Занятие 4. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Равномерное и нормальное распределения непрерывных случайных величин

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определенный интеграл

М(х)= .

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a,b], то

= .

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной

.

Пример 4.1. Случайная величина задана плотностью распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию.

f(x) =

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a,b] , если плотность распределения на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю

f(x)=

Из условия =1 следует

=

Рис. 5

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал (α,β) [a,b]:

Пример 4.2: Интервал движения автобуса №14 – 15 минут. Случайная величина Х – время ожидания автобуса. Найти вероятность того, что Х [9,12]

Решение.Найдем искомую вероятность

Р(9 <Х< 12) = .

Построим функцию распределения для закона равномерной плотности. Воспользуемся свойством: F(x)= .

Тогда: F(x)=

Математическое ожидание и дисперсия равномерного распределения

;

Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:

f(x)=

т.е. условие нормировки выполнено. Найдем математическое ожидание и дисперсию.

Рис. 6.

т. о., математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение у показательного распределения одинаково.

Пример 4.3. Случайная величина Т – время работы радиолампы имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время работы радиолампы будет не менее 1000 часов, если среднее время ее работы – 500 часов.

. , (t>0)

Нормальнымназывают распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

.

Здесь - математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение нормального распределения. Достаточно знать эти два параметра, чтобы задать нормальное распределение. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой(кривой Гаусса) (рис. 7, 8). Изменение величины параметра а (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если а возрастает, и влево, если а убывает (рис.7). С возрастанием максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси Ох; при убывании нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положи
тельном направлении оси Оу (рис. 8).

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу

Ф - Ф ,

где Ф(х) – функция Лапласа, значения которой приведены в таблице.

Пример 4.4. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение. По условию, следовательно,

Ф - Ф =2Ф(2).

По таблице находим Ф(2)=0,4772. Отсюда, искомая вероятность

Задачи для самостоятельного решения

1. Случайная величина Х задана в интервале (3,5) плотностью вероятностей f( х) = вне этого интервала f(х)=0. Найти математическое ожидание и дисперсию.

2.Случайная величина Х задана функцией распределения

.

Требуется найти плотность распределения, математическое ожидание и дисперсию, построить графики функции распределения и плотности вероятности случайной величины Х.

3. Найти вероятность попадания в заданный интервал (α,β) нормально распределенной случайной величины, если известны ее математическое ожидание и среднее математическое отклонение σ. α=10, β=50, а=30, σ=10.

4. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x) = sin2x в интервале (0, /4). Найти математическое ожидание.

5. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределенияF(x) = в интервале (0,5).

6. Случайная величина Х задана плотностью вероятностей f(х) = в интервале (2,4), вне этого интервала f(х)=0. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Ответы. 1. 2.

3. . 4. 5. 6.