Статически определимые и статически неопределимые системы .

Система называется статически определимой, если число неизвестных в ней равно числу полезных уравнений равновесия.

Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru

Для всякой пространственной системы сил (рис. 1.12, а) можно составить систему из 6-и уравнений равновесия и, решив ее, найти 6 неизвестных сил. Однако среди этих уравнений могут быть тождества, обращающиеся в нуль при любых значениях нагрузок. Это бесполезные уравнения и, следовательно, число неизвестных сил должно быть равно числу уравнений минус число тождеств.

Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru Для произвольной плоской системы сил (рис. 1.12, б) можно составить 3 уравнения, не являющихся тождествами, например, сумму проекций всех сил на 2 любые оси и одну сумму моментов всех сил, относительно какой-либо точки. Для плоской системы сходящихся сил (рис.1.12, в) можно составить лишь 2 уравнения, не являющихся тождествами. Сумма моментов всех сил относительно точки их пересечения тождественно равна нулю. Из 2-х уравнений (любых) можно определить лишь 2 неизвестные силы. Для плоской системы параллельных сил (рис.1.12, г) бесполезной оказывается сумма проекций на ось, перпендикулярную силам. Соответственно из 2-х любых уравнений равновесия можно найти лишь 2 неизвестные силы. Система называется статически неопределимой, если число неизвестных в ней больше числа полезных уравнений равновесия. Степень статической неопределимости равна разности между числом неизвестных и числом полезных уравнений равновесия. На рис. 1.13 приведены примеры различных систем.

Рис. 1.13. Статически определимые и статически неопределимые системы . Схема а) — стержень недостаточно закреплен, он может свободно вращаться под действием силы. Схема б) — система из 2-х стержней статически-определимая, два усилия в 2-х стержнях определяются из 2-х уравнений равновесия. Схема в) — система из трех стержней статически-неопределима: неизвестных усилий — 3, полезных уравнений равновесия—2, степень статической неопределимости 3-2=1. Схема г) — система 3 раза статически-неопределима: неизвестных усилий — 5, полезных уравнений равновесия—2, степень статической неопределимости 5-2=3.

Равновесие системы сил.

Из основной теоремы статики следует, что любая система сил и моментов, действующих на твердое тело, может быть приведена к выбранному центру и заменена в общем случае главным вектором и главным моментом. Если система уравновешена, то получаем условия равновесия: R=0, Mo=0. Из этих условий для пространственной системы сил получается шесть уравнений равновесия, из которых могут быть определены шесть неизвестных: ∑xi =0, ∑Mix=0; ∑yi =0, ∑Miy=0; ∑zi =0, ∑Miz=0.

Для плоской системы сил (например, в плоскости Oxy ) из этих уравнений получаются только три: ∑xi=0; ∑yi=0; ∑Mo=0,

причем оси и точка O , относительно которой пишется уравнение моментов, выбираются произвольно. Это первая форма уравнений равновесия: ∑xi =0; ∑MA=0; ∑MB=0.

Это вторая форма уравнений равновесия, причем ось Ox не должна быть перпендикулярна линии, проходящей через точки A и B :

∑MA=0; ∑MB=0; ∑MC=0.

Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru Это третья форма уравнений равновесия, причем точки A , B и C не должны лежать на одной прямой. При действии на тело плоской системы параллельных сил одно из уравнений исчезает и остаются два уравнения (рисунок 1.26, а): ∑xi =0; ∑Mo=0.

Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru

Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru Рисунок 1.26

Для пространственной системы параллельных сил (рисунок 1.26, б) могут быть записаны три уравнения равновесия: ∑zi =0; ∑Mix=0; ∑Miy=0.

Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru Для системы сходящихся сил (линии действия которых пересекаются в одной точке) можно написать три уравнения для пространственной системы: ∑xi =0; ∑yi =0; ∑zi =0

и два уравнения для плоской системы: ∑xi =0; ∑yi =0.

В каждом из вышеприведенных случаев число неизвестных, находимых при решении уравнений, соответствует числу записанных уравнений равновесия.

Трение покоя.

Трение – один из видов взаимодействия тел. Оно возникает при соприкосновении двух тел. Трение подчиняется третьему закону Ньютона: если на одно из тел действует сила трения, то такая же по модулю, но направленная в противоположную сторону сила действует и на второе тело. Силы трения возникают вследствие взаимодействия между атомами и молекулами соприкасающихся тел. Сила сухого трения - сила, возникающая при соприкосновении двух твердых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки. Сухое трение, возникающее при относительном покое тел, называют трением покоя. Сила трения покоя всегда равна по величине внешней силе и направлена в противоположную сторону (рис. 1.13.1).

Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru

Рисунок 1.13.1.

Сила трения покоя (υ = 0).

Сила трения покоя не может превышать некоторого максимального значения (Fтр)max. Если внешняя сила больше (Fтр)max, возникает относительное проскальзывание.

Трение скольжения.

Если внешняя сила больше (Fтр)max, возникает относительное проскальзывание. Силу трения в этом случае называют силой трения скольжения. Она всегда направлена в сторону, противоположную направлению движения и зависит от относительной скорости тел. Во многих случаях приближенно силу трения скольжения можно считать независящей от величины относительной скорости тел и равной максимальной силе трения покоя (рис. 1.13.2).

Сила трения скольжения пропорциональна силе нормального давления тела на опору, а следовательно, и силе реакции опоры. Fтр = (Fтр)max = μN Коэффициент пропорциональности μ называют коэффициентом трения скольжения. Коэффициент трения μ – величина безразмерная. Обычно коэффициент трения меньше единицы. При скольжении сила трения направлена по касательной к соприкасающимся поверхностям в сторону, противоположную относительной скорости (рис. 1.13.3).

Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru

Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru На рисунке: Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru – сила реакции опоры, – вес тела.

Законы трения.

Основные законы трения (Амонтона - Кулона):

1. Сила трения лежит в касательной плоскости к соприкасающимся поверхностям и направлена в сторону противоположную направлению, в котором приложенные к телу силы стремятся его сдвинуть или сдвигают в действительности (реактивный характер). Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru .

2. Сила трения изменяется от нуля до своего максимального значения. Максимальная сила трения пропорциональна коэффициенту трения и силе нормального давления .

3. Коэффициент трения есть величина постоянная для данного вида и состояния соприкасающихся поверхностей (f = const).

Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru 4. Сила трения в широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей Способы определения коэффициента трения: 1.Сдвигающая сила изменяется от нуля до своего максимального значения – 0 ≤ T ≤ Tmax, (0 ≤ P ≤ Pmax). 2. Сила нормального давления изменяется от некоторого начального значения до минимального значения – N0≥ N ≥ Nmin(G0≥ G ≥ Gmin).

Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru

3. Сдвигающая сила и сила нормального давления изменяются при изменении угла наклона плоскости скольжения от нуля до максимального

значения – 0 ≥ φ ≥ φmax.

Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru

Угол и конус трения.

Угол трения.

С учетом силы трения, возникающей при контакте с шероховатой поверхностью полная реакция такой поверхности может рассматриваться как геометрическая сумма нормальной реакции абсолютно гладкой поверхности и силы трения:

Угол отклонения полной реакции шероховатой поверхности – угол трения, равный:

Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru При изменении направления сдвигающей силы T на опорной поверхности ее поворотом относительно нормали к плоскости полная максимальная реакция шероховатой поверхности описывает конус трения.

Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru Статически определимые и статически неопределимые системы . - student2.ru

Активные силы (G, T и др.) можно заменить равнодействующей силой P, имеющей угол отклонения от вертикали α. Можно показать, что равновесие возможно лишь в том случае, когда эта сила остается внутри пространства конуса трения: Условие равновесия по оси x: Psinα ≤ Fтрmax. Из уравнения равновесия по оси у: N = Pcosα. Максимальная сила трения Fтрmax= fN = tgφN = tgφPcosα. Тогда Psinα ≤ tgφPcosα, откуда tgα ≤ tgφ и α ≤ φ.

41 Трение качения.

Наши рекомендации