Вопрос №62 – корреляционный анализ случайных величин и случайных процессов

Предметом корреляционного анализа является изучение вероятностных зависимостей между случайными величинами.

Величины являются независимы­ми если закон распределения каждой из них не зависит от значе­ния, которое приняла другая. Такими величинами можно считать, например, предел выносливости материала детали и теоретический коэффициент концентрации напряжений в опасном сечении детали.

Величины являются связанными вероятностными или стохастическими зависимостями, если известному значению одной ве­личины соответствует не конкретное значение, а закон распределе­ния другой. Вероятностные зависимости имеют место, когда вели­чины зависят не только от общих для них, но и от разных случайных факторов.

Полная информация о вероятностной связи двух случайных величин представляется совместной плотностью распределения f(x,у) или условными плотностями распределения f(x/y), f(y/x), т. е. плотностями распределения случайных величин X и Y при задании конкретных значений у и х соответственно.

Совместная плотность и условные плотности распределения связаны следующими соотношениями:

Основными характеристиками вероятностных зависимостей яв­ляются корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционный момент двух случайных величин X и У – это математическое ожидание произ­ведения центрированных случайных величин:

для дискретных

для непрерывных

где m_x и m_y – математические ожидания величин X и Y; р_ij – ве­роятность отдельных значений x_i и у_i.

Корреляционный момент одновременно характеризует связь между случайными величинами и их рассеяние. По своей размер­ности он соответствует дисперсии для независимой случайной величины. Для выделения характеристики связи между случайными величинами переходят к коэффициенту корреляции характеризует степень тесноты зависимости и может изменяться в пределах -1 ≤ ρ ≤ 1.

;

где S_x и S_y – средние квадратические отклонения случайных величин.

Значения ρ = 1 и ρ = –1 свидетельствуют о функциональной зависи­мости, значение ρ = 0 свидетельствует о некоррелированности слу­чайных величин

Рассматривают корреляцию как между величинами, так и между событиями, а также множественную корреляцию, характеризую­щую связь между многими величинами и событиями.

При более анализе вероятностной связи определяют условные математические ожидания случайных величин m_y/x и m_х/у, т. е. математические ожидания случайных величин У и X при заданных конкретных значениях х и у соответственно.

Зависимость условного математического ожидания т_у/х от х называют регрессией У по X. Зависимость т_х/у от у соответствует регрессии X по Y.

Для нормально распределенных величин Y и X уравнение регрессии имеет вид:

для регрессии У по Х

для регрессии X по У

Важнейшей областью применения корреляционного анализа к задачам надежности является обработка и обобщение результатов эксплуатационных наблюдений. Результаты наблюдения случайных величин У и X представляют парными значениями у_i , x_i i-го наблюдения, где i=1, 2 . . . п; п – число наблюдений.

Оценку r коэффициента корреляции ρ определяют по формуле

где , – оценки математических ожиданий т_х и т_у соответствен­но, т. е. средние из п наблюдений значений

s_x, s_y — оценки средних квадратических отклонений S_x и S_y соот­ветственно:

Обозначив оценку условных математических ожиданий т_y/_x, т_х/_у соответственно через и , уравнения эмпирической регрес­сии У по X и X по Y записывают в следующем виде:

Как правило, практическую ценность имеет лишь одна из ре­грессий.

При коэффициенте корреляции r=1 уравнения регрессий тождественны.

Вопрос №63 Оценка статистических параметров с помощью доверительных интервалов

Если значение испытываемого параметра оценивается одним числом, то оно называется точечным. Но в большинстве задач нужно найти не только наиболее достоверное численное значение, но и оценить степень достоверности.

Нужно знать: какую ошибку вызывает замена истинного параметра а его точечной оценкой ; с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не превысят известные заранее установленные пределы.

Для этой цели в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Если для параметра а получена из опыта несмещенная оценка , и поставлена задача оценить возможную при этом ошибку, то необходимо назначить некоторую достаточно большую вероятность β (например β = 0,9; 0,95; 0,99 и т.д.), такую, что событие с вероятностью β можно было бы считать практически достоверным.

В этом случае можно найти такое значение ε, для которого P(| - a| < ε) = β.

Рис. 3.1.1 Схема доверительного интервала.

В этом случае диапазон практически возможных ошибок, возникающих при замене а на не будет превышать ± ε. Большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью α = 1 – β. Событие противоположное и неизвестное с вероятностью β будет попадать в интервал I_β = ( - ε; + ε). Вероятность β можно толковать, как вероятность того, что случайный интервал I_β накроет точку а (рис. 3.1.1).

Вероятность β принято называть доверительной вероятностью, а интервал I_β принято называть доверительным интервалом. На рис. 3.1.1 рассматривается симметричный доверительный интервал. В общем случае это требование не является обязательным.

Доверительный интервал значений параметра a можно рассматривать как интервал значений a, совместных с опытными данными и не противоречащих им.

Выбирая доверительную вероятность β, близкую к единице, мы хотим иметь уверенность в том, что событие с такой вероятностью произойдет при осуществлении определенного комплекса условий.

Это равносильно тому, что противоположное событие не произойдет, что мы пренебрегаем вероятностью события, равною α = 1 – β. Укажем, что назначение границы а пренебрежимо малых вероятностей не являются математической задачей. Назначение такой границы находится вне теории вероятностей и определяется в каждой области степенью ответственности и характером решаемых задач.

Но установление слишком большого запаса прочности приводит к неоправданному и большому удорожанию стоимости строительства.

65Вопрос №65 Стационарный случайный процесс.

Стационарная случайная функция – случайная функция, все вероятностные характеристики которой не зависят от аргумента. Стационарные случайные функции описывают стационарные процессы работы машин, нестационарные функции – нестационарные процессы, частности переходные: пуск, останов, изменение режима. Аргументом является время.

Условия стационарности случайных функций:

1. постоянство математического ожидания;

2. постоянство дисперсии;

3. корреляционная функция должна зависеть только от разности аргументов, но не от их значений.

В качестве примеров стационарных случайных процессов можно привести: колебания самолета на установившемся режиме горизонтального полета; случайные шумы в радиоприемнике и др.

Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно долго, при исследовании в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. При исследовании стационарного случайного процесса на любом участке времени должны получаться одни и те же характеристики.

Корреляционная функция стационарных случайных процессов есть четная функция.

Для стационарных случайных процессов эффективен спектральный анализ, т.е. рассмотрение в виде спектров гармоник или рядов Фурье. Дополнительно вводят функцию спектральной плотности случайной функции, характеризующую распределение дисперсий по частотам спектра.

Дисперсия:

D_x =

Корреляционная функция:

K_x(τ) =

Спектральная плотность:

S_x( ) =

Стационарные процессы могут быть эргодическими и неэргодическими. Эргодические – если среднее значение стационарной случайной функции на достаточно длительном участке приближенно равно среднему значению для отдельных реализаций. Для них характеристики определяют как среднее по времени.

Вопрос №66 Показатели надежности технических объектов: единичный, комплексный, расчетный, экспериментальный, эксплуатационный, экстраполированный.

Показатель надежности – количественная характеристика одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта.

Единичный показатель надежности – показатель надежности, характеризующий одно из свойств, составляющих надежность объекта.

Комплексный показатель надежности – показатель надежности, характеризующий несколько свойств, составляющих надежность объекта.

Расчетный показатель надежности – показатель надежности, значения которого определяются расчетным методом.

Экспериментальный показатель надежности – показатель надежности, точечная или интервальная оценка которого определяется по данным испытаний.

Эксплуатационный показатель надежности – показатель надежности, точечная или интервальная оценка которого определяется по данным эксплуатации.

Экстраполированный показатель надежности – показатель надежности, точечная или интервальная оценка которого определяется на основании результатов расчетов, испытаний и (или) эксплуатационных данных путем экстраполирования на другую продолжительность эксплуатации и другие условия эксплуатации.

Вопрос №68 Показатели долговечности технических объектов и автомобилей.

Гамма-процентный ресурс – суммарная наработка, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с вероятностью g, выраженной в процентах.

Средний ресурс – математическое ожидание ресурса.

Гамма-процентный срок службы – календарная продолжительность эксплуатации, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с вероятностью g, выраженной в процентах

Средний срок службы – математическое ожидание срока службы.

Примечание. При использовании показателей долговечности следует указывать начало отсчета и вид действий после наступления предельного состояния (например гамма-процентный ресурс от второго капитального ремонта до списания). Показатели долговечности, отсчитываемые от ввода объекта в эксплуатацию до окончательного снятия с эксплуатации, называются гамма-процентный полный ресурс (срок службы), средний полный ресурс (срок службы)

71 71 Задачи и методы прогнозирования надёжности автомобилей

Различают три этапа прогнозирования: ретроспекцию, диагностику и прогноз. На первом этапе устанавливают динамику изменения параметров машины в прошлом, на втором этапе определяют техническое состояние элементов в настоящем, на третьем этапе прогнозируют изменение параметров состояния элементов в будущем.

Основные задачи прогнозирования надежности автомобилей могут быть сформулированы следующим образом:

а) Предсказание закономерности изменения надежности автомобилей в связи с перспективами развития производства, внедрением новых материалов, повышением прочности деталей.

б) Оценка надежности проектируемой автомобилей до того, как они будут изготовлены. Эта задача возникает на стадии проектирования.

в) Прогнозирование надежности конкретного автомобиля (либо его узла, агрегата) на основании результатов изменения его параметров.

г) Прогнозирование надежности некоторой совокупности автомобилей по результатам исследования ограниченного числа опытных образцов. С задачами такого типа приходится сталкиваться на этапе производства.

д) Прогнозирование надежности автомобилей в необычных условиях эксплуатации (например, при температуре и влажности окружающей среды выше допустимой, сложных дорожных условиях и так далее).

Методы прогнозирования надежности автомобилей выбирают с учетом задач прогнозирования, количества и качества исходной информации, характера реального процесса изменения показателя надежности (прогнозируемого параметра).

Современные методы прогнозирования могут быть разделены на три основные группы:а) методы экспертных оценок;б) методы моделирования, включающие физические, физико- математические и информационные модели;в) статистические методы.

Методы прогнозирования, основанные на экспертных оценках, заключаются в обобщении, статистической обработке и анализе мнений специалистов относительно перспектив развития данной области.

Методы моделирования базируются на основных положениях теории подобия. На основании подобия показателей модификации А, уровень надежности которой исследован ранее, и некоторых свойств модификации Б того же автомобиля либо его узла, прогнозируются показатели надежности Б на определенный период времени.

Статистические методы прогнозирования основаны на экстраполяции и интерполяции прогнозируемых параметров надежности, полученных в результате предварительных исследований. В основу метода положены закономерности изменения параметров надежности автомобилей во времени

Вопрос №74 Математические методы прогнозирования. Построение математических моделей надежности.

При прогнозировании надежности трансмиссии возможно использование следующих моделей: 1) «слабейшего» звена; 2) зависимых ресурсов элементов деталей; 3) независимых ресурсов элементов деталей. Ресурс i-го элемента определяется из соотношения:

x_i = R_i/r_i,

где R_i – количественное значение критерия i-го элемента, при котором происходит его отказ;

r_i – средняя величина приращения количественной оценки критерия i-го элемента за единицу ресурса.

Величины R_i и r_i могут быть случайными с определенными законами распределения или постоянными.

Для варианта, когда R_i постоянны, а r_i переменны и имеют функциональную связь с одной и той же случайной величиной, рассмотрим ситуацию, когда между величинами r_i соблюдается линейная функциональная связь, что приводит к модели «слабейшего» звена. В этом случае надежность системы соответствует надежности «слабейшего» звена.

Модель зависимых ресурсов реализуется при нагружении по схеме, когда имеется наличие разброса условий эксплуатации для массовых машин или неопределенности условий эксплуатации уникальных машин. Модель независимых ресурсов имеет место при нагружении по схеме с конкретными условиями эксплуатации.

Это выражение позволяет рассчитать с учетом зависимости ресурсов надежность системы из n последовательно соединенных элементов с общим нагружением при экспоненциальных законаз распределения величин R_i и r_i.

Выражение для расчета надежности системы с независимыми ресурсами элементами.

Вопрос №79 Схематизация нагружения системы, деталей и элементов (на примере трансмиссии).

Под трансмиссией будем подразумевать привод машины в целом или отдельную, достаточно сложную его часть, которую по тем или иным причинам необходимо выделить. Нагруженность трансмиссии определяется силовой и скоростной составляющими. Силовую составляющую характеризует крутящий момент, а скоростную – угловая скорость вращения, которая определяет количество циклов нагружения деталей трансмиссии или скорость скольжения контактных поверхностей.

В зависимости от типа детали схематизация крутящего момента с целью получения нагруженности детали может быть различной. Например, нагруженность зубчатых колес и подшипников определяется текущим значением моментов, а валов на кручение – величиной его амплитуды.

Исходя из условий эксплуатации, нагруженность трансмиссии может быт представлена в виде следующих схем.

1. Каждому режиму соответствует одномерная кривая распределения.

2. Для каждого режима имеем n одномерных кривых распределения (n - количество условий эксплуатации машины). Вероятность эксплуатации в каждом из условий конкретна.

3. Для каждого режима имеем одно двухмерное распределение текущего и среднего значений крутящего момента.

Схема 1 может быть использована для машин массового производства при совершенно одинаковых условиях эксплуатации или для уникальной машины при конкретных условиях ее эксплуатации.

Схема 2 качественно не отличается от схемы 1, однако в ряде случаев для расчета целесообразно, чтобы каждому условию эксплуатации соответствовала нагрузочная кривая.

Схема 3 может характеризовать нагруженность трансмиссии уникальной машины, конкретные условия эксплуатации которой неизвестны, но известен диапазон условий.

82 Вопрос №82 Системный подход к прогнозированию ресурса деталей

Автомобиль должен рассматриваться как сложная система, образующаяся с точки зрения надежности последовательно соединяющихся его агрегатов, деталей, элементов.

Ресурс элемента:

T_i = R_i/r_i,

где R_i - количественное значение критерия предельного состояния i-го элемента, при котором происходит его отказ;

г_i - средняя величина приращения количественной оценки критерия

предельного состояния i -го элемента за единицу ресурса.

R_i и r­_i могут быть случайными или постоянными и возможны

следующие варианты:

1. R_i - случайные, r­_i - случайные;

2. R_i - случайные, r­_i - постоянные;

3. R_i - постоянные, r­_i - случайные;

4. R_i - постоянные, r­_i - постоянные.

Для первых трех вариантов, считаем R_i независимыми между собой случайными величинами.

1.а) r­_i - независимые

Надежность системы считается перемножением ВБР

б) r­_i - случайные и связаны вероятностью

r_i = 1…n;

r_j;

i ≠ j;

f (r_i, r_j);

f (r_i / r_j) = f (r_i, r_j)/ f (r_j);

f (r_j / r_i) = f (r_i, r_j)/ f (r_i).

Если r_i и r_j зависят друг от друга, то и ресурсы также будут зависеть друг от

друга и для расчета применяется модель зависимости ресурсов элементов. Т.к. связь вероятностная, то применяется метод условных функций.

в) r_i - случайные и связаны функционально.

В данном случае свободные величины зависят друг от друга, также зависят между собой и ресурсы. Только в силу функциональной зависимости связь будет сильнее, чем в других случаях.

2. модель независимых ресурсов элементов.

ВБР системы равна сумме ВБР всех элементов.

3. возможны такие же случаи как в 1, только в случаях б) и в) будет усиление зависимых ресурсов из-за постоянства R_i. В случае в) r_i - функциональная связь,

возможна ситуация, когда применяется модель "слабейшего" звена.

R₁,R₂ –постоянные;

R₁>R₂;

r₁,r₂ – случайные;

r₁ = 1,5 ∙ r₂;

T = R/r;

R = T ∙ r;

R₁ = T ∙ r₁;

R₂ = T ∙ r₂;

T

Если при других двух конкретных значениях r₁, r₂ будет соблюдено

такое же соотношение по ресурсу Т₁ >Т₂, то элемент 2 будет "слабейшим"

звеном, т.е. он определяет надежность этой системы.

Применение модели "слабейшего" звена:

- если в системе есть элемент, у которого критерий R значительно меньше, чем этот критерий у всех других элементов, а нагружены все элементы примерно одинаково;

- если критерий R у всех элементов примерно одинаков, а нагруженность одного элемента значительно выше, чем всех других элементов.

Вопрос №83Определение ресурса деталей (валов, или зубчатых колес, или подшипников опор агрегатов трансмиссии) по экспериментальным нагрузочным режимам.

Определение ресурса подшипников качения.

Для определения долговечности подшипников качения агрегатов трансмиссии и ходовой части необходимо выполнить несколько видов расчета: на статическую прочность, на контактную усталость, на износ.

Модель отказа:

где f(R) – плотность распределения ресурса;

, – плотность и функция распределения ресурса для i-го вида разрушительного процесса;

n – число видов расчета.

Наибольшее распространение получил расчет подшипников качения на контактную усталость:

R = а_р С_д^mρ No₅₀ [β ^-1,

где С_д – динамическая грузоподъемность;

No₅₀ – число циклов кривой усталости, соответствующее 50% вероятности неразрушения подшипника при нагрузке С_д;

m_ρ – показатель степени (шариковые = 3, роликовые = 3,33);

- частота нагружения подшипника при движении на k-ой передаче;

Р – приведенная нагрузка на подшипник;

- плостность распределения приведенной нагрузки при движении на k-ой передаче в i-ых условиях эксплуатации.

Основные особенности расчета.

1. Так как для кривой усталости подшипников вместо предела выносливости вводится С_д (соответствует вероятности неразрушения 90% при 10⁶ циклов), то необходимо перейти к кривой усталости, соответствующей 50% неразрушения. Учитывая, что плотность распределения при нагрузке на подшипник С_д подчиняется закону Вейбулла, то No₅₀ = 4,7 ∙ 10⁶ циклов.

2. Интегрирование в формуле производится от нуля, а параметры кривой усталости - m_ρ, No₅₀ и С_д – не корректируются. Поэтому, при условии = const, перестановка операций суммирования и интегрирования не влияет на величину R. Следовательно, расчеты по обобщенному нагрузочному режиму и по отдельным нагрузочным режимам тождественны. Если величины существенно отличаются, то расчет среднего ресурса R_ik производится раздельно для каждой передачи:

R_ik = а_р С_д^mρ No [β ^-1,

формула может быть записана:

R = [ ^-1,

3. Приведенная нагрузка на подшипник:

Р = (K_Fr ∙ K_v ∙ F_r + K_Fa ∙ F_a) ∙ K_б ∙ K_T ∙ K_м;

где F_r, F_a – радиальная и осевая нагрузки;

K_v – коэффициент вращения;

K_б – коэффициент вращения;

K_Т – температурный коэффициен;

K_м – коэффициент материала;

K_Fr, K_Fa – коэффициент радиальной и осевой нагрузок.

4. Зависимость между крутящим моментом на валу М и приведенной нагрузкой на подшипник:

Р = K_P M = (K_Fr ∙ K_v ∙ K_R + K_Fa ∙ K_A) ∙ K_б ∙ K_T ∙ K_м ∙ M;

где К_Р – коэффициент преобразования;

K_R, K_A – коэффициенты преобразования момента в суммарную радиальную и осевую нагрузки на подшипник.

Частота нагружения подшипника соответствует частоте его вращения.

= 1000 U_Σα (2πr_ω)

где U_Σα – общее передаточное число трансмиссии от вала до ведущих колес автомобиля при включенной k-ой передаче.

5. Расчет плотности распределения ресурса подшипника и его параметров производится методом статического моделирования.

Вопрос №12 Удельная материалоемкость автомобилей.

При определении материалоемкости автомобиля используется масса снаря­женного шасси. Целесообразность ис­пользования при оценке материалоем­кости автомобиля массы шасси объяс­няется широким развитием производ­ства специализированных автомобилей с кузовами различных типов или дру­гих надстроек разной массы, устанав­ливаемых на шасси одного и того же базового автомобиля. Именно поэтому в фирменных проспектах и каталогах для зарубежных грузовых автомоби­лей, как правило, приводятся значения массы снаряженного шасси, а не ав­томобиля. При этом в массу снаряжен­ного шасси многие зарубежные фирмы не включают массу снаряжения и до­полнительного оборудования, а степень заправки топливом в различных стан­дартах указывается разная.

Для объективной оценки материало­емкости автомобилей различных моде­лей они обязательно должны быть приведены к единой комплектации. При этом грузоподъемность шасси определяется как разность между по­лной конструктивной массой автомоби­ля и массой снаряженного шасси.

Основным показателем материало­емкости автомобиля является удельная масса шасси:

m_уд = (m_сн.шас – m_з.сн)/[(m_к.а – m_сн.шас)Р];

где m_сн.шас – масса снаряженного шасси,

m_з.сн – масса заправки и снаряжения,

m_к.а – полная конструктивная масса автомобиля,

Р – установленный ресурс до капитального ремонта.

Для автомобиля-тягача учитывается полная масса автопоезда:

m_уд = (m_сн.шас – m_з.сн)/[(m_к.а – m_сн.шас)КР];

где К – коэффициент коррекции показателей для автомобилей-тягачей, предназначенных для работы в составе автопоезда

К = m_a/m_к.а;

где m_a – полная масса автопоезда.