставляя эти величины в дифференциальные уравнения и замечая, что Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru и т.д. мы после сокращения на m получим:

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru .

Умножая обе части этих уравнений на dt и интегрируя, находим:

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Начальные условия в нашей задаче имеют вид:

при t=0:

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru .

Удовлетворяя начальным условиям, будем иметь:

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru .

Подставляя эти значения С1, С2 и С3 в найденное выше решение и заменяя Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru на Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru придём к уравнениям:

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru .

Интегрируя эти уравнения, получим:

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru .

Подстановка начальных данных даёт С456=0, и мы окончательно находим уравнения движения точки М в виде:

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru (1)

Из последнего уравнения следует, что движение происходит в плоскости Оxy.

Имея уравнение движения точки, можно методами кинематики определить все характеристики данного движения.

1. Траектория точки. Исключаяиз первых двух уравнений (1) время t, получим уравнение траектории точки:

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru (2)

Это - уравнение параболы с осью, параллельной оси Оy. Таким образом, брошенная под углом к горизонту тяжёлая точка движется в безвоздушном пространстве по параболе (Галилей).

2. Горизонтальная дальность. Определим горизонтальную дальность, т.е. измеренное вдоль оси Оx расстояние ОС=Х. Полагая в равенстве (2) y=0, найдём точки пересечения траектории с осью Ох. Из уравнения:

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

получаем Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Первое решение дает точку О, второе точку С. Следовательно, Х=Х2 и окончательно

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru . (3)

Из формулы (3) видно, что такая же горизонтальная дальность Xбудет получена при угле Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , для которого Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , т.е. если угол Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru . Следовательно, при данной начальной скорости Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru в одну и ту же точку С можно попасть двумя траекториями: на­стильной ( Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru ) и навесной ( Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru ).

При заданной начальной скорости Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru наибольшая горизонтальная дальность в безвоздушном пространстве получается, когда Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , т.е. при угле Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru .

3. Высота траектории. Если положить в уравнении (2)

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , то найдется высота траектории Н:

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru . (4)

4. Время полета. Из первого уравнения системы (1) следует, что полное время полета Т определяется равенством Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru . Заменяя здесь Х его значением, получим

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru .

При угле наибольшей дальности Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru все найденные вели­чины равны:

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Полученные результаты практически вполне приложимы для ориен­тировочного определения характеристик полета снарядов (ракет), имеющих дальности порядка 200…600 км, так как при этих дальностях (и при Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru ) снаряд основную часть своего пути проходит в стратосфере, где сопротивлением воздуха можно пренебречь. При меньших дальностях на результат будет сильно влиять сопротивле­ние воздуха, а при дальностях свыше 600 км силу тяжести уже нельзя считать постоянной.

Пример 4. Из пушки, установленной на высоте h, произвели выстрел под углом Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru к горизонту (рис. 6). Ядро вылетело из ствола орудия со скоростью u. Определим уравнения движения ядра.

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Рис.6

Чтобы правильно составить дифференциальные уравнения движения, надо решать подобные задачи по определённой схеме.

а) Назначить систему координат (количество осей, их направление и начало координат). Удачно выбранные оси упрощают решение.

б) Показать точку в промежуточном положении. При этом надо проследить за тем, чтобы координаты такого положения обязательно были положительными (рис.6).

в) Показать силы, действующие на точку в этом промежуточном положении (силы инерции не показывать!).

В этом примере – это только сила Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , вес ядра. Сопротивление воздуха учитывать не будем.

г) Составить дифференциальные уравнения по формулам: Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru . Отсюда получим два уравнения: Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru и Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru .

д) Решить дифференциальные уравнения.

Полученные здесь уравнения – линейные уравнения второго порядка, в правой части – постоянные. Решение этих уравнений элементарно.

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru и Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Осталось найти постоянные интегрирования. Подставляем начальные условия (при t = 0 x = 0, y = h, Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru ) в эти четыре уравнения: Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , 0 = С2, h = D2.

Подставляем в уравнения значения постоянных и записываем уравнения движения точки в окончательном виде

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Имея эти уравнения, как известно из раздела кинематики, можно определить и траекторию движения ядра, и скорость, и ускорение, и положение ядра в любой момент времени.

Как видно из этого примера, схема решения задач довольно проста. Сложности могут возникнуть только при решении дифференциальных уравнений, которые могут оказаться непростыми.

2) Определение движения точки естественным способом.

Координатным способом обычно определяют движение точки, не ограниченные какими-либо условиями, связями. Если на движение точки наложены ограничения, на скорость или координаты, то определить такое движение координатным способом совсем не просто. Удобнее использовать естественный способ задания движения.

Определим, например, движение точки по заданной неподвижной линии, по заданной траектории (рис. 7).

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Рис.7

На точку М кроме заданных активных сил Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , действует реакция линии. Показываем составляющие реакции Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru по естественным осям Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Составим основное уравнение динамики Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru и спроектируем его на естественные оси

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Так как Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru то получим дифференциальные уравнения движения, такие

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru (5)

Здесь сила Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru - сила трения. Если линия, по которой движется точка, гладкая, то Т = 0 и тогда второе уравнение будет содержать только одну неизвестную – координату s:

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru .

Решив это уравнение, получим закон движения точки Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , а значит, при необходимости, и скорость и ускорение. Первое и третье уравнения (5) позволят найти реакции Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru и Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru .

Рис. 13.5.

Пример 5. Лыжник спускается по цилиндрической поверхности радиуса r. Определим его движение, пренебрегая сопротивлениями движению (рис. 8).

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Рис.8

Схема решения задачи та же, что и при координатном способе (пример 4). Отличие лишь в выборе осей. Здесь оси N и Т движутся вместе с лыжником. Так как траектория – плоская линия, то ось В, направленную по бинормали, показывать не нужно (проекции на ось В действующих на лыжника сил будут равны нулю).

Дифференциальные уравнения по (5) получим такие

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru (6)

Первое уравнение получилось нелинейным: Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru . Так как Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , то его можно переписать так: Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru . Такое уравнение можно один раз проинтегрировать. Запишем Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru Тогда в дифференциальном уравнении переменные разделятся: Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru . Интегрирование дает решение Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru Так как при t = 0: Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru и Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , то С1= 0 и Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru а Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

К сожалению, в элементарных функциях второй интеграл найти невозможно. Но и полученное решение позволяет сделать некоторые выводы. Можно найти скорость лыжника в любом положении как функцию угла Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru . Так в нижнем положении, при Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru . А из второго уравнения (6) при Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru можно определить давление: Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru . То есть давление на лыжника в нижнем положении равно его трехкратному весу.

Пример 6: Точка, имеющая массу m, движется из состояния покоя по окружности радиуса R с постоянным касательным ускорением Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru . Определить действующую на точку силу в момент, когда она пройдет по траектории расстояние Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru .

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Рис.9

Решение: Применяя дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси, имеем:

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru ; Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru ; Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru ;

Так как Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , то Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru , Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru ; Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru ;

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru ; следовательно Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru ;

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru ; следовательно

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Дифференциальные уравнения движения точки - student2.ru

Наши рекомендации