Дифференциальные уравнения движения Эйлера

Рассмотрим установившийся поток идеальной жидкости, движущийся без трения. Как и при выводе дифференциальных уравнений равновесия Эйлера, в потоке движущейся жидкости выделяется элементарный параллелепипед и рассматривается равновесие проекций сил на оси координат. Согласно основному правилу динамики, сумма проекций, действующих на элементарный объем, равна произведению массы жидкости на ее ускорение:

для оси

,

для оси

,

для оси z

.

Расписав субстанциональные производные проекций скоростей потока по осям пространственных координат:

;

;

и произведя сокращения, получим для соответствующих проекций дифференциальные уравнения жидкости для неустановившегося потока:

;

;

.

Для установившегося потока: , , , тогда:

;

;

.

Системы уравнений представляют собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для неустановившегося и установившегося потоков.

Как будет показано ниже, интегралом уравнений движения Эйлера для установившегося потока является уравнение Бернулли, нашедшее широкое распространение для решения многих технических задач.

Дифференциальные уравнения движения Навье–Стокса

При движении вязкой жидкости в потоке, кроме сил давления и тяжести, действуют также силы трения. Для трехмерного потока проекция равнодействующих сил трения на ось имеет вид:

.

Суммы проекций всех сил на оси координат должны быть равны произведению массы жидкости, заключенной в параллелепипеде, на проекции ускорения на оси координат:

;

;

.

После сокращения получим дифференциальные уравнения Навье – Стокса, описывающее движение вязкой капельной жидкости:

;

;

.

Соответствующие субстанциональные производные в уравнениях могут быть выражены как для неустановившегося, так и установившегося течения жидкости.

Правые части уравнений выражают произведение массы единицы объема на проекцию ускорения, т.е. представляют собой равнодействующие сил инерции, возникающих в движущейся жидкости.

В левых частях произведение отражает влияние сил тяжести, частные производные , , - влияние сил гидростатического давления, а произведение вязкости на сумму вторых производных проекций скорости – влияние сил трения на движущую жидкость. Каждый член уравнения имеет размерность соответствующей силы, отнесенной к единице объема жидкости.

Полное описание движения вязкой жидкости возможно путем решения уравнений Навье–Стокса совместно с дифференциальным уравнением неразрывности потока. Однако уравнения Навье–Стокса не могут быть решены в общем виде.

Решение возможно либо для простых случаев при введении ряда допущений, либо после преобразования этих уравнений методами теории подобия.

Уравнение Бернулли

Решение уравнений движения Эйлера для установившегося потока жидкости приводит к одному из наиболее важных и широко используемых уравнений гидродинамики – уравнению Бернулли.

После умножения левых и правых частей дифференциальных уравнений на и деления их на плотность жидкости получим

.

Сложим эти уравнения, учитывая, что производные выражают проекции скорости на соответствующие оси координат, и получим

.

Слагаемые левой части уравнения могут быть представлены как

, , ,

а их сумма

.

В то же время сумма членов, стоящих в скобках в правой части записанного уравнения, представляет собой полный дифференциал давления (при установившихся условиях давление зависит лишь от положения точки в пространстве и не меняется со временем).

С учетом этих преобразований получим

.

Разделив обе части полученного уравнения на ускорение силы тяжести и перенеся все члены в левую часть, найдем

.

Для несжимаемой изотермической жидкости сумма дифференциалов может быть заменена дифференциалом суммы

,

тогда после дифференцирования

.

Для любых двух поперечных сечений неразрывного потока жидкости уравнение имеет вид (рис. 2.10)

.

Уравнение Бернулли описывает движение идеальной жидкости.

Величина представляет собой полный динамический напор.

Согласно уравнению Бернулли, для всех поперечных сечений установившегося потока идеальной жидкости величина гидродинамического напора остается неизменной.

Гидродинамический напор включает три слагаемых, из которых первые два z и входят в основное уравнение гидростатики и представляют собой: z – нивелирную высоту, называемую также геометрическим напором, представляющую удельную потенциальную энергию положения в данной точке;

– статический или пьезометрический напор характеризует удельную потенциальную энергию давления положения в данной точке;

– скоростной или динамический напор характеризует удельную кинетическую энергию в данной точке.

Таким образом, уравнение Бернулли имеет определенный энергетический смысл, состоящий в том, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма удельной потенциальной и удельной кинетической энергий жидкости для каждого из поперечных сечений потока остается величиной неизменной.

При изменении поперечного сечения трубопровода и соответственно скорости движения жидкости происходит превращение энергии. При сужении трубопровода часть потенциальной энергии давления переходит в кинетическую, и, наоборот, при расширении трубопровода часть кинетической энергии переходит в потенциальную, но общее количество энергии остается постоянным.

Таким образом, уравнение Бернулли является частным случаем закона сохранения энергии и выражает энергетический баланс потока жидкости.

Для соблюдения баланса энергии при движении реальной жидкости в правую часть уравнения Бернулли должен быть введен член, выражающий потерянный напор. Тогда уравнение Бернулли для реальных жидкостей будет иметь вид

.

Потерянный напор характеризует удельную энергию, расходуемую на преодоление гидравлического сопротивления при движении вязкой жидкости.

Если умножить обе части уравнения на , можно получить уравнение Бернулли в ином виде:

.

В уравнении величина – потерянное давление, равное

.

Определение потерь напора или давления является практически важной задачей, связанной с расчетом энергии, необходимой для перемещения реальных жидкостей и газов при помощи насосов и компрессоров. Сложность решения этой задачи, как было сказано выше, обусловлена тем, что решение системы дифференциальных уравнений, описывающих движение реальной жидкости, в большинстве случаев оказывается невозможным.

Практические применения уравнения Бернулли. На практике уравнение Бернулли используется для определения скоростей (рис. 2.11) и расходов жидкостей и газов, напора насоса, времени истечения жидкостей из резервуаров. На рис. 2.12 приведена схема измерение расхода с помощью диафрагмы, на рис. 2.13 и 2.14 - с помощью сопла и трубы Вентури.

Рис. 2.11. Измерение скорости жидкости пневмометрической трубкой

Зависимость для определения объемного расхода жидкости через дроссельные устройства (диафрагму, мерное сопло, трубу Вентури) имеет вид:

,

где – коэффициент расхода дроссельного прибора. Значения коэффициента определяются опытным путем и приводятся в специальной литературе; – диаметр трубопровода; – диаметр наиболее узкого сечения мерного устройства.

Объемный расход жидкости при истечении через круглое отверстие в днище сосуда с постоянным уровнем жидкости:

.

Из уравнения следует, что расход жидкости, вытекающей через отверстие в тонком днище, зависит от высоты постоянного уровня жидкости над отверстием и от размера отверстия, но не зависит от формы сосуда (рис. 2.15).

С помощью уравнения Бернулли можно также определять время опорожнения сосуда от жидкости, имеющего постоянное поперечное сечение, от высоты до :

,

а также решать другие прикладные задачи, например, вычислять напор насоса.

Гидродинамическое подобие

Выше отмечалось, что дифференциальные уравнения Навье–Стокса невозможно решить для большинства технических задач.

Теория подобия позволяет преобразовать уравнения Навье–Стокса и получить из них некоторую общую функциональную зависимость между критериями подобия, характеризующими силы, действующие в потоке при движении вязкой жидкости.

Перепишем уравнение Навье–Стокса для капельной жидкости в развернутом виде для вертикальной оси :

Для получения безразмерных комплексов, критериев подобия, необходимо одну часть уравнения разделить на другую. Поскольку каждое из слагаемых уравнения выражает силу, действующую в потоке, то, приняв одну из них за единицу измерения – масштаб сил, безразмерные комплексы будут представлять собой соотношения сил к принятому масштабу. За масштаб сил в движущемся потоке принимается сила инерции.

Если движение жидкости установившееся, то ее скорость не зависит от времени. Член, характеризующий силу инерции после замены дифференциалов конечными величинами (операция отбрасывания знаков математических операторов), будет иметь вид

,

где – определяющий линейный размер.

Член, отражающий влияние сил тяжести на течение жидкости, равен . Член , характеризующий влияние сил давления, представляется в виде

.

Слагаемое, отражающее действие сил трения, представляется как

.

Разделим члены одной части уравнения на члены другой его части и установим, таким образом, выражения, характеризующие соотношения между соответствующими силами и силой инерции.

Выражение, характеризующее отношение силы инерции и силы тяжести, называется критерием Фруда:

.

Критерий Фруда отражает влияние сил тяжести, или собственного веса, на движение жидкости. Представляет собой меру отношения силы инерции к силе тяжести в подобных потоках.

Соотношение между силами давления и инерции представляет собой критерий Эйлера:

.

Обычно критерию Эйлера придают иной вид, введя в него вместо абсолютного давления разность давлений между двумя какими-либо точками жидкости:

.

Критерий Эйлера отражает влияние перепада гидростатического давления на движение жидкости. Его величина характеризует отношение изменения силы гидростатического давления к силе инерции в подобных потоках.

Безразмерный комплекс, являющийся отношением инерционных сил к силам трения в подобных потоках, представляет известный нам критерий Рейнольдса:

.

Величина в критерии Рейнольдса, как и в других критериях подобия, представляет определяющий линейный размер. При движении жидкости через трубопроводы или аппараты за этот размер принимается диаметр, а в случае некруглого сечения потока – эквивалентный диаметр .

При неустановившемся течении жидкости в уравнении Навье–Стокса 0. Преобразуем слагаемое, отражающее влияние нестационарности течения, . Безразмерный комплекс, полученный отношением силы инерции к члену уравнения, отражающему нестационарный процесс, называется критерием гомохронности:

,

Критерий гомохронности учитывает неустановившийся характер движения жидкости в подобных потоках.

Во всех сходственных точках подобно движущихся потоков жидкости критерии подобия равны (одни и те же – ), т.е. , , , .

Согласно второй теореме подобия, решение уравнений Навье - Стокса можно представить в виде функциональной зависимости между полученными критериями подобия, т.е.

0,

или после добавления симплексов геометрического подобия, представляющих собой отношение одноименных геометрических размеров, характеризующих реальный объект и модель, к определяющим получим

0,

где - симплексы геометрического подобия.

Все критерии в критериальном уравнении самого общего вида, кроме критерия Эйлера, являются определяющими, т.к. они составлены исключительно из величин, входящих в условия однозначности. В критерий Эйлера входит разность давлений , величина которой при движении жидкости по трубе определяется формой трубы ( ), физическими свойствами жидкости ( ) и распределением скоростей у входа в трубу и у ее стенок (начальные и граничные условия). Поэтому, согласно третьей теореме подобия, для подобия двух систем необходимо и достаточно соблюдения равенства значений и симплексов геометрического подобия. Следствием выполнения этих условий будет равенство значений определяемого критерия в сходственных точках подобных потоков. Поэтому критериальное уравнение общего вида представляют в виде зависимости определяемого критерия от определяющих критериев:

.

Зависимости подобного вида называют обобщенными или критериальными уравнениями гидродинамики.

Как уже было сказано выше, подобные функции наиболее удобно апроксимировать степенными зависимостями вида

или после подстановки соответствующих комплексов величин

.

Если движение жидкости является стационарным, то критерий может быть исключен из уравнения. Поэтому для установившегося течения жидкости обобщенное уравнение гидродинамики будет иметь вид

.

Модифицированные критерии подобия. В ряде случаев оказывается затруднительным или даже невозможным определить или вычислить ту или иную физическую величину, входящую в критерий подобия. Тогда эту величину исключают путем сочетания двух или более критериев. В результате такой операции получают так называемый производный критерий подобия. При этом исключенную величину обычно заменяют на другую, ей пропорциональную, опытное или расчетное определение которой является наиболее простым.

Так, например, в процессе теплообмена в условиях естественной конвекции, возникающей под действием разности плотностей жидкости, обусловленной различием температур в разных ее точках, трудно определить скорость конвективных токов. Однако эта скорость входит в критерий Фруда, отражающий подобие таких процессов. Поэтому неизвестная скорость в процессе может быть исключена путем сочетания критериев Рейнольдса и Фруда:

.

Полученный комплекс величин является производным критерием, называемым критерием Галилея:

.

Можно получить другой производный критерий – критерий Архимеда, представляющий собой критерий Галилея, умноженный на симплекс физического подобия–безразмерную плотность:

.

Если заменить симплекс пропорциональной ему относительной разностью температур, то можно получить новый производный критерий, являющийся критерием теплового подобия Грасгофа.

Соблюдение равенства критериев или является необходимым при моделировании различных процессов, протекающих под действием силы тяжести.