Визначення переміщень за допомогою інтеграла Мора і правила Верещагіна

Приклад 1. Необхідно визначити прогин і кут повороту перерізу в точці А для балки, показаної на рис. 10.1.

Нехай:

Тоді:

Рис. 10.1

Розв’яжемо цю задачу без застосування правила Верещагіна. Маємо:

Отже,

Розв’яжемо цю задачу, використовуючи правило Верещагіна:

(10.1)

,

тобто отримаємо ті ж самі результати. Отже,

Приклад 2. Для заданої балки (рис. 10.2) потрібно визначити прогин і кут повороту .

Рис. 10.2

Маємо:

=

=

Ця задача розв’язана з використанням правила Верещагіна. Таким чином:

Приклад 3. Для заданої балки (рис. 10.3) визначити прогин у середині прогону з урахуванням впливу поперечної сили. Маємо:

+ ;

Рис. 10.3

(10.2)

Перший член у формулі (10.2) враховує вплив згинального моменту, а другий член вплив поперечної сили.

Розглянемо числовий приклад. Нехай поперечний переріз двотаврової балки буде . Маємо:

;

У цьому випадку отримаємо:

Вплив поперечної сили дорівнює

,

тому при визначенні переміщень елементів конструкцій, які працюють переважно на згинання, впливом поперечної сили зазвичай нехтують.

Приклад 4. Для заданої балки, показаної на рис. 10.4, визначити прогин перерізу С і кут повороту перерізу D.

Маємо: ; .

1. Будуємо епюру М_р.

Спочатку визначаємо опорні реакції R_A і R_D .

, ,

, ,

Рис. 10.4

Звідси

; .

Перевірка:

,

Визначаємо згинальні моменти

;

;

.

2.Будуємо епюри і

3.Визначаємо переміщення z_C і .

Отже,

,

При обчисленні переміщень і була використана табл. Дод. 5

Методичнi рекомендації

У процесі вивчення цього розділу передусім необхідно запам’ятати, яке навантаження називається статичним; розібратися, як виражається робота зовнішніх статично прикладених сил через їхні значення і відповідні переміщення. Необхідно з’ясувати, як цю роботу можна виразити через згинальний момент M, поперечну Q і нормальну N сили. Слід звернути увагу на теореми про взаємність робіт і взаємність переміщень. Особливу увагу зосередити на застосуванні формули Мора для визначення переміщень пружних систем. Необхідно здобути практичні навички під час використання правила Верещагіна.

Запитання для самоперевiрки

1. Як виражається робота зовнішніх статично прикладених сил через значення цих сил і відповідні переміщення?

2. Як виражається робота зовнішніх статично прикладених сил через зусилля M, Q і N, які виникають у поперечних перерізах стержнів системи?

3. Як формулюється теорема про взаємність робіт? Доведіть цю теорему.

4. Як формулюється теорема про взаємність переміщень? Доведіть цю теорему.

5. Виведіть формулу переміщень (формулу Мора).

6. Що називається дійсним (або вантажним) і одиничним станом?

7. В якій послідовності визначають лінійні й кутові переміщення за формулою Мора?

8. Як перемножують епюри за правилом Верещагіна? Доведіть це правило.

9. Як за правилом Верещагіна перемножують епюри, обмежені ламаними лініями?