Приклади розв’язування задач. 6.1. По двох довгих паралельних провідниках протікають у протилежних напрямках струми силою I1=I2 =I = 10 А

6.1. По двох довгих паралельних провідниках протікають у протилежних напрямках струми силою I₁=I₂ =I = 10 А. Відстань між провідниками а=0,3м.Визначити магнітну індукцію В в точці А,віддаленій від першого та другого провідників на відстані а₁=0,15м, а₂=0,2м(рис. 6.1).

Розв’язування

І1=І2=І=10 А а=0,3 м а1=0,15 м а2=0,2 м

—?

Рис.6.1 Згідно з принципом суперпозиції полів магнітна індукція в точці А дорівнює векторній сумі магнітних індукцій полів, створених кожним струмом окремо:

Із умови задачі випливає, що точка А і обидва провідники не лежать у одній площині. Тому вектори і утворюють деякий кут α. Тоді модуль вектора на підставі теореми косинусів дорівнює

. (а)

Величини В₁ і В₂ можна знайти за формулою для магнітного поля довгого прямого струму, а саме:

(б)

Напрямки векторів і відносно струмів І₁ та І₂ визначаються правилом правого свердлика. Якщо струми спрямовані перпендикулярно до площини рис. 6.1, то і , відрізки а₁ і а₂ лежать у площині рисунка. Нехай кут між відрізками а₁ і а₂ дорівнює β. Оскільки кожен із векторів , перпендикулярний до відповідного відрізку, то повинна виконуватися рівність

(в)

За теоремою косинусів маємо

(г)

Із співвідношень (в), (г) випливає

(д)

Підставивши в формулу (а) значення В₁, В₂ із системи формул (в) і cos α із формули (д), знайдемо:

. (е)

Перевірка розмірностей у СІ:

Підставивши числові значення величин у формулу (е), отримаємо:

Відповідь: В=20 мк Т_л.

6.2. По контуру (рис.6.2) протікає струм силою І=10А. Визначити магнітну індукцію в точці 0, якщо радіус дуги R=0,1 м, кут α=60^о.

Розв’язування

І=10 А R=0,1 м α=60о

—?

Розіб’ємо весь контур на три ділянки – дугу АВ і прямолінійні відрізки ВС і СА. Згідно з принципом суперпозиції отримаємо:

(а)

Спочатку обчислимо модулі всіх трьох складових.

Оскільки кут α=60^о, то дуга АВ дорівнює 1/6 частині кола. Тому

, (б)

(див. „Поле колового струму”).

За формулою для магнітного поля прямого струму

(в)

знаходимо величину В_ВС. Із рис. 6.2 видно, що =30^о, =90^о, відстань . Підставивши значення у формулу (в), маємо:

. (г)

Рис.6.2

Спробуємо застосувати формулу (в) для визначення величини В_СА. Оскільки точка О лежить на продовженні провідника СА, то кути і чисельник формули (в) дорівнює нулю. Нулю дорівнює і знаменник формули (в) (з рис. 6.2 видно, що відстань в=0). Отже, формула (в) є непридатною для обчислення величини В_СА.

Скористаємося законом Біо-Савара-Лапласса у скалярній формі, на підставі якого отримана формула (в). Для будь-якого елементу dl провідника СА кут утворений цим елементом (взятим за напрямком струму) і радіусом–вектором , проведеним від елементу dl в точку О, дорівнює . Отже, , знаменник при цьому відрізняється від нуля. Таким чином, для будь-якого елементу dl величина dB=0 і для всього провідника СА величина В_СА=0.

Із рис. 6.2 видно, що згідно з правилом правого свердлика, вектор спрямований перпендикулярно до площини рисунка від спостерігача, вектор — до спостерігача. Прийнявши один із цих напрямків (наприклад, другий) за позитивний, маємо замість формули (а) скалярну рівність

В_о = В_ВС – В_АВ,

Або, враховуючи формули (в) і (г),

(д)

Перевірку розмірностей див. за прикладом 6.1.

За даними умови задачі на підставі формули (д) знаходимо:

Відповідь: В_о=6,9мкТ_л. Вектор спрямований до спостерігача.

6.3. Коаксіальний кабель являє собою довгу металеву тонкостінну трубку радіуса R=10мм, вподовж осі якої розташований тонкий дріт. Сили струмів у трубці і в дроті однакові, напрямки протилежні. Визначити магнітну індукцію в точках 1 і 2 (рис 6.3), віддалених відповідно на відстані r₁ =5мм і r₂=15мм від осі кабелю, якщо сила струму І=0,5А.

Розв’язування

R=10мм r1=5мм r2=15мм І=0,5А

В1—?; В2—?

Магнітна індукція в кожній із точок 1 і 2 дорівнює векторній сумі магнітних індукцій, створених двома струмами: трубки і осьового дроту. Індукція струму осьового провідника визначається за формулою для довгого прямого провідника зі струмом. Розділивши трубку на вузенькі смуги, паралельні осьовому провіднику, можна було б представити струм трубки як сукупність паралельних струмів, що протікають у цих смугах. Поле кожного струму визначається так як і поле осьового провідника. Таким чином, задачу можна було б вирішити шляхом інтегрування елементарних значень . Однак такий метод є досить незручним. Не зважаючи на те, що магнітне поле струму, що протікає по коаксіальному кабелю, є осесиметричним, точки 1 і 2 не лежать на цій осі. Тому при додаванні векторів , які мають різні напрямки, скористатися принципом симетрії не можливо.

Симетрія магнітного поля струму коаксіального кабелю дає можливість скористатися теоремою про циркуляцію вектора індукції магнітного поля. Дійсно, на підставі симетрії доходимо висновку, що лінії магнітної індукції поля струму кабелю повинні мати форму кіл, центри яких знаходяться на осі кабелю і площини яких є перпендикулярними до цієї осі. Внаслідок симетрії поля у всіх точках однієї лінії індукції величина В однакова. У такому випадку можна скористатися формулою

Рис.6.3 (а)

де α — кут між векторами та .

В якості контуру інтегрування виберемо лінію індукції, що проходить через точку 1. Зважаючи на те, що для всіх точок цієї лінії cosα=1, запишемо

звідки

. (б)

Розмірність очевидна (див. попередні приклади).

Скориставшись даними задачі в одиницях СІ на основі формули (б) знаходимо:

Аналогічно визначимо величину В₂, вибравши в якості контуру інтегрування лінію індукції, що проходить через точку 2. Оскільки контур інтегрування охоплює два струми, однакові за величиною і протилежні за напрямком, то

Відповідь: В₁=20мкТ_l; В₂=0.

Зауваження. Отримані результати призводять до таких висновків:

1. Магнітне поле струму, що протікає по коаксіальному кабелю, зосереджене повністю всередині кабелю.

2. Це поле є таким, якби воно було б створеним лише тим струмом, що протікає по осьовому провіднику. Отже, струм, що протікає по трубці кабелю (тонкостінному довгому циліндру) не створює всередині магнітного поля.

3. Відсутність магнітного поля за межами кабелю свідчить про те, що кількісно магнітна індукція струмів трубки і осьового провідника однакова, а напрямки їх протилежні. Іншими словами, магнітне поле струму, що протікає по довгому циліндру, для всіх точок за межами циліндра можна розраховувати, замінивши циліндр лінійним провідником, розташованим поздовж осі циліндра.

6.4. Довгий циліндр із діелектрика, по поверхні якого розподілений позитивний заряд з лінійною густиною = 10 мк Кл/м, обертається навколо своєї осі, виконуючи n_o=1∙10² об/с. Визначити індукцію магнітного поля в двох точках: в середині осі циліндра і в центрі однієї із його основ.

Розв’язування

= 1∙10-5 Кл/м nо = 1∙102 с-1

ВА —?; ВС — ?

Перш за все відмітимо, що коловий рух електричних зарядів при обертанні циліндра відповідає струму, що протікає по витках соленоїда, який має такі самі розміри, як циліндр. Отже магнітне поле даного циліндра, що обертається, є еквівалентним магнітному полю довгого соленоїда зі струмом. Тому індукцію магнітного поля в середині циліндра обчислимо за формулою

(а)

де n=N/l — кількість витків, що приходиться на одиницю довжини соленоїда.

Щоб виразити добуток nI через задані в умові величини n_o, , розглянемо прямокутну площадку ΔS, сторона якої паралельна осі

Рис.6.4 циліндра і має одиничну довжину (рис. 6.4, а). За кожен оберт циліндра через цю площадку проходить весь заряд, розподілений по поверхні циліндра одиничної довжини, тобто заряд, що кількісно дорівнює . Отже, через площадку ΔS за проміжок часу Δt пройде заряд, який кількісно дорівнює

. (б)

У випадку соленоїда через таку саму площадку ΔS (рис. 6.4, б) за проміжок часу Δt пройде заряд, який кількісно дорівнює

. (в)
Магнітні поля струмів соленоїда і циліндра будуть еквівалентними за умови, що . Прирівнявши праві частини формул (б) і (в), отримуємо:

Підставивши це значення nI у формулу (а), визначимо індукцію магнітного поля в середині циліндра, що обертається навколо своєї осі:

(г)

Щоб визначити магнітну індукцію в центрі однієї із основ циліндра, зважимо на те, що в задачі йдеться про довгий циліндр, довжина якого значно перевищує його діаметр. Якщо умовно розділити циліндр навпіл площиною, перпендикулярною до осі обертання і відкинути одну половину, наприклад праву, то індукція в точці А зменшиться вдвічі і буде дорівнювати

(д)

Це випливає із принципу суперпозиції полів, внаслідок якого кожна половина циліндра забезпечувала однаковий внесок у магнітне поле в точці А. В той же час індукція В_с в точці С не зміниться при віддалені правої половини циліндра, оскільки за великої довжини лівої половини циліндра внесок у магнітне поле в точці С правою половиною був нехтивно малим. Але внаслідок симетрії приходимо до висновку, що магнітні поля на кінцях половини, що залишилася, мають бути однаковими. Таким чином

Перевірка розмірностей у СІ:

(див. приклад 6.1)

Підставивши числові значення величин у формули (г) і (д), виконаємо

обчислення: В_А=4π∙10^-7∙10²∙1∙10^-5Т_л=12,6∙10^-10Т_л, В_С =В_А/2=6,3∙10^-10Т_л

Відповідь: В_А=12,6∙10^-10Т_л; В_С =6,3∙10^-10Т_л.

6.5 Поруч з довгим прямим провідником MN, по якому протікає струм силою I, розташована квадратна рамка із стороною l, по якій протікає струм силою . Рамка лежить у одній площині з провідником MN, так що її сторона, найближча до провідника, знаходиться від нього на відстані а_о (рис. 6.5). Визначити магнітну силу, що діє на рамку, а також роботу цієї сили при видалені рамки з магнітного поля, приймаючи, що під час

руху рамки струми І, залишаються

Рис.6.5 незмінними.

Розв’язування

F-? A-?

На кожен елемент довжини контуру АВСD, розташованого в магнітному полі струму І, діє сила Ампера, що визначається формулою

(а)

Напрямок ліній вектора магнітного поля струму І визначається правилом правого свердлика, напрямком сили Ампера – правилом лівої руки. Скориставшись цими правилами, визначимо напрямки сил, які діють на всі сторони рамки. Оскільки сторони АВ, DC розташовані однаково відносно провідника MN, то сили, що діють на ці сторони, є однаковими за величиною і протилежними за напрямком. Отже, рівнодійна всіх сил, прикладених до рамки, дорівнює

F=F₁—F₂ (б)

і спрямована в бік від провідника в площині рамки.

Сили F₁ та F₂, що діють на сторони рамки АD та ВС знайдемо за законом Ампера у скалярній формі:

(в)

Для всіх елементів dl однієї сторони рамки і величина В однакова. Тому силу, що діє на кожну із сторін АD, BC, на підставі (в) визначимо так:

(г)

Магнітна індукція довгого прямого провідника зі струмом визначається за формулою:

(д)

На підставі формул (б), (г), (д) отримуємо:

(е)

Роботу А можна обчислити двома способами. Розглянемо їх:

1). При видалені рамки за межі магнітного поля струму І змінні тепер сили F₁, F₂ виконають роботу: сила F₁ — позитивну роботу А₁, сила F₂ — негативну роботу А₂. Повна робота

(ж)

Для обчислення кожного із інтегралів необхідно знати, як залежить сила від відстані до провідника MN. При віддалені від провідника на великі відстані формула (д), а отже і формула (а), для обчислення сил є непридатними. Однак знайти різницю інтегралів у формулі (ж) можна. Для цього скористаємося тим, що сила F_1, перемістивши провідник АD на деяку відстань l, в подальшому виконує таку саму за величиною роботу, як і сила F₂ над провідником ВС, оскільки провідник АD, пройшовши шлях l, у подальшому в точності повторить рух провідника ВС. Маючи протилежні знаки, ці два значення роботи дають у сумі нуль. Отже, робота А дорівнює роботі сили F₁ при переміщенні провідника АD із початкового положення на відстань l. Тому, враховуючи формулу (е) (для сили F₁), отримаємо:

. (з)

2). Для обчислення роботи при видалені рамки АВСD із магнітного поля скористаємося формулою, що виражає роботу магнітних сил через зміну магнітного потоку Ф_к—Ф_п через замкнений контур. Магнітний потік Ф_к через рамку за межами поля дорівнює нулю. Отже, робота сил магнітного поля

.

Для обчислення розіб’ємо поверхню, охоплену контуром рамки, на елементарні смужки, паралельні провіднику MN, довжиною l і шириною da. Елементарний потік через таку смужку, розташовану на відстані а від провідника MN, дорівнює :

.

Тоді потік через весь контур ABCD

. (й)

Об’єднавши формули (і), (й) отримаємо:

(к)

що повністю співпадає з формулою (з).

Для визначення сили, що діє на рамку, припустимо, що під дією цієї сили рамка зміститься з початкового положення на незначну відстань da від провідника. При цьому сила виконає роботу З іншого боку, за формулою (і) ця робота . Із двох останніх рівностей отримуємо:

. (л)

Скориставшись формулами (й) і (л) і виконавши диференціювання, знаходимо:

При значенні а=а₀ цей результат співпадає з (е).

Зауваження. Використані тут обидва методи є однаково доцільними, але другий є більш універсальним. Справді, якщо при визначенні роботи за першим методом рух рамки відносно провідника передбачався поступальним, то другий – не передбачає певних форм руху.

6.6. В однорідному магнітному полі з індукцією В=1∙10^-2 Т_л розташована прямокутна рамка abcd, рухома сторона якої ad довжиною l=0,1м, переміщується з швидкістю υ=25м/с перпендикулярно до ліній індукції поля (рис. 6.6). Визначити е.р.с. індукції, що виникає в контурі.

Рис.6.6

Розв’язування

Задачу можна розв’язати двома способами, скориставшись законом Фарадея для електромагнітної індукції або розглядаючи сили, що діють на вільні електрони в рухомій перетинці (сили Лоренца).

В=0,1Тл =25м/с l=0,1м

εі—?

1. При русі провідника ad площа рамки збільшується, магнітний потік Ф крізь площу рамки зростає, отже, згідно з законом Фарадея, в рамці має діяти е.р.с. індукції. Магнітний потік Ф=BS=Blx. За законом Фарадея у рамці виникає е.р.с. індукції

(а)

де — швидкість переміщення провідника ad.

Перевірка розмірностей у СІ:

За даними задачі на підставі (а) отримуємо:

ε_і= – 1∙10^-1∙0,1∙25= – 2,5∙10^-2В= – 25 мВ.

Знак „—” у формулі (а) показує, що е.р.с. індукції ε_і діє в контурі abcd у такому напрямку, за якого пов’язана з ним правилом правого свердлика нормаль до контуру протилежна вектору . Це означає, що індукційний струм у такому випадку спрямований проти годинникової стрілки.

2. Згідно з визначенням е.р.с. дорівнює

(б)

У даній задачі швидкість вільних електронів разом з провідником ad , і складова сили Лоренца, що діє на заряди ,

. (в)

У формулах (б), (в) q — величина заряду, що переноситься по провіднику ad. Оскільки ця сила діє тільки вподовж ділянки ad довжиною l, то

Підставивши це значення інтеграла в формулу (б), отримуємо:

, (г)

що за абсолютним значенням співпадає з формулою (а). Щоб визначити напрямок струму, варто врахувати, що він завжди визначається напрямком руху позитивних зарядів у колі. Сила Лоренца F_II, що діє на позитивний заряд у провіднику ad, спрямована від d до а. Отже, знову знаходимо, що струм у рамці спрямований проти годинникової стрілки.

Відповідь: ε_і= – 25мВ.

Зауваження. При вирішенні задачі в обох випадках не враховується магнітне поле індукційного струму. Його магнітне поле дає внесок у зміну магнітного потоку, а отже і у е.р.с. Чим меншим буде індукційний струм, тим менша його дія. Отже, отримана у обох випадках відповідь буде вірною за умови досить відчутного електричного опору кола.

6.7. По довгому соленоїду з немагнітним осереддям перерізом S=5см², що має N=1200 витків, протікає струм силою І=2А. Індукція магнітного поля в центрі соленоїда В=10мТ_л. Визначити його індуктивність.

Розв’язування

S=5см2 І=2А В=1∙10-2Тл N=1200

L – ?

Задача вирішується двома способами.

1. Індуктивність довгого соленоїда виражається формулою

(а)

де n=N/l — число витків, що приходиться на одиницю довжини соленоїда, S—площа його поперечного перетину, V—його об’єм.

Невідому величину l знайдемо за формулою для магнітного поля соленоїда:

Підставивши це значення l у формулу (а), отримаємо:

(б)

2. Задачу можна вирішити на підставі формул

Ф=LI i Ф=NBS.

Виконавши розрахунки в СІ за формулою (б), знайдемо: L=3мГн.

Відповідь: L=3мГн.

6.8. Резистор опором R приєднаний до верхніх кінців вертикальних мідних стержнів, відстань між якими l (рис. 6.7). Стержні замкнені мідною перетинкою маси m, яка без тертя може ковзати по них. У навколишньому середовищі створене однорідне магнітне поле з індукцією В, перпендикулярне площині, в якій розташовані стержні. Перетинку відпустили, і вона почала падати без порушення електричного контакту.

Рис.6.7 Нехтуючи опором стержнів і перетинки, знайти швидкість υ перетинки, коли вона стане незмінною. Прийняти, що індуктивність одиниці довжини системи стержнів дорівнює k.

Розв’язування

R, l, m, B, k

υ—?

При падінні перетинки площа контуру abcd зростає і магнітний потік через нього збільшується. Згідно з законом Фарадея, в контурі виникає е.р.с. індукції, яка зумовлює індуктивний струм. Отже, на перетинку ad окрім сили тяжіння mg діє з боку магнітного поля сила Ампера F_A, яка в даному випадку дорівнює:

F_A=I∙B∙l.

Згідно з правилом Ленца ця сила спрямована проти сили mg. З ростом швидкості падіння перетинки збільшується е.р.с. індукції, сила струму І, а також сила Ампера. Швидкість перестане збільшуватися, коли наступить рівновага сил mg і F_A, тобто

mg=IBl. (a)

За законом Ома для повного кола

(б)

де ε — е.р.с., що діє в контурі abcd і дорівнює:

(в)

Величина ε_і — е.р.с. індукції, що виникає при зміні крізь контур магнітного потоку Ф_і вектора . За величиною е.р.с. індукції (див. 6.6)

. (г)

Величина ε_c — е.р.с. самоіндукції. Вона виникає при зміні крізь контур магнітного потоку Ф_c, створюваного індукційним струмом. Цей потік змінюється внаслідок зростання площі контуру. Щоб визначити величину ε_c, врахуємо, що у даному випадку індуктивність контуру – величина змінна. Дійсно, індуктивність контуру L=kx, де x – довжина вертикальних стержнів, виміряна на ділянці, по якій протікає струм. При падінні перетинки величини x і L зростають. За визначенням е.р.с. самоіндукції

(д)

Оскільки за сталої швидкості падіння перетинки I=const, то на підставі (д) отримуємо:

. (е)

Згідно з правилом Ленца величини ε_і і ε_c у даному випадку мають протилежні знаки. Тоді з рівнянь (б)—(г), враховуючи (е), знайдемо:

(ж)

Вирішивши систему рівнянь (а) та (ж) відносно І, визначимо сталу швидкість перетинки:

(з)

6.9. На стальний ненамагнічений тороїд, середній діаметр якого d=30 см і площа поперечного перетину S=1,6 см², намотані N=800 витків (рис. 6.8). Коли по обмотці пропустили струм силою І=1,8 А, балістичний гальванометр Б.Г. дав відхилення, що відповідає заряду, який проходить через прилад, q=0,24 мКл. Опір мережі гальванометра R=0,8 Ом. Визначити напруженість поля Н і магнітну індукцію В всередині кільця, намагніченість кільця, а також магнітну проникність сталі при заданій величині струму в обмотці.

Розв’язування

d=0,3 м S=1,6∙10-4 м2 N=800 I=1,8 A q=0,24 мКл R=0,8 Ом

H – ?; B – ?; J – ?; μ — ?

При протіканні струму по обмотці тороїда в стальному кільці виникає магнітне поле, замкнені лінії індукції якого будуть проходити вподовж кільця. Це поле є результатом накладання двох полів: струму і тепер уже намагніченого матеріалу кільця. Однак напруженість Н магнітного поля в середині кільця залежить тільки від струму по обмотці тороїда. Скориставшись теоремою про циркуляцію вектора , взявши в якості контуру інтегрування середню довжину кола кільця l=πd, і, зважаючи на симетрію поля, прийнявши для всіх точок контуру H=const, отримаємо:

. (а)

Із формули (а) видно, що Н залежить від d. Однак, враховуючи числові значення величин d, S, бачимо, що відносна різниця між зовнішнім і внутрішнім діаметрами кільця незначна, приблизно можна вважати, що формула (а) виражає величину Н для всіх точок кільця.

Для обчислення індукції В скористаємося формулою магнітного потоку Ф всередині кільця

Ф=В∙S. (б)

При вмиканні струму магнітний потік у тороїді зростає від нуля до кінцевого значення Ф, що зумовлює виникнення індукційного

Рис.6.8 струму в мережі гальванометра. Величину заряду q, що проходить через гальванометр, визначимо за законом Ома та законом Фарадея:

ΔФ=Ф=qR. (в)

Із формул (б) і (в) випливає, що

В=qR/S (г)

На підставі співвідношень , враховуючи формули (а) і (г), знаходимо:

(д)

(е)

За формулами (а), (г), (д), (е) та умовами задачі отримаємо, величини, які необхідно визначити.

Відповідь: Н=1,53∙10³ А/м; В=1,2 Тл; J=0,953∙10⁶ А/м≈1∙10⁶ А/м; μ=6,2∙10².

6.10. По обмотці тороїда з ненамагніченим залізним осереддям пропустили струм силою І=0,6 А. Витки дроту діаметром d=0,4 мм з досить тонкою ізоляцією щільно прилягають один до одного. Визначити індуктивність тороїда за даних умов, а також енергію магнітного поля в осередді, якщо площа його перетину S=4 см², а діаметр середньої лінії D=30 см.

Розв’язування

Порівнявши величини S і D, бачимо, що довжина середньої лінії тороїда значно перевищує діаметр його витків. Тому даний тороїд можна розглядати як довгий соленоїд, зігнутий в кільце, і його індуктивність знайдемо за формулою індуктивності соленоїда

(а)

Оскільки то формулу (а) можна записати у вигляді

I=0,6 А d=4∙10-4 м S=4∙10-4 м2 D=0,3 м

L – ?; W – ?

(б)

Напруженість поля всередині тороїда, як показано в прикладі 6.9, дорівнює:

H=(N/l)∙I=nI=I/d=1,5∙10³ A/м. (в)

За графіком залежності індукції В від напруженості Н (див.[12] стор.262) для заліза знаходимо, що В=1,375 Тл. Враховуючи формули (б) і (в), знайдемо енергію магнітного поля в осередді

(г)

Такий самий результат можна отримати, застосувавши формулу для об’ємної густини енергії магнітного поля:

Перевірка розмірностей у Сі:

;

.

Підставивши у формули (в) і (г) числові значення всіх величин, виражених у одиницях Сі, отримаємо:

;

.

Відповідь: L=2,16 Гн; W=0,4 Дж.

6.11. Електрон влітає з швидкістю υ₀=1∙10⁷ м/с у плоский горизонтальний конденсатор паралельно до його пластин, довжина яких l=5 см. Напруженість електричного поля конденсатора Е=10 кВ/м. Вилетівши з конденсатора, електрон попадає в однорідне магнітне поле, напрямлене вподовж вектора (рис.6.9). Магнітна індукція поля В=15 мТл. Визначити кут α відхилення електрона при проходженні конденсатора і його траєкторію в магнітному полі.

Розв’язування

m=9,1∙10-31 кг e=1,6∙10-19 Кл υ0=1∙107м/с l=5∙10-2 м E=1∙104 В/м B=15∙10-3 Тл

α —?; R—?; h—?

На електрон, що рухається в полі конденсатора, діє сила , спрямована вподовж силових ліній. Вона надає електрону прискорення

(а)

спрямоване вертикально проти напрямку . Прискорення вільного падіння електрона

.

За даних умов задачі очевидно, що . Отже можна прийняти, що прискорення електрона в полі конденсатора визначається формулою (а). Тому, маючи початкову горизонтальну швидкість , електрон починає рухатися по параболі з вершиною в точці А (рис. 6.9). Вилетівши з поля конденсатора, електрон знову буде рухатися прямолінійно з швидкістю під кутом α до швидкості .

Рис.6.9 Із рисунка видно, що

, (б)

де — вертикальна складова швидкості , отримана електроном під дією сили . Оскільки по вертикалі електрон рухається без початкової швидкості, а по горизонталі — рівномірно з швидкістю , за формулами кінематики враховуючи (а), знаходимо:

(в)

За формулами (б), (в) отримуємо:

, . (г)

Коли електрон попадає в магнітне поле, на нього діє сила Лоренца, величина якої

Якби електрон мав лише швидкість υ ́, то під дією сили Лоренца він рухався б по колу, радіус якого

(д)

Оскільки електрон має ще і швидкість , перпендикулярну до площини цього кола, то він буде рухатися по гвинтовій лінії, радіус якої визначається за формулою (д). Крок гвинтової лінії є відстань, на яку зміститься електрон, рухаючись рівномірно з швидкістю , за час одного оберту радіуса R, тобто за період. Тоді

(е)

Розмірності величин α, R, h — очевидні.

Підставивши величини, що входять у формули (г), (д), (е), знаходимо відповідь на поставлені питання:

tgα =0,8; α=38,66^o; R=3,3∙10^-3м=3,3мм; h=2,4∙10^-2м=2,4см

6.12. Електрон рухається в однорідному магнітному полі з індукцією В=5∙10^-2 Тл по колу радіуса R=4∙10^-2 м. Визначити кінетичну енергію електрона.

Розв’язування

mo=9,1∙10-31кг е=1,6∙10-19 Кл R=4∙10-2 м В=5∙10-2 Тл С=3∙108 м/с

Wk —?

Щоб визначити кінетичну енергію електрона, необхідно знати його швидкість або імпульс.

За другим законом Ньютона та визначенням сили Лоренца отримуємо:

mυ ² / R=eυB,

звідки імпульс електрона

P=mυ=eBR. (a)

Щоб визначити кінетичну енергію електрона через імпульс, необхідно вияснити, є він за даних умов класичною, чи релятивістською частинкою.

По формулі (а) імпульс

Р=1,6∙10^-19 ∙5∙10^-2 ∙4∙10^-2 =3,2∙10^-22(кг∙м/с)

За релятивістською теорією

Р= m_oс=9,1∙10^-31∙3∙10⁸=2,73∙10^-22(кг∙м/с)

Звідси знаходимо, що нерівність Р<< m_oс, необхідна для того, щоб частинку можна було вважати класичною, не виконується і електрон є релятивістською частинкою. Тому його кінетичну енергію можна визначити на підставі спеціальної теорії відносності, скориставшись формулами:

Виключивши з цих рівнянь величину β, знайдемо:

(б)

Враховуючи задані величини та табличні значення m_o, с, е, на підставі співвідношення (б) отримуємо:

.

Енергію мікрочастинок прийнято виражати в електрон вольтах: 1еВ=1,6∙10^-19 Кл∙1 В=1,6∙10^-19 Дж

Відповідь: W_k=44,8∙10^-15 Дж=0,28 МеВ.

6.13. Коливальний контур складається з конденсатора ємністю С=5 мкФ і котушки індуктивністю L=0,2 Гн. Визначити максимальну силу струму І_о в контурі, якщо максимальна напруга на конденсаторі U_o=90 B. Опором контуру R знехтувати.

Розв’язування

С=5∙10-6 Ф L=0,2 Гн Uo=90 B R→0

Io —?

Розглянемо два способи розв’язування.

1. За умови, що R→0, тобто контур ідеальний, у ньому відбуватимуться вільні незатухаючі коливання з власною частотою Заряд на конденсаторі змінюватиметься за законом косинуса

(а)

Сила струму в контурі з часом описуватиметься рівнянням

.

Тут — амплітуда сили струму в контурі.

Амплітуда заряду на конденсаторі Отже,

(б)

2. Оскільки контур ідеальний, то за законом збереження і перетворення енергії максимальна енергія зарядженого конденсатора перетворюється на максимальну енергію струму:

звідки (в)

Виконавши обчислення на підставі формули (в) і умови задачі, отримуємо:

Відповідь: І₀=0,45 А.

6.14. Дві паралельні дротини, занурені у гліцерин, індуктивно з’єднані з генератором електромагнітних коливань частотою =420 МГц. Відстань між пучностями стоячих хвиль на дротинах дорівнює 7 см. Знайти діелектричну проникність ε гліцерину. Магнітну проникність μ прийняти рівною одиниці.

Розв’язування

Координати пучностей стоячої хвилі описуються формулою де n=1,2,3...

Отже, відстань між двома сусідніми пучностями , звідки .

=42∙107 Гц l=1∙10-2 м

ε —?

Довжина хвилі в гліцерині Оскільки μ=1, то На підставі останніх трьох співвідношень отримаємо:

(а)

З іншого боку довжина хвилі в вакуумі

де (б)

с— швидкість розповсюдження електромагнітної хвилі в вакуумі.

На підставі формул (а), (б) маємо:

(в)

Розмірність очевидна.

Скориставшись умовами задачі і прийнявши с=3∙10⁸ м/с, знаходимо, що

ε=9∙10¹⁶/(4∙49∙10^-4∙42∙42∙10¹⁴)=26.

Відповідь: ε=26.

6.15. Визначити енергію, яку переносить за час t=1 хв плоска електромагнітна хвиля, що розповсюджується в вакуумі, через площину S=10см² , розташовану перпендикулярно до напрямку розповсюдження хвилі. Амплітуда напруженості електричного поля хвилі Е₀=1 мВ/м. Період хвилі T<<t.

Розв’язування

t=60 c S=1∙10-3 м2 Ео=1∙10-3 В/м T<<t ε=1; μ=1

W —?

Енергія, що переноситься електромагнітною хвилею в одиницю часу через одиничну поверхню, перпендикулярну до напрямку розповсюдження хвилі, визначається вектором Умова—Пойнтінга, . Оскільки вектори і взаємно перпендикулярні, то модуль вектора визначається рівнянням:

. (а)

Отже, модуль вектора з часом змінюється, і тому формула (а) дає лише миттєве значення величини П. Згідно з визначенням вектора густини потоку енергії отримаємо:

Звідси енергія dW, що переноситься хвилею через площину S за час dt з урахуванням формули (а), дорівнює:

(б)

Згідно з теорією електромагнітних хвиль густини енергії електричного і магнітного полів у будь-яку мить часу однакові, тобто

. (в)

Оскільки ε=1, μ=1, то з формули (в) отримаємо:

.

Так зв’язані між собою і амплітудні значення Н_о і Е_о. Тоді формула (б) набирає вигляду:

.

Звідси повна енергія, що переноситься хвилею за час t,

(г)

У формулі (г) невідомою є циклічна частота ω. Скориставшись тим, що T<<t оцінимо величину дробі . Враховуючи, що , маємо

Внаслідок нерівності T<<t величиною у формулі (г) можна знехтувати. Тоді отримаємо:

Перевірка розмірностей у Сі:

.

Підставивши числові значення величин, виражених у одиницях Сі: ε_о=8,85∙10^-2 Ф/м, μ_о=4π∙10^-1 Гн/м і дані умови задачі, виконавши обчислення, знайдемо: W=8∙10^-11 Дж.

Відповідь: W=8∙10^-11 Дж.