Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний

Цель работы: ознакомление с экспериментальным методом измерения моментов инерции тел методом крутильных колебаний.

Теоретическое введение

Абсолютно твердым телом называется тело, деформациями которого в данных условиях можно пренебречь. При этом расстояния между любыми двумя точками тела остаются неизменными. При вращении тела с закрепленной осью все точки тела, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения. При таком движении путь S, скорость v, ускорение а разных точек тела неодинаковы, поэтому для описания движения неудобно пользоваться этими понятиями. Угол поворота α любой точки тела одинаков и может быть использован как мера перемещения тела. Угловое перемещение Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru – это вектор, направленный по оси вращения по правилу буравчика, модуль которого равен углу поворота тела за время Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . Угловая скорость характеризует быстроту вращения и равна производной по времени от углового перемещения:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.1)

Вектор угловой скорости направлен по оси вращения так же, как и угловое перемещение. Быстроту изменения угловой скорости во времени характеризует угловое ускорение:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.2)

Вектор углового ускорения направлен по оси вращения в ту же сторону, что и вектор угловой скорости Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , если величина угловой скорости увеличивается, и в сторону, противоположную Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , если ее модуль уменьшается.

Найдем связь между линейными и угловыми величинами. Величина линейного перемещения dS точки, вращающейся по окружности радиуса r:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.3)

Разделив обе части уравнения (13.3) на Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , получим: Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . Так как производная пути по времени – это величина скорости: Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , а Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , то

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.4)

Теперь продифференцируем (13.4) по времени: Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , или:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , (13.5)

где Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru – касательное (тангенциальное) ускорение, определяющее быстроту изменения модуля скорости Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru : Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . Основной закон динамики твердого тела аналогичен второму закону Ньютона при поступательном движении:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru (13.6)

и позволяет определить угловое ускорение твердого тела: угловое ускорение твердого тела прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.7)

Моментом силы относительно оси называется вектор, направленный по оси вращения и связанный с направлением силы правилом буравчика, модуль которого равен произведению силы на ее плечо: Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . Плечо силы Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru относительно оси вращения – это кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения (рис.13.1). Момент силы можно записать в векторном виде:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , (13.8)

где Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru – радиус-вектор точки приложения силы.

Момент инерции Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru твердого тела является мерой инертных свойств твердого тела при вращательном движениии аналогичен массе тела во втором законе Ньютона. Момент инерции Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru материальной точки с массой Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru относительно оси ОО равен произведению массы материальной точки на квадрат ее расстояния до оси:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.9)

Твёрдое тело можно мысленно разбить на материальные точки и просуммировать по всем элементарным массам, тогда момент инерции твёрдого тела можно записать как

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.10)

То есть момент инерции твердого тела относительно оси равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от этой оси. Момент инерции существенно зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения (в направлении, перпендикулярном оси). В случае непрерывного распределения массы сумма в (13.10) сводится к интегралу по всему объему тела:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.11)

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru Вычислим момент инерции однородного диска плотностью ρ, высотой h, внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2 (рис.13.2) относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости диска. Разобьем диск на тонкие кольца толщиной dr и высотой h так, что внутренний радиус кольца равен r, внешний – (r+dr). Объем такого кольца Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , где Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru – площадь основания тонкого кольца. Его масса:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.12)

Подставим dm в (13.11) и проинтегрируем по r ( Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru ):

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru .

Масса всего диска равна

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru ,

тогда окончательно:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.13)

В частном случае сплошного диска или цилиндра радиусом R подставим в (13.13) R1=0, R2=R и получим:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.14)

Если ось вращения не проходит через центр масс тела, вычисления по формуле (13.11) могут быть довольно сложными. В этом случае расчет момента инерции облегчается применением теоремы Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru между осями:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.15)

В данной работе момент инерции тела (платформы) определяется экспериментально методом крутильных колебаний. Рассмотрим общие закономерности колебательного движения крутильного маятника.

Испытуемое твердое тело 1, имеющее вид диска радиуса R, подвешено на упругой металлической проволоке 2 (рис.13.3) так, что нижний конец проволоки проходит через центр тяжести диска, а верхний закреплен. При повороте диска на некоторый угол aвокруг оси ОО возникают упругие силы, которые стремятся возвратить диск к положению равновесия. Возвращающий момент сил М обусловлен упругими деформациями, возникающими при закручивании стальной проволоки, с которой скреплена платформа. При малых углах поворота α можно считать, что этот момент сил прямо пропорционален углу поворота, то есть выполняется закон Гука:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , (13.16)

где Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru – коэффициент пропорциональности, называемый модулем кручения, величина которого зависит от материала проволоки и ее размеров. Знак «–» показывает, что момент упругих сил возвращает тело к положению равновесия, то есть векторы момента сил Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru и углового перемещения Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru направлены в противоположные стороны, их проекции на ось вращения имеют противоположные знаки.

По основному закону динамики вращательного движения (13.7):

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , (13.17)

где Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru – момент инерции тела относительно оси ОО, Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru – угловое ускорение. Из (13.2), (13.16) и (13.17) получаем уравнение для угла поворота α:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.18)

Уравнение (13.18) можно записать так:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , (13.19)

где принято обозначение: Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , или:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.20)

Уравнение вида (13.19) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Его решением является гармоническая функция:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.21)

Здесь ω – круговая частота колебаний, φ0 – начальная фаза, φ=ωt+φ0 – фаза колебаний в данный момент времени, A – амплитуда колебаний (максимальное значение угла поворота α). Убедимся в том, что (13.21) является решением дифференциального уравнения (13.19), непосредственной подстановкой, вычислив производные:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru ;

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.22)

Из (13.22) следует (13.19). Вообще, если вторая производная по времени какой-либо физической величины пропорциональна самой величине с противоположным знаком, то данная физическая величина изменяется со временем по гармоническому закону, то есть по закону синуса или косинуса.

Периодкрутильныхколебаний, то есть время одного полного колебания, найдем из (13.20):

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.23)

Из выражения (13.23) выразим момент инерции тела:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.24)

Неизвестный модуль кручения К можно исключить из (13.24) следующим образом. На диск помещают дополнительный груз, момент инерции которого Iгруз. относительно оси колебаний известен. При этом полный момент инерции тела с дополнительным грузом станет равным I1=I+Iгруз, и период T1 крутильных колебаний изменится:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , (13.25)

или:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.26)

Поделив почленно (13.26) на (13.24), получим:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru ,

откуда окончательно для неизвестного момента инерции платформы:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.27)

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: лабораторная установка с секундомером и металлические диски.

Описание установки (вариант 1).

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru В первом варианте установки (рис.13.3) платформа 1, момент инерции которой требуется определить, подвешена на проволоке 2. На платформу 1 симметрично на расстоянии a от центра помещают три дополнительных груза массой m и радиусом r каждый. Эти три груза относительно оси ОО создают дополнительный момент инерции Iгруз, который находится по теореме Штейнера (13.15) и равен:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.28)

Здесь момент инерции одного дополнительного груза относительно оси, проходящей через его центр масс, найден из (13.14): Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru .

Подставив (13.28) в (13.27), для вычисления искомого момента инерции платформы окончательно получим:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.29)

Для измерения линейных размеров и расстояний используется штангенциркуль и линейка, время определяется по секундомеру, масса каждого дополнительного груза m=730 г.

Порядок выполнения работы

1. Исследуемое тело – платформу (без дополнительных грузов) приведите в крутильные колебания.

Внимание!Угол закручивания не должен превышать 10-150, иначе можно сломать установку. Кроме того, при больших углах закручивания не выполняется закон Гука (13.16), и колебания не будут гармоническими.

Секундомером измерьте время t, которое требуется для совершения 20 полных колебаний. Опыт повторите 5 раз, найдите среднее время tср и вычислите период колебаний:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.30)

2. На исследуемое тело установите 3 дополнительных груза (диска) и вновь (5 раз) определите время 20 колебаний, найдите t1ср. и период колебаний:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.31)

3. Штангенциркулем измерьте радиус дополнительных дисков r и линейкой – расстояние a между осями. Измерения проводятся три раза; значения a и r усредняются.

4. Вычислите момент инерции по формуле (13.29).

5. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 13.1.

6. Вычислите абсолютную и относительную погрешности измерений.

Замечание 1: погрешность времени Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru рассчитывается по стандартной методике расчета погрешностей случайной величины:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , (13.32)

где коэффициент Стьюдента для числа опытов n=5 и доверительной вероятности α=0.95 равен: Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . При этом погрешность периода колебаний из (13.30):

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.33)

Замечание 2: для вычисления относительной погрешности Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru момента инерции Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru можно воспользоваться формулой:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru .

Замечание 3: можно рассчитать момент инерции Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru в каждом из 5 опытов, а затем усреднить. Расчёт погрешности Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru в этом случае производится по стандартной методике расчета погрешностей случайной величины (аналогично (13.32)).

7. Сделайте выводы.

Таблица 13.1.

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru
t Δti t1 Δt1i T T1 Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru ΔIi Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru
  c с c с с с кг.м2 кг.м2  
                 
               
               
               
               
  tср=. Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru t1ср.= Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru Tср.= T1ср.= Iср.= Σ(ΔIi)2=
Δt= Δt1= ΔT= ΔT1= ΔIср=
                       

Описание установки (вариант 2).

Установка (рис.13.4) состоит из штатива, исследуемого диска 1, закрепленного на проволоке 2, и одного съемного груза в виде диска 3. Ось съемного груза совпадает с осью диска. Для измерения линейных размеров и расстояний используется штангенциркуль и линейка, время определяется по секундомеру. Массу съемного диска необходимо определить из его размеров и плотности.

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru Масса диска Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru (плотность стали ρ=7800 кг/м3), а его объем Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , тогда

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , (13.34)

а момент инерции дополнительного съемного диска из (13.34) и (13.13):

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.35)

Далее из (13.27) и (13.35) получим расчетную формулу для момента инерции платформы:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru . (13.36)

Порядок выполнения работы

Исследуемое тело (без дополнительного кольца) приводится в крутильные колебания.

Внимание! Угол закручивания не должен превышать 10-150, иначе можно сломать установку. Кроме того, при больших углах закручивания не выполняется закон Гука (13.16), и колебания не будут гармоническими.

1. Секундомером измерьте время t, которое требуется для совершения 20 полных колебаний, и вычислите период колебаний по формуле (13.30). Опыт повторите 5 раз.

2. На исследуемое тело установите дополнительное кольцо и вновь (5 раз) определите время 20 колебаний, найдите t1ср. и период колебаний (13.31).

3. Линейкой и (или) штангенциркулем измерьте внутренний R1 и внешний R2 радиусы дополнительного кольца и его толщину h (рис.13.4). Вычислите момент инерции по формуле (13.36).

4. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу 13.2.

5. Вычислите абсолютную и относительную погрешности измерений.

Замечание: для вычисления относительной погрешности Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru можно воспользоваться формулой:

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru ,

при этом Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru рассчитывается по усредненным значениям периода; либо Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru рассчитывается в каждом из пяти опытов, затем усредняется, и погрешность Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru рассчитывается как погрешность случайной величины, аналогично формуле (13.32). Можно рассчитать погрешность обоими способами и сравнить результаты.

6. Сделайте выводы.

Таблица 13.2

Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru , Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru
t Δti t1 Δt1i T T1 Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru ΔIi Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru
  c с c с с с кг.м2 кг.м2  
                 
               
               
               
               
  tср=. Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru t1ср.= Измерение момента инерции тела методом крутильных колебаний - student2.ru Tср.= T1ср.= Iср.= Σ(ΔIi)2=
Δt= Δt1= ΔT= ΔT1= ΔIср=

Контрольные вопросы

1. Дайте определение углового перемещения, угловой скорости и ускорения. Как направлены эти вектора?

2. Запишите формулы, связывающие линейные и угловые величины перемещения, скорости, ускорения.

3. Что такое момент силы относительно оси? От чего он зависит? Как направлен вектор момента силы?

4. Что такое момент инерции материальной точки, твердого тела, от чего он зависит?

5. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.

6. Выведите дифференциальное уравнение крутильных колебаний (13.18).

7. Докажите, что выражение (13.21) является решением дифференциального уравнения (13.18).

8. Какие колебания являются гармоническими?

9. Что такое период колебаний, частота колебаний?

10. Сформулируйте теорему Штейнера и покажите, где в работе она используется.

11. Можно ли пользоваться расчетными формулами в этой работе, если углы отклонения крутильных колебаний будут большими? Почему?

Используемая литература

[5] §2.8, 7.1, 19.1, 19.2; [3]§4.1-4.3, 27.1, 27.2; [1]§36-39, 52, 53; [6]§1.4, 1,31-1.34, 3.3, 3.6; [7] §2,3 4, 16, 17, 18, 19, 140, 141, 142.

Лабораторная работа 1-14

Наши рекомендации