III. Методика измерений и расчетные формулы. I. Цель работы: ознакомление с экспериментальным методом определения моментов инерции тел с помощью упругих крутильных колебаний
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1.5а
«ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕДЫХ ТЕЛ
МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ»
I. Цель работы: ознакомление с экспериментальным методом определения моментов инерции тел с помощью упругих крутильных колебаний.
II. Описание установки.
Работа выполняется на установке ФМ-15, общий вид которой представлен на рис. 1. Основным элементом установки является крутильный маятник, представляющий собой металлическую рамку 4, подвешенную на стальной нити 2. Нить подвеса закреплена вертикально в натянутом состоянии на стойке 3 с основанием 1. Рамка может совершать крутильные колебания вокруг вертикальной оси, проходящей через ее ось симметрии. На ней имеются места для крепления двух дополнительных грузов 6 симметрично относительно оси. К ней же крепятся исследуемое тело 5 и флажок для контроля колебаний. К стойке 3 на кронштейне крепится фотодатчик 7. Регистрация времени и числа колебаний осуществляется блоком электронным ФМ-1/1 (на рис.1 не показан).
III. Методика измерений и расчетные формулы.
При повороте рамки с исследуемым телом на некоторый угол φ вокруг оси, совпадающей с проволокой, проволока закручивается, и в ней возникают упругие силы, которые стремятся возвратить рамку в положение равновесия. Под действием этих сил рамка с телом будет совершать крутильные колебания в горизонтальной плоскости. Вращающий момент M упругих сил пропорционален углу закручивания:
, (1)
где k- коэффициент упругости проволоки, равный моменту сил, необходимых для закручивания ее на единичный угол.
Применяя основной закон динамики вращательного движения, и пренебрегая трением, имеем:
, (2)
где J — момент инерции тела.
Решение уравнения (2) будет иметь вид:
. (3)
где ω — циклическая частота колебаний.
Продифференцировав выражение (3) дважды по времени и подставив его в выражение (2), найдем период упругих крутильных колебаний:
. (4)
Для экспериментального определения момента инерции J твердого тела на основе соотношения (4) требуется знать период колебаний T и коэффициент упругости k проволоки. Период колебаний определяется на основе измерения времени t определенного числа n колебаний:
. (5)
Величину k можно исключить, если измерить сначала период колебаний пустой рамки (T0), а затем установить грузы 6 (см. рис.1) и измерить период колебаний нагруженной рамки (T1). Тогда путем совместного решения уравнений вида (4) для пустой и нагруженной рамки получим выражение для момента инерции пустой рамки:
, (6)
где mгр — масса груза, r — радиус груза, ℓ1 — расстояние от оси вращения рамки до оси грузов.
Сняв с рамки грузы и закрепив в рамке исследуемое тело, по измерению периода колебаний рамки с телом Т2, можно определить момент инерции тела по формуле:
. (7)