Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин.

Для кол-енного описания связи между двум.с.в.,вводят ковариацию и коэф.корреляции.

Опр. Ковариация Kxy с.в.X и Y;наз-ся м.о.произведения отклонения этих с.в.от своих м.о.

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Т.ф-ля д/выч.ковариации

Ковариация XY равна м.о.их произведения минус произ.их м.о.

Kxy=M(XY)- M(X)M(Y)

Док. Пусть M((X)=a M(Y)=b тогда

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Следствие.сли X Y назависимы, то их ковариация равна нулю

К недостаткам ковариации относят то,что это размерная величина и поэтому харак-ет не только степень связи между компонентами, но и разброс значений компонентов. Поэтому вводят коэф.кор.

Опр.Коэф.кор.двух.с.в.(X,Y) наз-ся отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих с.в.

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Св-ва:1. [-1,1] -1≤ρxy≤1

2. Если X Y независ. То ρxy=0

3. Если Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru , то между вел.X Y сущ.функциональная зависимость

При ρ=1 Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

При ρ=1 Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Для того что бы найти коэф.кор.по табл.распр.двум.с.в.надо:

1. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

2. найти одномер.распр.X Y

3. по одномер распр найти: M(X),M(Y),D(X),D(Y)

4.Найти коэф.кор.по ф-ле:

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Заменяя в последнем выражении входящие величины на их выборочные оценки, получаем формулу для вычисления выборочного коэфф-нта корреляции r:

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru -выбо-

рочная ковариация, т.к. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru , Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru ; Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru ;

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru , «+»,если Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru ; «-» если

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru .Если r>0,то связь между переменной называется прямой.Если r<0- связь называется обратной. Связь между переменными признается тесной, если |r|³0,7; умеренной если 0,4£|r|£0,7; слабой если |r|<0,4. Основное св-во коэфф-та корреляции: |r|£1.; Предельное значение коэфф-та корреляции: 1) |r|=1,т.и т.т.к. byx*bxy=1 => прямые регрессии совпадают. 2) r=0 т.и т.т.к. µ=0 ó byx=0 и bxy=0 => прямые регрессии перпендикулярны.; Если r=0 то говорят, что между переменными х и у отсутствует линейная корреляционная зависимость.

28. Неравенство Маркова (лемма Чебышева) (с выводом). Пример.

Пусть с.в.Х принимает только неотриц.знач.и имеет м.о.. Тогда для любого положит.А, верно неравенство:

А›0 Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

След. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Неравенство Чебышева (с выводом) и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события.

Т. Для любойс.в.,имеющей м.о.и дисперсию, справедливо нер.Чебышево:

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru где a=M(X),ε›0

Док. Обознач. a=M(X), рассмотрим Y=(X-a)2

Она прин.только не отриц. знач. M(Y)=M(X-a)2=D(X),т.е. у неё есть м.о.,след.к Y можно прим.нер-во Маркова

P(Y>)≤M(Y)/A

Возьмём A=ε2, P(Y>ε2)≤D(X)/ε2

Y>ε2след. (X-a)22

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Т.о. (А) примет вид

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

1.с.в.Х-бинум.зак.

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

2.Пусть W-частота соб.в n незав.повтор.исп.

W=Xn/n Xn-сколько раз произош.соб

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

3.Пусть X1..Xn-незав.с.в., M(X)=ai D(X)≤C

Тогда Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин (с выводом).

Т.Бенулли Частость события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и тойже вер-ю p,при неограниченном увеличении числа n сходится к вер-ти p этого соб-я в отдельном исп-и

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Или Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Вытекает из нер-ва Чебышева для частости собятия:

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Теорема Чебышева (с доказательством), ее значение и следствие. Пример.

Пусть с.в.Х1..Хn имеют одинаковое м.о. а и дисперсия ограниченна одной и той же постоянной С,тогда верно:

M(Xi)=a D(Xi)≤C тогда

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Вытекает из нер-ва Чебышева для частости собятия:

Смысл: При большом числе Х с.в. Х1…Хn практически достоверно, что их сред.ариф., которая явл.с.в.сколь мало отличается от конкретного числа a, т.е.практически перестаёт быть с.в..

Т.Чеб.принято наз.законом больших чисел. –это общ. принцип согласно кот.действия большого числа случ.факторов при весьма общих условиях приводит к результату почти независищяму от случая.

Закон больших чисел. Теорема Бернулли (с доказательством) и ее значение. Пример.

Т.Бенулли Частость события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и тойже вер-ю p,при неограниченном увеличении числа n сходится к вер-ти p этого соб-я в отдельном исп-и

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Или Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Вытекает из нер-ва Чебышева для частости собятия:

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Связь между некоррелированностью и независимостью случайных величин. - student2.ru

Смысл: При большом числе n практически достоверно, что частость собятия m/n величина случайная ,как угодно мало отличается от неслуч.вел. p-вер-ти соб-я,т.е.практически перестаёт быть слууч.

Т..принято наз.законом больших чисел. –это общ. принцип согласно кот.действия большого числа случ.факторов при весьма общих условиях приводит к результату почти независищяму от случая.

Наши рекомендации