II Основы молекулярной физики и термодинамики

Пояснения к рабочей программе

Приступая к изучению раздела «Основы молекулярной физики и термодинамики», студенты должны уяснить, что существует два качественно различных и взаимодополняющих метода исследования физических свойств микроскопических систем – статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический. Статистический метод исследования лежит в основе молекулярной физики, а термодинамический – в основе термодинамики. Молекулярно-кинетическая теория является важнейшей теорией, которая позволяет с единой точки зрения рассмотреть самые различные явления во всех состояниях вещества, вскрыть физическую сущность этих явлений и теоретическим путем вывести многочисленные закономерности, открытые экспериментально и имеющие большое практическое значение.

При изучении молекулярно-кинетической теории следует уяснить, что свойства огромной совокупности молекул отличны от свойств каждой отдельной молекулы и свойства макроскопической системы в конечном счете определяются свойствами частиц системы, особенностями их движения и средними значениями кинематических характеристик частиц, т.е. их скоростей, энергией и т.д.

В отличие от молекулярно-кинетической теории термодинамика не изучает конкретно молекулярные взаимодействия, происходящие с отдельными молекулами или атомами, а рассматривает взаимопревращения и связь различных видов энергии, теплоты и работы. Термодинамика основывается на двух, установленных опытным путем законах (началах): первом и втором законах термодинамики. Они позволяют описывать физические явления, связанные с превращением энергии макроскопическим путем.

При изучении основ термодинамики студент должен четко усвоить такие понятия, как термодинамическая система, термодинамические параметры (параметры состояния), равновесное состояние, уравнение состояния, термодинамический процесс, внутренняя энергия, энтропия и т.д.

Контрольная работа № 2 построена так, что позволяет проверить знания студентов по основным вопросам данного раздела.

В задачах на тему «Основы молекулярно-кинетической теории» внимание уделено таким вопросам программы, как уравнение Клапейрона-Менделеева, уравнение молекулярно-кинетической теории, средне кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, средняя длина свободного пробега и среднее число соударений, явления переноса.

Задачи по теме «Основы термодинамики» охватывают такие важные соотношения и понятия, как первое начало термодинамики, внутренняя энергия, работа при различных изопроцессах и адиабатном процессе. Включены также задачи, которые позволяют изучить и понять такие вопросы, как цикл Карно, второе начало термодинамики и энтропия, которая в отличие от количества теплоты является функцией состояния.

Основные законы и формулы

Количество вещества	или
Количество вещества смеси газов	или
Уравнение Клапейрона-Менделеева (уравнение состояния идеального газа)
Закон Бойля-Мариотта	или
Закон Гей-Люссака	или
Закон Шарля	или

Закон Дальтона
Молярная масса смеси газов
Концентрация молекул
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
Средняя кинетическая энергия молекулы
Внутренняя энергия идеального газа
Скорости молекул:
средняя квадратичная
средняя арифметическая
наиболее вероятная
Средняя длина свободного пробега молекулы
Среднее число соударений молекулы за 1 с
Распределение молекул в потенциальном поле сил (распределение Больцмана)
Барометрическая формула
Уравнение диффузии (закон Фика)
Сила внутреннего трения в жидкости (газе)
Уравнение теплопроводности
Коэффициент диффузии
Динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения)
Теплопроводность
Уравнение Майера
Теплоемкость молярная:
изохорная
изобарная
Первое начало термодинамики
Работа расширения газа при процессе:
изобарном
изотермическом
адиабатном
Уравнение Пуассона
Показатель адиабаты (коэффициент Пуассона)
Коэффициент полезного действия тепловой машины
Коэффициент полезного действия цикла Карно
Изменение энтропии

Примеры решения задач

1.В сосуде объемом V=2 л находятся масса m₁=6 г углекислого газа (CO₂) и масса m₂=5 г закиси азота (N₂O) при температуре t=127 °С. Найти давление и молярную массу смеси газов.

Дано:	Решение:
V=2 л=2×10-3 м3 m1=6 г=0,006 кг m2=5 г=0,005 кг t=127°C T=127+273=400 K m1=0,044 кг/моль m2=0,044 кг/моль	Запишем уравнения Клапейрона-Менделеева для углекислого газа: (1) и для закиси азота: , (2)
Найти: p - ? m- ?	где p1 – парциальное давление углекислого газа; m1 – масса углекислого газа; m1 – молярная масса углекислого газа;
	R=8,31 Дж/(мольК) – универсальная газовая постоянная; p2 – парциальное давление закиси азота; V – объем сосуда; T – температура газа; m2 – масса закиси азота; m2 – молярная масса закиси азота. Под парциальным давлением понимается давление, которое оказывал бы газ на стенки сосуда, если бы он только один находился в нем. По закону Дальтона, давление смеси газов равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси: p=p1+p2 (3) Из уравнений (1) и (2) выразим p1 и p2 и подставим в уравнение (3): Подставляем числовые значения и получаем: Па Молярную массу смеси определим по формуле: кг/моль   Ответ:p=4,2×105 Па; m=0,044 кг\моль.

2.Чему равна энергия теплового движения 20 г азота при температуре t=27°С? Найти средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул.

Дано:	Решение:
m=20 г=0,02 кг t=27°C T=27+273=300 K m=0,028 кг/моль	Считаем азот идеальным газом. Молекула азота двухатомная. Связь между атомами считаем жесткой, тогда число степеней свободы молекулы азота i=5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия: ,
Найти:U - ? áЕпостñ - ? áЕвращñ - ?	где k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура. Поступательному движению приписывается три степени свободы iпост=3, а вращательному две степени свободы iвращ=2.
	Тогда средняя энергия поступательного движения одной молекулы: . Средняя энергия вращательного движения одной молекулы: Число молекул, содержащихся в массе газа: , где m – масса азота; m - молярная масса азота; n - кличество вещества (число молей); NA – число Авогадро. Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул азота: , (1) где R=kNA – универсальная газовая постоянная. Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул азота: (2) Тогда энергия теплового движения молекул азота: (3) Подставляя числовые значения в (1) , (2) и (3), получаем: Дж Дж

Дж Ответ: кДж; кДж; U=4,5 кДж.

3.Найти среднее число столкновений в единицу времени и среднюю длину свободного пробега молекул кислорода при давлении р=53,33 кПа и температуре t=27°С. При этих же условиях определите коэффициенты диффузии и внутреннего трения кислорода.

Дано:	Решение:
t=27°C T=27+273=300 K m=0,032 кг/моль р=53,33 кПа= =53,33×103 Па d=2,9×10-10 м	Средняя длина свободного пробега молекул кислорода: , (1) где d – эффективный диаметр молекулы кислорода; n – концентрация молекул. Ее можно определить из уравнения p=nkT: , (2)
Найти: ázñ - ? álñ - ? D - ? h - ?	где k – постоянная Больцмана. Подставляем (2) в (1) и получаем:
	(3) Среднее число соударений одной молекулы за одну секунду равно: , (4) где áuñ - средняя арифметическая скорость молекулы: (5) Подставляем (3) и (5) в (4) и получаем: (6) Коэффициент диффузии: (7) Подставляем (3) и (5) в (7) и получаем: (8)

Коэффициент внутреннего трения: (9) где r - плотность газа при температуре T=300 К и давлении p=53,33 кПа. Для нахождения r воспользуемся уравнением Клапейрона-Менделеева: (10) Из уравнения (10): (11) Подставляем (11) в (9) и учитывая (7), получаем: (12) Подставляя числовые значения в (3), (6), (8), (12), получаем: м кг/(м×с)   Ответ: м; ; ; кг/(м×с).

4.Масса m=6,5 г водорода, находящегося при температуре t=27°С, расширяется вдвое при р=const за счет притока тепла извне. Найти работу A расширения газа, изменения DU внутренней энергии газа и количество теплоты Q, сообщенное газу.

Дано:	Решение:
t1=27°C T1=27+273=300 K m=0,002 кг/моль m=6,5 г=6,5×10-3 кг V2=2V1	Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении: , (1)
Найти: A- ? DU - ? Q - ?	где cp – молярная теплоемкость газа при постоянном давлении. Для всех двухатомных газов (с жесткой связью):
	; Дж/(моль×К) Температуру T2 найдем из закона Гей-Люссака: (2) Из уравнения (2) получаем: (3) С учетом (3) выражение (1) запишется: (4) Изменение внутренней энергии газа: , (5) где cv – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Для всех двухатомных газов(с жесткой связью): ; Дж/(моль×К) С учетом (3) выражение (5) запишется: (6) Работа расширения газа при изобарном процессе: (7) С учетом (3) выражение (7) запишется: (8) Подставляя числовые значения в формулы (4), (6) и (8), получаем:
	Дж=28,4 кДж Дж=20,3 кДж =8,1 кДж   Ответ: Q=28,4 кДж; DU=20,3 кДж; A=8,1 кДж

5.Объем аргона, находящегося при давлении p=80 кПа увеличился от V₁=1 л до V₂=2 л. Насколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось адиабатно?

Дано:	Решение:
m=0,040 кг/моль р=80 кПа= =80×103 Па V1=1 л=10-3 м3 V2=2 л=2×10-3 м3	При адиабатном расширении теплообмена с внешней средой не происходит, поэтому Q=0. Первый закон термодинамики запишем в виде: (1) Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа может быть произведена только за счет уменьшения
Найти: DU - ?	внутренней энергии газа: (2)
	Работа, совершаемая газом при адиабатном процессе, , (3) где - показатель степени адиабаты. Для аргона одноатомного газа (i=3) имеем g=1,67. Найдем изменение внутренней энергии при адиабатном процессе для аргона, учитывая формулы (2) и (3): (4) Подставляем числовые значения в (4), получаем: Дж   Ответ: DU=-44,6 Дж

6.Идеальный газ, совершающий цикл Карно, произвел работу A=600 Дж. Температура нагревателя равна T₁=500 К, холодильника –.Определить термический к.п.д. цикла и количество теплоты, отданное холодильнику за один цикл.

Дано:	Решение:
A=600 Дж T1=500 К T2=300 К	Термический к.п.д. цикла Карно: (1)
Найти: h - ? Q2 - ?	С другой стороны к.п.д. машины:
	(2) Из выражения (2) находим количество теплоты отданное холодильнику: , (3) где - количество теплоты, полученной от нагревателя. Подставив это выражение в (3), получим: (4) Подставляем числовые значения и получаем: Дж   Ответ: h=0,4; Q2=900 Дж

7. Определить изменение энтропии при изотермическом расширении азота массой m=10 г, если давление газа уменьшилось от p₁=0,1 МПа до p₂=50 кПа.

Дано:	Решение:
m=10 г=0,01 кг p1=0,1 МПа=105 Па p2=50 кПа= =5×104 Па	Изменение энтропии с учетом, что процесс изотермический (T=const): (1)
Найти: DS - ?	Из первого начала термодинамики количество теплоты, полученное газом, . Для изотермического процесса DU=0, поэтому: Q=A (2) Работа газа в изотермическом процессе
	(3) Учитывая (2) подставим (3) в (1) и получим (4) Подставляем числовые значения в (4) и получаем: Дж/К   Ответ: DS=2,06 Дж/К

Контрольная работа № 2

1. Какой объем при нормальных условиях занимает смесь 4 кг гелия и 2 кг азота?

2. В баллоне емкостью 5 л находится 2 кг водорода и 1 кг кислорода. Определить давление смеси, если температура окружающей среды 7° С.

3. В баллоне емкостью 20 л находится азот при 127° С. После того, как часть газа выпустили, давление понизилось на 2×10⁵ Па. Определить массу выпущенного азота. Процесс считать изотермическим.

4. В сосуде, имеющем форму шара, радиус которого 0,2 м, находится 80 г кислорода. До какой температуры можно нагревать сосуд, если его стенки выдерживают давление 7×10⁵ Па?

5. При какой температуре находится газ, если при нагревании его на 20°С при постоянном давлении объем увеличился в 2 раза? Для каких газов это возможно?

6. В баллоне под давлением 1 МПа находится газовая смесь из кислорода и азота. Считая, что масса азота составляет 80% от массы смеси, определить парциальное давление отдельных газов.

7. Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давление p₁=2 МПа и температура T₁=800 К, в другом – p₂=2,5 МПа, T₂=200 К. Сосуды соединили трубкой и охладили находящийся в них кислород до температуры T=200 К. Определить установившееся в сосудах давление p.

8. При температуре 27°С и давлении 12×10⁵ Па плотность смеси водорода и азота 10 г/дм³. Определить молярную массу смеси.

9. До какой температуры нужно нагреть запаянный шар, содержащий 35 г воды, чтобы шар разорвался, если известно, что стенки шара выдерживают давление 2×10⁷ Па? Емкость шара 1л.

10. В пустой сосуд емкостью 5 дм³ впустили 3 дм³ азота под давлением 250 кПа и 4 дм³ водорода под давлением 50 кПа. Каково давление образовавшейся смеси?

11. Давление идеального газа 2 МПа, концентрация молекул 2×10²³ см^-3. Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы и температуру газа.

12. Определить среднюю кинетическую энергию одной молекулы неона, кислорода и водяного пара при температуре 500 К.

13. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа равна 5×10^-21 Дж. Концентрация молекул 3×10¹⁹ см^-3. Определить давление газа.

14. Определить среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы двухатомного газа, если суммарная кинетическая энергия молекул одного киломоля этого газа равна 6,02 МДж.

15. Сколько молекул водорода находится в сосуде емкостью 1 л, если средняя квадратичная скорость движения молекул 500 м/с, а давление на стенки сосуда 1 кПа?

16. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул, содержащихся в 0,25 г водорода при температуре 27°С.

17. При какой температуре средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа равна 4,14×10^-21 Дж?

18. Количество вещества гелия n=1,5 моль, температура T=120 К.Определить суммарную кинетическую энергию поступательного движения всех молекул гелия.

19. В сосуде емкостью 500 см³ находится газ при температуре 47°С. Из-за утечки газа из колбы просочилось 10²¹ молекул. На сколько снизилось давление газа в сосуде?

20. Определить среднюю квадратичную скорость молекулы газа, заключенного в сосуд вместимостью V=2 л под давлением p=200 кПа. Масса газа m=0,3 г.

21. Во сколько раз коэффициент диффузии молекул кислорода больше коэффициента диффузии молекул азота? Температура и давление газов одинаковые.

22. Сколько соударений в секунду в среднем испытывает молекула водорода, находящегося при нормальных условиях?

23. Определить коэффициент внутреннего трения углекислого газа при температуре 200 К.

24. Сосуд емкостью 10 л содержит водород массой 20 г. Определить среднее число соударений молекул в секунду, если температура газа 300 К.

25. Динамическая вязкость кислорода при нормальных условиях 1,91×10^-4 кг/(м×с). Какова средняя длина свободного пробега молекул кислорода при этих условиях?

26. В сосуде находится углекислый газ, плотность которого r=1,7 кг/м³. Средняя длина свободного пробега его молекул álñ=79 нм. Найти диаметр молекул унлекислого газа.

27. Определить среднюю длину свободного пробега молекул азота, если плотность разреженного газа 0,9×10^-6 кг/м³.

28. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул кислорода равна 1,25 м, если температура газа 47° С?

29. Вычислить среднюю длину свободного пробега молекул воздуха при давлении 1×10⁵ Па и температуре 10° С.

30. Вычислить коэффициент диффузии воздуха при давлении p=10⁵ Па и температуре t=17°С.

31. Количество n=1 кмоль азота, находящегося при нормальных условиях, расширяется адиабатически от объема V₁ до объема V₂=5V₁. Найти изменение внутренней энергии газа и работу, совершенную газом при расширении.

32. Найти работу и изменение внутренней энергии при адиабатном расширении 0,5 кг воздуха, если его объем увеличился в 5 раз. Начальная температура 17°С.

33. Определить количество теплоты, сообщенное 14 г азота, если он был изобарически нагрет от 37°С до 187°С. Какую работу при этом совершит газ и как изменится его внутренняя энергия?

34. Во сколько раз увеличится объем 2 моль водорода при изотермическом расширении при температуре 27°С, если при этом была затрачена теплота 8 кДж?

35. Водород, занимающий объем 4 л и находящийся под давлением 10⁵ Па, адиабатно сжат до объема 1л. Найти работу сжатия и изменение внутренней энергии водорода.

36. Масса m=10,5 г азота изотермически расширяется при температуре t=-23°С, причем его давление изменяется от p₁=250 кПа до p₂=100 кПа. Найти работу, совершенную газом при расширении.

37. При нагревании 0,5 кмоль азота было передано 1000 Дж теплоты. Определить работу расширения при постоянном давлении.

38. Определить, какое количество теплоты необходимо сообщить углекислому газу массой 440 г, чтобы нагреть его на 10 К: а) изохорно; б) изобарно.

39. Какое количество теплоты нужно сообщить 1 моль кислорода, чтобы он совершил работу в 10 Дж: а) при изотермическом процессе; б) при изобарном?

40. Азот массой 1 кг, находящийся при температуре 300 К, сжимают: а) изотермически; б) адиабатно, увеличивая давление в 10 раз. Определить работу, затраченную на сжатие газа, в обоих случаях.

41. Какая часть теплоты, полученной от нагревателя, отдается холодильнику при прямом цикле Карно, если температура нагревателя в четыре раза больше температуры холодильника?

42. Найти КПД цикла, состоящего из двух изобар и из двух адиабат, если температуры характерных точек равны Т₁=370 К, Т₂=600 К, Т₃=500 К, Т₄=350 К. Решение пояснить диаграммой PV.

43. За счет 1 кДж теплоты, полученного от нагревателя, машина, работающая по циклу Карно, совершает работу 0,5 кДж. Температура нагревателя 500 К. Определить температуру холодильника.

44. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагревателя Т₁=500 К, температура холодильника Т₂=250 К. Определить термический кпд цикла, а также работу рабочего вещества при изотермическом расширении, если при изотермическом сжатии совершена работа 70 Дж.

45. Определить, на сколько процентов изменится КПД прямого цикла Карно, если температура нагревателя 894 К, а температура холодильника уменьшилась от 494 К до 394 К.

46. Совершая прямой цикл Карно, газ отдал холодильнику 25 % теплоты, полученной от нагревателя. Определить температуру холодильника, если температура нагревателя 500 К.

47. Тепловая машина работает по циклу Карно, КПД которого 0,2. Каким будет КПД этой машины, если она совершит тот же цикл в обратном направлении?

48. Холодильная машина работает по обратному циклу Карно, КПД которого 300%. Каков будет КПД тепловой машины, работающей по прямому циклу Карно?

49. Определить работу идеальной тепловой машины за один цикл, если она в течение цикла получает от нагревателя количество теплоты 2095 Дж. Температура нагревателя 500 К, холодильника 300 К.

50. Температура нагревателя тепловой машины, работающей по циклу Карно, 480 К, температура холодильника 390 К. Какой должна быть температура нагревателя при неизменной температуре холодильника, чтобы КПД машины увеличился в 2 раза?

51. При изобарном расширении водорода массой 200 г его объем увеличивается в 3 раза. Определить изменение энтропии водорода при этом процессе.

52. Определить изменение энтропии, происходящее при смешивании 2 кг воды при температуре 250 К и 4 кг воды при температуре 300 К.

53. Объем кислорода, масса которого 10 г, увеличился в 4 раза: а) изотермически; б) адиабатно. Каково изменение энтропии в этих случаях?

54. Определить изменение энтропии 1 моль идеального газа при изохорном, изобарном и изотермическом процессах.

55. Определить изменение энтропии 2 кг расплавленного свинца при охлаждении его от 327°С до 10°С. Температура плавления свинца 327°С.

56. Найти изменение энтропии при нагревании 1 кг воды от 0°С до 100°С и последующем превращении ее в пар при той же температуре.

57. Найти изменение энтропии при изотермическом расширении 6 г водорода, если при этом давление его изменится от p₁=100 кПа до p₂=50 кПа?

58. Определить изменение энтропии при изобарном нагревании 0,1 кг азота от 17°С до 97°С.

59. Лед массой 0,2 кг, находящийся при температуре -30°С, превращается в пар. Определить изменение энтропии в этом случае.

60. Железо массой 1 кг при температуре 100°С находится в тепловом контакте с таким же куском железа при 0°С. Чему будет равно изменение энтропии при достижении равновесной температуры 50°С? Считать, что молярная теплоемкость железа 25,14 Дж/К.

Приложение

1. Основные физические постоянные

Физическая постоянная	Обозначение	Числовое значение
Ускорение свободного падения	g	9,81 м/с2
Гравитационная постоянная	G	6,67×10-11 Н×м2/кг2
Скорость света в вакууме	с	3×108 м/с
Постоянная Авогадро	NA	6,02×1023 моль-1
Молярная газовая постоянная	R	8,31 Дж/(моль×К)
Постоянная Больцмана	k	1,38×10-23 Дж/К
Нормальные условия:
температура	T0	273,15 К
давление	P0	101325 Па

2. Плотность газов (при нормальных условиях), кг/м³

Азот	1,25	Водород	0,09	Гелий	0,18
Аргон	1,78	Воздух	1,29	Кислород	1,43

3. Эффективный диаметр молекулы газов d×10¹⁰, м

Азот	3,1	Воздух	3,0	Гелий	1,9
Аргон	3,6	Водород	2,3	Кислород	2,9
		Углекислый газ	4,0

4. Скорость звука в веществе (при 15°С), м/с

Бериллий
Воздух
Вода
Воск

5. Свойства некоторых жидкостей (при 20°С)

Вещество	Плотность, кг/м3	Удельная теплоемкость, Дж/(кгК)
Вода
Глицерин
Касторовое масло
Керосин
Ртуть
Спирт

5. Свойства некоторых твердых тел

Вещество	Плотность, кг/м3	Температура плавления, °С	Удельная теплоемкость, Дж/(кг×К)	Удельная теплота плавления, кДж/кг
Алюминий
Железо
Латунь				-
Лед
Медь
Серебро
Сталь				-
Цинк
Свинец				22,6

6. Масса m₀ и энергия Е₀ покоя некоторых частиц

Частица	m0	E0
а.е.м.	кг	МэВ	1010, Дж
Электрон	0,0005486	9,1×10-31	0,511	0,00082
Протон	1,007277	1,67×10-27	938,27	1,503
Нейтрон	1,008665	1,67×10-27	939,56	1,505
a-частица	4,001507	6,64×10-27	3727,3	5,972

При разработке методического пособия была использована литература: