Построение диаграммы усилий в треугольных фермах

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

тюменский государственный архитектурно-строительный университет

кафедра «Строительные конструкции»

Методические указания

на тему:

"графоаналитический метод определения усилий в фермах"

для студентов специальности пгс

Тюмень – 2007 год

Методические указания на тему «Графоаналитический метод определения усилий в фермах» разработаны к.т.н., доцентом В.Ф. Баем, к.т.н. доцентом Ю.В. Огородновой, к.т.н. доцентом А.В. Набоковым.

Методические указания предназначены для студентов специальности ПГС.

Тюмень, ТюмГАСУ, 2007 г., методические указания – издание 1.

Рецензент: к.т.н., доцент В.Г. Соколов

Учебно-методический материал утвержден на заседании кафедры:

«Строительные конструкции» Протокол №____ от "____" ____________ 2007 г.

Содержание

Стр.

Введение ……………………………………………………………….. 4

Построение диаграммы усилий в треугольных фермах ……………. 5

Построение диаграммы усилий в трапециевидной ферме …………… 17

Построение диаграммы усилий в сегментной ферме ………………… 18

Построение диаграммы усилий для фермы с параллельными

поясами в составе рамы (с учетом горизонтальных нагрузок) ………… 19

Список литературы …………………………………………………….. 23

Введение

Фермой называется геометрически неизменяемая система из стержней, шарнирно или жестко связанных между собой концами. Стропильные фермы применяют для перекрытия пролетов промышленных зданий, больших залов гражданских зданий, для перекрытия пролетов мостов.

Отдельные элементы фермы носят определенные названия (рис. 1): верхние стержни относят к верхнему поясу, нижние – к нижнему поясу, вертикальные стержни фермы называются стойками, наклонные стержни, заключенные между поясами фермы – раскосы.

Обычно в ферме нагрузка передается исключительно в узлах, а стержни фермы чаще всего прямые, поэтому они испытывают только продольные усилия, то есть центральное или осевое растяжение-сжатие.

Существует несколько аналитических методов определения внутренних усилий в фермах: метод вырезания узлов, метод сечений, метод моментных точек и т.д. В отдельных практических задачах, в частности, при курсовом проектировании, можно использовать очень простой и нетрудоемкий графоаналитический метод.

Этот метод расчета ферм был предложен английским ученым Максвеллом и развит итальянским геометром Кремоной. Он позволяет получить компактное, удобное и легко контролируемое графическое построение всех усилий на одном чертеже, где каждое усилие чертится только один раз.

Получение диаграммы усилий основывается на следующих известных положениях графостатики:

1. Всякая сила может быть разложена на два любых направления, пересекающихся с ней в одной точке.

2. Если система сил на плоскости находится в равновесии, то силовой многоугольник, построенный на данных силах, должен быть замкнутым.

Рассмотрим порядок построения диаграммы усилий в фермах на конкретных примерах.

Построение диаграммы усилий в треугольных фермах

Рассмотрим алгоритм построения диаграммы усилий на примере треугольной фермы, изображенной на рис. 2. Вычерчиваем ферму с действующими в узлах нагрузками в определенном масштабе. Предварительно необходимо определить опорные реакции. При этом если задача симметричная (симметричная ферма загружена симметричной нагрузкой) реакции равны полусумме всех заданных сил. В нашем примере реакция в каждой опоре будет равна .

Далее необходимо на чертеже выделить внутренние (замкнутые) и наружные (незамкнутые) поля фермы. Площадь, ограниченная со всех сторон стержнями фермы, называется внутренним или замкнутым полем (на рисунке 2 каждое замкнутое поле обозначено цифрой 1, 2, 3 и т.д.). Под внешним полем будем понимать площадь, примыкающую к наружному контуру фермы и заключенную между линиями действия двух соседних внешних сил (на рисунке 2 внешние поля обозначены буквами а, б, в и т.д.).

В дальнейшем каждую внешнюю силу и каждое внутреннее усилие будем обозначать двумя значками, соответствующими наименованию тех полей, границами которых они являются. При этом первый значок должен соответствовать обозначению поля, встречающегося перед силой (усилием) при обходе контура фермы по ходу часовой стрелки, а второй – обозначению поля, следующего за силой (усилием). Например, силу между полями и обозначим , раскос (и усилие в нем) между полями и - раскос , усилие в стержне между полями и , и т.д.

Определение усилий начинается с построения диаграммы внешних сил (рис. 3). Так как все внешние силы вертикальные, их диаграммой будет прямая линия. На произвольно проведенной вертикальной линии откладываем в принятом масштабе силу , равную (например, в - ) и направленную вверх. Затем откладываем остальные силы в том порядке, в котором они встречаются при обходе контура фермы по ходу часовой стрелки.

В результате получим замкнутую (!) диаграмму сил .

Теперь перейдем к построению многоугольников сил, соответствующих усилиям в стержнях фермы. Симметрия фермы и нагрузки будет повторяться и в диаграмме усилий.

Чтобы найти величину и направление усилий в стержнях фермы нужно получить геометрическое место точек всех внутренних полей фермы. Каждому внутреннему полю фермы будет соответствовать точка на диаграмме. Положение поля можно найти только тогда, когда известно положение всех смежных с ним полей (точек на диаграмме).

Построение начинаем с поля . Поле граничит с полем , поэтому через точку на диаграмме сил проводим прямую, параллельную стержню . Кроме того, в поле можно попасть из поля , следовательно, через точку проводим прямую, параллельную стержню . Точка пересечения прямых, проведенных через точки и и будет точка (рис. 4).

Определяем положение точки диаграммы: в поле можно попасть из поля и , но нельзя попасть из поля , так как на пути будет находиться неизвестное поле . Таким образом, через точку диаграммы сил проводим прямую, параллельную стержню , а через точку диаграммы - параллельную стержню . Точка пересечения этих прямых – искомая точка (рис. 5).

В поле можно попасть из известных полей и (поле пока неизвестно). Значит, точка будет получена в результате пересечения прямой, проведенной из точки диаграммы, которая параллельна стержню и прямой, параллельной стержню , выходящей из точки диаграммы (рис. 6).

Получение остальных точек диаграммы приведем без подробного описания:

Искомое местоположение на диаграмме поля (точка ): из точки на диаграмме проводим прямую, параллельную вертикальному стержню , из точки - параллельную стержню (рис. 7).

Искомое на диаграмме поле (точка ): из точки проводим прямую, параллельную стержню , из точки - параллельную стержню (рис. 8).

Искомое поле Ошибка! Ошибка связи. (точка ): из точки проводим прямую, параллельную стержню , из точки - параллельную стержню (рис. 9).

Кроме того, поле граничит с известным полем , поэтому прямая, параллельная стержню , также должна проходить через точку . Это совпадение служит проверкой правильности построения диаграммы.

На рис. 10 приведена окончательная диаграмма усилий для рассматриваемой фермы.

Для определения величины усилий необходимо измерить отрезки на диаграмме, совпадающие по обозначению с обозначением искомого усилия, например, величина усилия в стержне будет равно длине отрезка на диаграмме в принятом масштабе (например, при длине величина усилия равна ).

Для определения вида усилия в стержнях фермы (растяжение или сжатие) необходимо «вырезать» узлы фермы. Обозначим все узлы фермы (рис. 10).

Определение усилий можно начинать с любого узла, например, с узла (рис. 11). В узле сходятся стержни и . Очередность написания номера поля в обозначении стержней определяется при обходе рассматриваемого узла по часовой стрелке. Так, стержень в узле при обходе по часовой стрелке из поля в поле будет иметь марку . Если посмотреть на диаграмму, то усилие имеет направление из точки в точку , а усилие имеет направление из точки в точку (рис. 11).

Мысленно перенеся эти направления к стержням узла , получим вектор усилия направленного к узлу (стержень сжат), а вектор усилия - из узла (стержень растянут).

В узле сходятся стержни , , , векторы усилий в которых направлены соответственно: из точки в точку , из точки в точку , из точки в точку (рис. 12). В результате все усилия направлены в узел, то есть сжимающие.

На рис. 13 рассмотрен узел , по аналогии с вышеизложенным, получаем: усилия , и - растягивающие, а усилие - сжимающее.

Узел (рис. 14): усилие в стержне направлено в узел, то есть сжимающее, усилия в стержнях и - из узла, то есть растягивающие.

Остается рассмотреть узел , образованный стержнями: , , , , . В силу симметрии, достаточно определить значения и направления усилий, например, слева от узловой точки. В результате, раскосы и будут растянуты, все остальные стержни - сжаты (рис. 15).

Рассмотрим теперь треугольную ферму с прямолинейным нижним поясом. На рис. 16-21 приведен порядок построения диаграммы усилий для данного случая.

В качестве примера определения направления усилий в стержнях фермы приведем узел (рис. 21).

Значения всех усилий в ферме с учетом знаков приведены в таблице 1.

Таблица 1

Верхний пояс	Нижний пояс	Раскосы	Стойки
Стержень	Усилие, т	Стержень	Усилие, т	Стержень	Усилие, т	Стержень	Усилие, т