Свободные затухающие колебания

Свободные затухающие колебания - student2.ru

В § 9.45 мы предполагали, что электрическое сопротивление катушки, включенной в контур, равно нулю. Создать идеальный колебательный контур на практике не удается, так как и катушка индуктивности и соединительные провода имеют отличное от нуля активное (омическое) сопротивление R (через R обозначим их суммарное сопротивление). Таким образом, в реальном колебательном контуре (см. рисунок 57) наряду с процессом перехода энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно происходит выделение тепла Джоуля-Ленца на сопротивлении R. Электромагнитные колебания в реальном контуре описываются уравнением (45.1):

q¢¢ + Свободные затухающие колебания - student2.ru q¢ + Свободные затухающие колебания - student2.ru q = 0. (46.1)

Вводя обозначения

Свободные затухающие колебания - student2.ru = 2b, Свободные затухающие колебания - student2.ru = w02, (46.2)

перепишем уравнение (46.1)

q¢¢ + 2bq¢ +w02q = 0. (46.3)

В уравнении (46.3) величину w0 называют собственной частотой контура, b - коэффициентом затухания. Так как в схеме, приведенной на рисунке 57, внешние переменные ЭДС Е отсутствуют, а R ¹ 0, то уравнение (46.3) описывает свободные затухающие колебания (колебательная система, в которой происходят затухающие колебания, называется диссипативной). При b < w0 решение этого однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

q(t) = q0 Свободные затухающие колебания - student2.ru cos(wt + a), (46.4)

где w = Свободные затухающие колебания - student2.ru = Свободные затухающие колебания - student2.ru , (46.5)

q0 и a - постоянные, определяемые из начальных условий, а величина

А = q0 Свободные затухающие колебания - student2.ru (46.6)

- амплитуда затухающих колебаний.

Зависимость (46.4) показана на рисунке 58 сплошной линией, а зависимость (46.6) - штриховыми линиями. Затухающие колебания не имеют определенного значения периода колебаний. Но при малом затухании небольшие интервалы зависимости q(t) можно принять за отрезки соответствующей синусоиды и считать затухающие колебания как гармонические колебания, амплитуда которых непрерывно уменьшается с течением времени по закону q0 Свободные затухающие колебания - student2.ru . В этом случае условный период затухающих колебаний равен:

Т = Свободные затухающие колебания - student2.ru = Свободные затухающие колебания - student2.ru . (46.7)

С увеличением сопротивления контура R частота w уменьшается, а период колебаний Т увеличивается. Через время Т достигаются максимальные и минимальные значения заряда (а также силы тока и напряжения).

Разделив функцию (46.4) на емкость С, получим напряжение на конденсаторе:

U(t) = Свободные затухающие колебания - student2.ru Свободные затухающие колебания - student2.ru cos(wt + a) = U0 Свободные затухающие колебания - student2.ru cos(wt + a), (46.8)

Чтобы найти силу тока, продифференцируем (46.4) по времени

I(t)= q¢ = q0 Свободные затухающие колебания - student2.ru [- bcos(wt + a) - wsin(wt + a)].

Преобразуем выражение в квадратных скобках к косинусу. Для этого умножим и разделим это выражение на w0 ( Свободные затухающие колебания - student2.ru = w0), а затем введем угол d по формулам

-b/w0 = cosd, w/w0 = sind. (46.9)

После этого выражение для силы тока примет вид

I(t)= wq0 Свободные затухающие колебания - student2.ru cos(wt + a + d). (46.10)

Из (46.9) следует, что угол d лежит во второй четверти (p/2 < d < p). Это означает, что при наличии активного сопротивления R ток в контуре опережает по фазе напряжение (46.8) на конденсаторе более чем на p/2 (при R=0 опережение составляет d = p/2).

Свободные затухающие колебания - student2.ru

Графики зависимостей U(t)иI(t) имеют вид, аналогичный зависимости q(t) (см. рисунок 58).

Промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации (е » 2,72). Из формулы (46.4) легко определить, что

t = 1/b. (46.11)

Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания. Он определяется как натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд заряда (или тока, напряжения), взятых через период колебания Т:

l = Свободные затухающие колебания - student2.ru = bТ = Свободные затухающие колебания - student2.ru = Свободные затухающие колебания - student2.ru , (46.12)

где l - логарифмический декремент затухания; Ne - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

Логарифмический декремент затухания - постоянная для данной колебательной системы величина.

Если затухание мало (b << w0), то w » w0 = 1/ Свободные затухающие колебания - student2.ru и согласно (46.12)

l » b× Свободные затухающие колебания - student2.ru = Свободные затухающие колебания - student2.ru Свободные затухающие колебания - student2.ru = Свободные затухающие колебания - student2.ru = Свободные затухающие колебания - student2.ru . (46.13)

Для характеристики затухания контуров вводят понятие добротности колебательного контура Q, пропорциональной отношению энергии, запасенной в контуре, к ее изменению DW за период Т:

Q = 2p Свободные затухающие колебания - student2.ru . (46.14)

Энергия, равная DW = W(t) - W(t + T), рассеивается на сопротивлении R за время Т в виде теплоты Джоуля-Ленца. В реальных контурах значение добротности лежит в интервале 50 – 200. Добротность также равна

Q = Свободные затухающие колебания - student2.ru = p Ne, (46.15)

где l - логарифмический декремент затухания.

Из формулы (46.15) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за время релаксации. Чем меньше затухание, тем больше Q. При слабом затухании (b << w0) согласно (46.13) добротность равна

Q = Свободные затухающие колебания - student2.ru . (46.16)

В заключение отметим, что при увеличении коэффициента затухания b период затухающих колебаний растет, и при b ³ w0 вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критического сопротивления Rкр определяется из условия b = w0 и, подставляя значения b и w0 из (46.2), имеем

Rкр = Свободные затухающие колебания - student2.ru . (46.17)

Для получения длительно существующих электрических (также и механических) колебаний большое значение имеют так называемые автоколебательные системы. Автоколебательные системы реальные устройства, сопротивление которых не равно нулю.

В автоколебательных системах незатухающие колебания возникают под влиянием процессов, происходящих внутри системы, и для их поддержания не требуется никаких внешних воздействий. В состав автоколебательной системы входит источник энергии (в случае механических колебаний – сжатая пружина, поднятый груз и т.д., в случае электрических колебаний – источник тока). Этот источник периодически включается самой системой и вводит в нее определенную энергию, компенсирующую потери на выделение тепла Джоуля-Ленца, что и делает колебания незатухающими.

Наши рекомендации