Свободные затухающие колебания

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системы.

Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухания свободных механических колебаний вызываются главным образом трением, сопротивлением окружающей среды и возбуждением в ней упругих волн.

Система называется линейной если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями.

Пример: свободные затухающие колебания пружинного маятника массы т , движущегося в вязкой среде вдоль оси ОХ. На маятник действуют две силы: сила упругости пружины F_упр и сила сопротивления среды F_c ,которую, как показывает опыт, можно считать часто прямо пропорциональной скорости υ и направленной в противоположную скорости сторону:

, где

r– постоянный положительный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом сопротивления.

По второму закону Ньютона по оси ОХ

или

, где .

В любом физическом процессе, который можно описать с помощью дифференциального уравнения типа

– коэффициент затухания;

ω₀ – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же системы, т.е. в отсутствии потерь энергии (β = 0).

В курсе математического анализа доказывается, что решение этого дифференциального уравнения следует искать в форме , а его общее решение .

С₁и С₂ – постоянные коэффициенты, зависящие от начальных условий;

δ₁ и δ₂ – корни характеристического уравнения .

Если , то корни характеристического уравнения комплексно-сопряжённые:

, где

– мнимая единица.

Общее решение дифференциального уравнения затухающих колебаний имеет вид

.

Используя формулу Эйлера для комплексных чисел

получаем

.

Вводя вместо С₁и С₂ новые две постоянные А₀ и ψ₀ ,связанные с С₁и С₂ соотношениями

получаем окончательно

.

Значения А₀ и ψ₀ определяют из начальных условий, т.е. из значений S и в начальный момент времени (t =0).

График зависимости S(t) при затухающих колебаниях имеет вид

Затухающие колебания не являются периодическими, так как амплитуда колебаний всё время уменьшается, но величину обычно называют условным периодом, а ω – условной циклической частотой затухающих колебаний.

– амплитуда затухающих колебаний;

А₀ – начальная амплитуда.

– время релаксации, т.е. время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Для количественной характеристики быстрого убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятием логарифмического декремента – λ

, где

N_e – число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.

Так как и , то

и .

Энергия затухающих колебаний складывается из потенциальной и кинетической . После подстановке сюда и получаем зависимость E(t), которая графически представлена на рисунке

Уменьшение энергии колебаний обусловлено работой силы сопротивления. Мощность этой силы равна

.

Таким образом, кроме тех моментов, когда υ = 0.

При малом затухании (β << ω₀) зависимость E(t) становится практически эквипотенциальной: и убыль энергии в этом случае

.

Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина Q , равная произведению 2π на отношение энергии колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени равный одному условному периоду затухающих колебаний (от t до t + Т)

.

Так как E(t) пропорциональна A²(t) то

При малых значениях логарифмического декремента (λ << 1) можно принять и для этого случая

Для гармонического осциллятора (пружинного маятника) при малом затухании получаем

.

При достаточно большом затухании система совершает апериодическое движение. Выведенная из положения равновесия, она возвращается в это положение.

Фазовая траектория свободных затухающих колебаний имеет форму спирали

Вынужденные колебания

Переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая её вынужденные механические колебания, называется вынуждающей или возмущающей.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний гармонического осциллятора

, где

– переменная внешняя сила, действующая вдоль оси ОХ;

т – масса маятника.

Пусть (простейший случай переменной силы).

Тогда , где

.

Опыт показывает, что по истечении некоторого времени после начала действия вынуждающей силы в системе устанавливаются гармонические колебания с частотой вынуждающей силы, но отстающие от этой силы на φ

.

Для определения значений А и φ запишем

и подставим в дифференциальное уравнение колебаний

Учитывая фазовые сдвиги между , представим это равенство с помощью векторной диаграммы для случая ω < ω₀

Из диаграммы получаем или

.

Амплитуда колебаний А и отставание по фазе на φ от вынуждающей силы определяются свойствами самого осциллятора (ω_о, β, т) и вынуждающей силы (F_т , ω), но не начальными условиями (так называемые установившиеся вынужденные колебания).

Энергия установившихся вынужденных колебаний

Колебания энергии будут тем меньше, чем ближе частота ω к ω_о , и при ω = ω_о энергия не зависит от времени t :

.

Резонанс

Ниже приведены графики А(ω) и φ(ω) при различных значениях коэффициента затухания.

Видно, что А(ω) имеет максимум при частоте ω_Р , которую легко найти из условия (достаточно найти экстремум подкоренного выражения). Эту частоту называют резонансной

,

а существование максимума амплитуды явлением резонанса.

Если β << ω₀ (слабое затухание), то и . При этом

, где

– логарифмический декремент;

– добротность маятника;

– статическое смещение маятника из положения равновесия под действием постоянной силы F_x = F_M .

Кроме зависимостей А(ω) и φ(ω) к резонансным кривым относится и зависимость средней за период мощности вынуждающей силы от её частоты <Р(ω)>.

При ω = ω₀ независимо от коэффициента затухания

<Р> = <Р_max> .

Важным параметром резонансной кривой <Р(ω)>, характеризующим «остроту» резонанса, является её ширина Δω на половине «высоты». При малом затухании «острота» резонанса, т.е. отношение , равно добротности осциллятора = Q.

Лекция 7

Механические волны

Механическими (или упругими) волнами называются механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде. Тела, которые, воздействуя на упругую среду, вызывают эти возмущения, называются источниками упругих волн.

Среда называется упругой, а деформации, вызываемые внешними воздействиями, называются упругими деформациями, если они полностью исчезают после прекращения этих воздействий. При достаточно малых деформациях все твёрдые тела практически можно считать упругими.

Газу присуща объёмная упругость, т.е. способность сопротивляться изменению его объёма.

По закону Гука для объёмной деформации

, где

– изменение давления газа при малом изменении его объёма ;

– модуль объёмной упругости газа.

Для идеального газа значение зависит от вида термодинамического процесса. При очень медленном изменении объёма газа процесс можно считать изотермическим, а при очень быстром – адиабатным.

В первом случае pV = const и после дифференцирования получаем .

Во втором случае pV ^γ = const и

Жидкости, подобно газам, обладают только объёмной упругостью.

Твёрдые тела помимо объёмной упругости обладают упругостью формы, которая проявляется в их сопротивлению деформации сдвига.

В отличие от других видов механического движения среды (например, её течения) распространение упругих волн в среде не связано с переносом вещества.

Упругая волна называется продольной, если частицы среды колеблются в направлении распространения волны. Продольные волны связаны с объёмной деформацией среды и поэтому могут распространяться в любой среде – твёрдой, жидкой и газообразной. Примером таких волн являются звуковые (акустические) волны.

Слышимый звук – 16 Гц < ν < 20 кГц

Инфразвук – ν <16 Гц

Ультразвук – ν > 20 кГц

Гиперзвук – ν >1 ГГц.

Упругая волна называется поперпчная, если частицы среды колеблются, оставаясь в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Поперечные волны связаны с деформацией сдвига упругой среда и, следовательно, могут распространяться только в твёрдых телах. Например, волны, распространяющиеся вдоль струн музыкальных инструментов.

Поверхностные волны – волны, распространяющиеся вдоль свободной поверхности жидкости (или поверхности раздела двух несмешивающихся жидкостей).

Уравнением упругой волны называется зависимость от координат и времени скалярных или векторных величин, характеризующих колебания среды при прохождении в ней рассматриваемой волны.

Для волн в твёрдом теле такой величиной может служить вектор смещения частицы среды из положения равновесия или три его проекции на оси координат. В газе или жидкости обычно пользуются избыточным давлением колеблющейся среды.

Линия, касательная к которой в каждой её точке совпадает с направлением распространения волны, т.е. с направлением переноса энергии волной, называется лучом. В однородной среде лучи имеют вид прямых линий.

Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц являются гармоническими. Частота этих колебаний называетсячастотой волны.

Волновой поверхностью или фронтом волны называется геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет одно и то же значение. В однородной изотропной среде волновые поверхности ортогональны лучам.

Волна называется плоской, если её волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу.

В плоской волне, распространяющейся вдоль оси ОХ, все величины ξ , характеризующие колебательное движение среды, зависят только от времени t и координаты х точки М среды. Если нет поглощения волн в среде, то колебания в т.М отличаются от колебаний в начале координат О , происходящих по закону , только тем, что они сдвинуты по времени на х/υ , где υ – фазовая скорость волны.

Фазовой скоростью волны называют скорость перемещения в пространстве точек поверхности, соответствующей любому фиксированному значению фазы.

Для поперечных волн

а) вдоль натянутой струны , где

F – сила натяжения струны;

ρ – плотность материала струны;

S – площадь поперечного сечения струны.

б) в изотропном твёрдом теле , где

G – модуль сдвига среды;

ρ – плотность среды.

Для продольных волн

а) в тонком стержне , где

Е – модуль Юнга материала стержня;

ρ – плотность материала стержня.

б) в жидкости и газе , где

χ – модуль объёмной упругости среды;

ρ – плотность невозмущённой среды.

в) в идеальном газе , где

γ – показатель адиабаты газа;

М – молярная масса газа;

Т – температура газа.

Для плоской гармонической волны, распространяющейся в не- поглощающей среде вдоль положительного направления оси ОХ, уравнение упругой волны имеет вид

или

Расстояние λ = υ^.Т , на которое распространяется гармоническая волна за время, равное периоду колебаний, называется длиной волны (расстояние между двумя ближайшими точками среда, в которых разность фаз колебаний равна 2π .

Ещё одной характеристикой гармонической волны является волновое число k, которое показывает, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной 2π:

, тогда

.

Волновым вектором называется вектор , по модулю равный волновому числу k и направленный вдоль луча в рассматриваемой точке М среды.

Для плоской волны, распространяющейся вдоль ОХ , поэтому , где – радиус вектор т.М .

Таким образом

.

Уравнение волны можно также записать, используя формулу Эйлера для комплексных чисел, в экспоненциальной форме, удобной для дифференцирования

, где .

Физический смысл имеет только действительная часть комплексной величины , т.е. . Пользуясь для нахождения какой-либо характеристики волны, нужно после выполнения всех математических операций отбросить мнимую часть полученного комплексного выражения.

Волна называетсясферической , если её волновые поверхности имеют вид концентрических сфер. Центр этих сфер называется центром волны.

Уравнение расходящейся сферической волны

, где

r – расстояние от центра волны до т.М.

Для гармонической сферической волны

и ,

где A(r) – амплитуда волны; φ_о – начальная фаза колебаний вцентре волны.

Реальные источники волн можно считать точечными (источниками сферических волн), если расстояние r от источника колебаний до рассматриваемых точек среды значительно больше размера источника.

Если r очень велико, то любые малые участки волновых поверхностей можно считать плоскими.

В однородной, изотропной, непоглощающей среде волны плоские и сферические описываются дифференциальным уравнением в частных производных, которое называется волновым уравнением , и имеет вид

, где

– оператор Лапласа или Лапласиан.

Энергия волны

Упругая среда, в которой распространяются механические волны, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией.

Выбрав малый объём среды dV можно записать для плотности энергии

, где

– скорость колебаний частиц в среде;

– фазовая скорость волны;

– плотность среды;

– относительная деформация.

Для продольной плоской волны и , т.е.

.

Для плоскойгармонической волны

.

Для сферической гармонической волны

.

Среднее за период значение плотности энергии

.

Скорость переноса энергии равна фазовой скорости υ.

Потоком энергии через малую площадку называется отношение .

Так как , то

, где

– вектор плотности потока энергии или вектор Умова.

т.е. поток энергии через произвольную поверхность S , мысленно проведённую в среде, охваченной волновым движением, равен потоку вектора Умова через эту поверхность.

Скалярная величинаI , равная модулю среднего значения вектора Умова, называется интенсивностью волны:

Принцип суперпозиции волн : результирующее возмущение в какой либо точке линейной среды при одновременном распространении в ней нескольких волн равно сумме возмущений, соответствующей каждой из этих волн в отдельности.

.

Интерференция волн

Две волны называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени. Гармонические упругие волны, частоты которых одинаковы, когерентны всегда.

Рассмотрим наложение двух гармонических волн, возбуждаемых в однородной и изотропной среде точечными источниками S₁ и S₂ , с циклическими частотами ω₁ = ω₂ = ω и начальными фазами φ₁и φ_2..

По принципу суперпозиции

.

А и Ф определяем по методу векторных диаграмм

.

– геометрическая разность хода волн от С₁ и С₂ до точки М.

Амплитуда результирующих колебаний максимальна если или

. Если то .

Амплитуда результирующих колебаний минимальна если т.е. или

. Если то .

Число т называют порядком интерференционного максимума.

Частным случаем интерференции волн являются стоячие волны, которые образуются в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, распространяющихся навстречу друг другу и имеющих одинаковые частоты и амплитуды, а в случае поперечных волн ещё и одинаковую поляризацию.

Тогда

.

Амплитуда стоячей волны является периодической функцией от координаты х .

Точки, в которых А_СТ = 0 называются узлами стоячей волны, а точки, где А_СТ = 2А называются пучностями стоячкй волны.

Положение узлов и пучностей находится из условий

– узлы;

– пучности (т = 0; 1; 2; …).

Длиной стоячей волны называют расстояние между двумя соседними узлами или двумя соседними пучностями

.

В стоячей волне все точки между двумя узлами колеблются с различными амплитудами, но с одинаковыми фазами (синфазно), т.к. аргумент синуса в уравнении стоячей волны не зависит от координаты х .

В стоячей волне скорость колебательного движения частиц среды

,

а относительная деформация среды

Таким образом, в отличие от бегущей волны, в стоячей волне опережает υ₀ по фазе на π/2 , так что в те моменты времени, когда υ₀ достигает амплитудного значения, обращается в нуль, и наоборот.

В пучностях стоячей волны располагаются пучности скорости частиц и узлы деформации среды.

Если l – длина струны, стержня или столба газа, υ – фазовая скорость волны, а λ – её длина, то для струн или стержней, закреплённых на обоих концах, и столбов газа в трубах, закрытых или открытых с обоих концов, на длине l укладывается целое число длин стоячей волны λ_СТ = λ /2.

Отсюда вытекает условие

– собственные частоты колебаний таких систем (гармоники).

– основной тон;

– первый обертон.

Для стержней, один конец которых закреплён, а другой свободен, и для труб, закрытых с одного конца и открытых с другого,

.

Лекция 8