Основы молекулярной физики и термодинамики

Элементы кинематики

· Средняя и мгновенная скорости материальной точки

где Dr- элементарное перемещение точки за промежуток времени Dt; r- радиус-вектор точки; Ds- путь, пройденный точкой за промежуток времени Dt.

· Среднее и мгновенное ускорения материальной точки

· Полное ускорение при криволинейном движении

где тангенциальная составляющая ускорения; нормальная составляющая ускорения (r- радиус кривизны траектории в данной точке).

· Путь и скорость для равнопеременного движения

где v₀- начальная скорость.

· Угловая скорость

· Угловое ускорение

· Угловая скорость для равномерного вращательного движения

где Т- период вращения; n- частота вращения (n=N/t, где N- число оборотов, совершаемых телом за время t).

· Угол поворота и угловая скорость для равнопеременного вращательного движения

;

где w₀- начальная угловая скорость.

· Связь между линейными и угловыми величинами:

где R- расстояние от оси вращения.

Динамика материальной точки

и поступательного движения твердого тела

· Импульс (количество движения) материальной точки

· Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики материальной точки)

· Это же уравнение в проекциях на касательную и нормаль к траектории точки

· Сила трения скольжения

где f- коэффициент трения скольжения; N- сила нормального давления.

· Сила трения качения

где f_к- коэффициент трения качения; r- радиус катящегося тела.

· Закон сохранения импульса для замкнутой системы

где n- число материальных точек (или тел), входящих в систему.

Работа и энергия

· Работа, совершаемая постоянной силой

,

где F_s- проекция силы на направление перемещения; a- угол между направлениями силы и перемещения.

· Работа, совершаемая переменной силой, на пути s

· Средняя мощность за промежуток времени Dt

· Мгновенная мощность

или .

· Кинетическая энергия движущегося тела

Потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту h,

где g- ускорение свободного падения.

· Сила упругости

где x- деформация; k- коэффициент упругости.

· Потенциальная энергия упругодеформированного тела

· Закон сохранения механической энергии (для консервативной системы)

· Коэффициент восстановления

где v_n^/ и v_n - соответственно нормальные составляющие относительно скорости тел после и до удара.

· Скорости двух тел массами m₁ и m₂ после абсолютно упругого центрального удара.

где v₁ и v₂ – скорости тел до удара.

· Скорость движения тел после абсолютно неупругого центрального удара

Механика твердого тела

· Момент инерции материальной точки

где m – масса точки; r – расстояние до оси вращения.

· Момент инерции системы (тела)

где r_i – расстояние материальной точки массой m_i до оси вращения. В случае непрерывного распределения масс .

· Моменты инерции тел правильной геометрической формы (тела считаются однородными; m- масса тела):

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостен- ный цилиндр ради- уса R   Сплошной цилиндр или диск радиусом R   Прямой тонкий стержень длиной l   То же     Шар радиусом R	Ось симметрии   То же     Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину   Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец   Ось проходит через центр шара	MR2   (1/2)mR2     (1/12)ml2     (1/3)ml2     (2/5)mR2

· Теорема Штейнера

где J_C- момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс; J- момент инерции относительно параллельной оси, отстоящей от первой на расстоянии а; m- масса тела.

· Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

где J_z – момент инерции тела относительно оси z; ω- его угловая скорость.

· Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

где m- масса тела; v_c- скорость центра масс тела; J_c- момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω- угловая скорость тела.

· Момент силы относительно неподвижной точки

где r- радиус-вектор, проведенный из этой точки в точку приложения силы F. Модуль момента силы

где l- плечо силы (кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения).

· Работа при вращении тела

где dφ- угол поворота тела; M_z- момент силы относительно оси z.

· Момент импульса (момент количества движения) твердого тела относительно оси вращения

,

где r_i- расстояние от оси z до отдельной частицы тела; m_iv_i- импульс этой частицы; J_z- момент инерции тела относительно оси z; ω- его угловая скорость.

· Уравнение (закон) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

где ε- угловое ускорение; J_z – момент инерции тела относительно оси z.

· Закон сохранения момента импульса (момента количества движения) для замкнутой системы.

· Напряжение при упругой деформации

где F- растягивающая (сжимающая) сила; S- площадь поперечного сечения.

· Относительное продольное растяжение (сжатие)

где Δl – изменение длины тела при растяжении (сжатии); l – длина тела до деформации.

· Закон Гука для продольного растяжения (сжатия)

где Е- модуль Юнга.

Тяготение

· Закон всемирного тяготения

где F- сила всемирного тяготения (гравитационная сила) двух материальных точек массами m₁ и m₂; r- расстояние между точками; G- гравитационная постоянная.

· Сила тяжести

где m- масса тела; g- ускорение свободного падения.

· Напряженность поля тяготения

где F- сила тяготения, действующая на материальную точку массой m, помещенную в данную точку поля.

· Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m₁ и m₂, находящихся на расстоянии r друг от друга,

· Первая и вторая космические скорости

где R₀- радиус Земли.

Основы молекулярной физики и термодинамики

Молекулярно-кинетическая теория

идеальных газов

· Закон Бойля-Мариотта

при T=const, m=const,

где p- давление; V- объем; Т- термодинамическая температура; m- масса газа.

· Закон Гей-Люссака

или при p=const, m=const,

или при V=const, m=const,

где t- температура по шкале Цельсия; V₀ и p₀ – соответственно объем и давление при 0 ^˚С; коэффициент индексы 1 и 2 относятся к произвольным состояниям;

· Закон Дальтона для давления смеси n идеальных газов

где p_i- парциальное давление i-го компонента смеси

· Уравнение состояния идеального газа (уравнение Клапейрона-Менделеева)

(для одного моля газа),

(для произвольной массы газа),

где V_m- молярный объем; R- молярная газовая постоянная; М- молярная масса газа; m- масса газа; m/M=ν- количество вещества.

· Зависимость давления газа от концентрации n молекул и температуры

где k- постоянная Больцмана ( k=R/N_A, N_A- постоянная Авогадро).

· Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов

или

или

где - средняя квадратичная скорость молекул; Е- суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа; n- концентрация молекул; m₀- масса одной молекулы; m=Nm₀- масса газа; N- число молекул в объеме газа V.

· Скорость молекул

наиболее вероятная

средняя квадратичная

средняя арифметическая

где m₀- масса одной молекулы.

· Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул идеального газа

· Барометрическая формула

где p_h и p₀ – давление газа на высоте h и h₀.

· Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле

или

где n и n₀- концентрация молекул на высоте h и h=0; П=m₀gh – потенциальная энергия молекулы в поле тяготения.

· Средняя длина свободного пробега молекул газа

где d- эффективный диаметр молекулы; n- концентрация молекул.

· Закон теплопроводности Фурье

где Q- теплота, прошедшая посредством теплопроводности через площадь S за время t; dT/dx – градиент температуры; λ- теплопроводность:

где c_v- удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ρ- плотность газа; средняя арифметическая скорость теплового движения его молекул; средняя длина свободного пробега молекул.

· Закон диффузии Фика

где М- масса вещества, переносимая посредством диффузии через площадь S за время t;
dρ/dx- градиент плотности, D- диффузия (коэффициент диффузии):

· Закон Ньютона для внутреннего трения (вязкости)

где F- сила внутреннего трения между движущимися слоями площадью S; dv/dx- градиент плотности; η- динамическая вязкость:

Основы термодинамики

· Средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся на одну степень свободы молекулы

· Средняя энергия молекулы

где i- сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы

(i = n_пост + тn_вращ + 2n_колеб).

· Внутренняя энергия идеального газа

где n- количество вещества; m- масса газа; М- молярная масса газа; R- молярная газовая постоянная.

· Первое начало термодинамики

где Q- количество теплоты, сообщенное системе или отданное ею; DU- изменение его внутренней энергии; А- работа системы против внешних сил.

· Первое начало термодинамики для малого изменения системы

· Связь между молоярной C_m и удельной с теплоемкостями газа

где М- молярная масса газа.

· Молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и постоянном давлении

· Уравнение Майера

· Изменение внутренней энергии идеального газа

· Работа, совершаемая газом при изменении его объема

· Полная работа при изменении объема газа

где V₁ и V₂ – соответственно начальный и конечный объемы газа.

· Работа газа

при изобарном процессе

или

· Уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона)

где - показатель адиабаты.

· Работа в случае адиабатического процесса

или

где T₁, T₂ и V_1, V₂- соответственно начальные и конечные температура и объем газа.

· Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса (цикла)

где Q₁- количество теплоты, полученное системой; Q₂- количество теплоты, отданное системой; А- работа, совершаемая за цикл.

· Термический коэффициент полезного действия цикла Карно

где Т₁- температура нагревателя; Т₂- температура холодильника.