Статически неопределимые системы. Решение задач по сопромату

Системы, рассчитать которые нельзя с помощью одних лишь уравнений равновесия, называются статически неопределимыми. Прирешении задач сопромата недостающие уравнения составляют из условий совместности деформаций. Число дополнительных уравнений характеризует степень статической неопределимости системы. Особенности статически неопределимых систем: распределение внутренних усилий в статически неопределимых системах зависит от соотношений жесткостей элементов. С увеличением жесткости элемента увеличивается усилие в этом элементе и уменьшается в остальных, в статически неопределимых системах могут возникать напряжения и при отсутствии внешних сил (нагрузок, реакций) из-за неточности изготовления отдельных элементов (монтажные напряжения), а также от изменения температуры ( температурные напряжения). Решение статически неопределимых систем в сопротивлении материалов можно вести, используя три метода:

1) расчет по допускаемым напряжениям;

2) расчет по разрушающим нагрузкам;

3) расчет по предельным состояниям.

В машиностроении отдается предпочтение первому методу, а в строительстве - второму и третьему.

Основы теории напряженного и деформированного состояния - напряженное состояние в точке твердого тела

На рис. 8 показано тело, находящееся в состоянии равновесия. Под действием внешних сил F1, F2, …Fn между частями тела возникают внутренние силы взаимодействия.

Для исследования этих сил в сечении ав тела возьмем точку А внутри элементарного параллелепипеда. Если размеры параллелепипеда уменьшать, то он стянется в точку. Совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в точке. При рассмотрении напряженного состояния в точке предполагаем, что тело, на которое действуют внешние силы, однородно, т.е. используем гипотезу о сплошности среды.

Полное напряжение, возникающее на каждой грани элементарного параллелепипеда со сторонами dх, dу, dz, может быть разложено на три составляющие: одну по нормали к площадке и две в плоскости сечения. Нормальное напряжение обозначается через сигму с индексом соответствующим осям х, у, 2 (рис. 9,а)

Касательное напряжение обозначается буквой т с двумя индексами: первый соответствует оси перпендикулярной к площадке, второй - оси, вдоль которой направлен вектор т. Ориентация самих осей произвольная.

В сопротивлении материалов нормальные растягивающие напряжения считаются положительными, сжимающие - отрицательными.

Напряжения, возникающие на гранях элемента (dх, dz; dx, dy; dy, dz) показаны на рис. 9,а. Элемент будет находиться в состоянии равновесия в результате равенства сил, действующих по его граням и моментам, создаваемым силами относительно осей х, у, z :

Таким образом, на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены оба к ребру или от ребра. Полученные уравнения отражают очень важный закон - закон парности касательных напряжений. Следствием этого закона является то, что на гранях выделенного элемента (рис. 9,а) имеем не девять, а только шесть независимых компонентов напряжений, т.к. касательные напряжения равны попарно.

Расположим все напряжения, определяющие напряженное состояние в рассматриваемой точке, в виде следующей матрицы:

В первом столбце расположены все компоненты напряжений, имеющие направления, параллельные оси х, во втором - параллельные оси у и в третьем столбце - параллельные оси . Нормальные напряжения при таком способе построения расположены по главной диагонали, а одинаковые по величине касательные напряжения расположены симметрично относительно этой диагонали.

Эту матрицу принято называть тензором напряжений

Рассматриваемый элемент (рис. 9,а) ориентирован в пространстве произвольно. Если его мысленно разворачивать относительно осей х, у, 2, то он может занять в какой-то момент положение, когда по его граням будут действовать только нормальные напряжения Ох, Оу, Оz. Нормальные напряжения соответствующие этому положению элемента, принято называть главными напряжениями.

Эти напряжения обозначаются О1>О2 >О3, т-е. наибольшему алгебраическому значению напряжения соответствует первый индекс и т.д. Площадки или грани элемента, по которым не действуют касательные напряжения называются главными площадками (рис. 9,6).

Различают три вида напряженного состояния; линейное или одноосное (рис. 10а), плоское или двухосное (рис. 106), объемное или трехосное (рис. 10в). Наиболее простой случай - линейное напряженнее состояние.