Приклади розв'язування задач

Механіка

Задача 1.Лiтак летить горизонтально на висотi 1500 м зi швидкiстю 200 м/с. Iз гармати роблять пострiл по лiтаку у ту саму мить, коли він знаходиться над гарматою. Нехтуючи опором повiтря, знайти, пiд яким кутом до горизонту має бути зроблений пострiл, щоб влучити в лiтак. Початкова швидкiсть снаряду 100 м/с.

Розв'язок

h = 1500 м v0 = 100 м/с v = 200 м/c g = 9,8 м/с2	Вважатимемо, що гармата знаходиться на початку координат. Рух снаряду можна розкласти на горизонтальний - рiвнoмipний i вертикальний - рiвнозмiнний рух , якi описуються рiвняннями: (1)
a, t - ?

, (2)

а рух лiтака - вiдповiдно рiвняннями:

(З)

. (4)

У мить влучання снаряду в лiтак координати цих тiл спiвпадають:

i .

Прирiвнюючи частини, що праворуч рiвнянь (1) i (3), а також (2) i (4), одержимо

; (5)
. (6)
Із рiвняння (5) знаходимо:
, або .

Кут, пiд яким треба зробити пострiл, дорiвнює 77 °.

Для визначення часу польоту снаряда до влучання в цiль перепише-мо рiвняння (6)

.

Розв'язання цього (квадратного) рiвняння

.

Визначимо розмiрнiсть шуканого часу за знайденим спiввiдношенням:

.

Розмiрнiсть є вiдповідною . Знайдемо числове значення t:

Отже, маємо два значения: t₁ = 177 c i t₂ = 1,6 с.

Два значення t зумовлено можливiстю влучання в лiтак під час руху снаряду при підійманні (t₂) i при його опусканнi (t₁) пiсля проходження через найвищу точку траєкторiї.

Задача 2. Колесо радiусом 0,1 м обертається так, що залежнiсть кута повороту радiусу вiд часу описується рiвнянням j = А + В×t + С×t³ , де А = 4 рад; В = 1,4 рад/с i С = 5 рад/с². Знайти тангенцiальне, нормальне i повне прискорення точок на ободi колеса в момент t = 0,2 с.

Розв'язок

R = 0,1 м j = А+В×t+С×t3 А = 4 рад В = 1,4 рад/с С = 5 рад/с3 t = 0,2 с	Знайдемо залежнiсть вiд часу кутової швидкостi : . (1) Для кутового прискорення одержуємо (2) Згiдно з формулами (1) , (2) і умовою задачi шуканi розмiрностi дорівнюють:
ат , аn , а - ?

[ω] = рад/с + (рад×с²)/с³ = рад/с + рад/с = рад/с,

[ß] = (рад×с)/с³ = рад/с².

Числовi значення w i β, згiдно (1) i (2) , дорiвнюють

ω = 1,4 + 1,5 ^. 0,04 = 2,0 рад/с , β = 6,5^.0,2 = 6,0 рад/с².

Визначаємо тангенцiальне а_т , нормальне а_n i повне а прискорення:

а_n = ω^2.R = (2,0)^2. 0,1 = 0,4 м/с² ;

а_т = β^.R = 6,0 ^. 0,1 = 0,6 м/с;

.

Задача 3. До нитки причеплений вантаж масою 1 кг. Знайти натяг нитки, якщо iї пiдіймати з прискоренням 5 м/с² або опускати з тим же прискоренням.

Розв'язок

m = 1 кг g = 9,81 м/с2 а = 5 м/с2	1. На вантаж дiють сили: вниз - сила тяжiння m×g, вгору - сила натягу нитки F1. Рiвнодiюча цих сил, F1 – m×g, надає вантажу прискорення, яке спрямоване в бiк F1. Застосовуючи другий закон Ньютона, запишемо:
F1, F2 – ?

m×а = F₁ - m×g ,

звiдки знаходимо силу натягу нитки: F₁ = m ( g + a ).

Розмiрнiсть - [ F] = кг× ( м/с² + м/с² ) = H.

Чисельно - F₁ = 1×( 9,81+5 ) = 14,81 Н.

2.На вантаж, що опускається, дiє вниз сила тяжiння m×g i вгору -сила натягу нитки F₂. Тiло має прискорення, спрямоване в бiк m×g, тому за другим законом Ньютона рiвнодiюча двох протилежно спрямованих сил має дорiвнювати m×a:

m×a = m×g - F₂ ,

F₂ = m ( g – a ).

Розмiрнiсть - [ F₂ ] = кг× ( м/с² – м/с² ) = Н.

Чисельно - F₂ = 1×( 9,81 – 5 ) = 4,81 H.

Задача 4. Двi гирi 2 кг i 1 кг з'єднанi ниткою, перекинутою через невагомий блок. Знайти прискорення , з яким рухаються гирi , i натяг нитки. Тертям знехтувати.

Розв'язок

g = 9,81 м/с2 m1 = 1 кг m2 = 2 кг	Сила натягу нитки перешкоджує її розтягненню, тому на кожний вантаж сила натягу дiє вертикально вгору. Отже, на перше тiло дiють: сила натягу нитки F1
a, F – ?

– вгору i сила тяжiння m₁×g – вниз; на друге тiло дiють: сила натягу нитки F₂ – вгору i сила m₂×g – вниз.

Оскiльки блок “невагомий”, то - F₁ = F₂ = F.

Нехай тягар m₁ опускається з деяким прискоренням (а це, звичай-но, неприродно), тодi тягар m₂ пiдiймається з таким же прискоренням.

Згiдно з другим законом Ньютона

m₁× а = m₁× g – F₁ , m₂ ×a = F₂ –m₂×g ,

або, враховуючи F₁ = F₂ = F, перепишемо останню систему у виглядi

m₁× а = m₁× g – F , m₂× a = F – m₂×g .

Розв'язуючи систему рiвнянь, знаходимо:

a = ( m₁ – m₂ ) / ( m₁ + m₂ ) × g , F = ( 2×m₁× m₂ ) / ( m₁ + m₂ )^.g.

Аналiзуючи розв'язок, робимо висновок: оскільки m₁ < m_2, то

а < 0 i спрямоване протилежно g, тобто попереднє припущення про те, що тягар m₁ опускається з прискоренням, спрямованим вниз, неправильне i треба вважати, що m₁ пiдiймається вгору з прискоренням а.

Розмiрностi: [а] = ( кг/кг ) × м/с² = м/с² ; [F] = ( кг²/кг ) ×м/с² = Н.

Чисельно: а = –9,81/3 = – З,27 м/с², F = (4/3) ×9,81 = 13,08 Н.

Зауважимо, що на вiсь блока дiє сила , що дорiвнює сумi сил:

F₁ + F₂ = 2×F = 26,16 Н.

Задача 5. Який перерiз матиме стальний трос при п'ятиразовому запасi мiцностi, щоб ним можна було пiдiймати вантаж масою 10³кг з прискоренням 1,2 м/с², якщо межа мiцностi сталi 7×10⁸ Н/м² ?

Розв'язок

а = 1,2 м/с2 σm=7×108Н/м2 n = 5 g = 9,81м/с2	Згiдно з другим законом Ньютона, вантаж прискорюється рiзницею мiж силою натягу троса i силою тяжiння вантажу : m×a = F - m×g , де F - необхiдна сила натягу троса. З урахуванням
S-?

коефiцiєнту запасу мiцностi розрахункова сила натягу має бути в 5 разiв бiльшою: F`= 5×F.

Пружнє напруження у тросi σ =F`/S ,

Iз записаних спiввiдношень одержуємо

S = n× m× ( g – а ) / σ.

За останньою розрахунковою формулою розмiрнiсть шуканої площi S:

[S] = кг×м×м² / ( с² Н ) = Н× м² / Н = м².

Числове значення площi перерiзу троса

S = 5^.10³× ( 1,2 + 9,8 ) / ( 7 ^.10⁸ ) = 7,9 ^.10^-5 м².

Задача 6.З якою швидкістю рухався вагон масою 20 т, якщо при ударi об стiну кожен з буферiв стиснувся на 10 см? Вiдомо, що пружина кожного з буферiв стискується на 1 см пiд дiєю сили 9,8^.10³ Н.

Розв'язок

m = 20 т = 2×104 кг х = 10 см = 0,1 м х1 = 1 см = 0,01 м F1 = 9,8.103 Н	На підставі закону збереження енергiї можна дійти висновку, що кiнетична енергiя вагону перетворюється в потенцiальну енергiю двох стиснених пружин: Wk = 2×Wp . (1)
V – ?

Вiдомо, що W_k = m×v²/2 , W_p = k×x²/2 , де m i v – маса i швидкiстьвагона;k - жорсткiсть пружини буфера; х - величина стиснення пружини. Жорсткiсть пружини k можна визначити iз спiввiдношення F₁ = k × x₁,

де F₁ - сила, яка викликає пружну деформацiю х₁. Пiдставляючи в рівняння (1) значення W_k, W_p i k , маємо

m × v² /2 = ( F₁ / x₁ ) × x²,

звiдки одержуємо розрахункову формулу .

Розрахуємо розмiрнiсть [v] = м = м = м/с.
Числове значення - v = 0,1 = 0,99 м/с.

Задача 7. З якою швидкiстю падають на землю метеори з дуже вiд-далених областей Всесвiту, якщо їх початковi швидкостi вiдносно Землi дорiвнюють нулю. Опором повiтря знехтувати.

Розв'язок

r1 = ¥ g = 9,81 м/с2 r2 = R = 6,67.107 м	Виходячи з закону збереження енергii, можна дійти висновку, що енергiя метеору на безмежностi має дорівнювати його енергiї на поверхнi Землi, на безмежностi потенцiальна енергiя взаємодiї метеору з Землею
v – ?

W_p = – G × M_з ×m / r₁

дорiвнює нулю, кінетична енергія також дорівнює нулю, тому що швидкiсть його вiдносно 3емлi дорiвнює нулю. Отже, згідно з законом збереження енергії, на поверхнi 3емлi повна енергiя метеору також дорiвнює нулю - m × v² /2 – G × M_з × m / r₂ = 0 .

Таким чином, швидкiсть метеору біля поверхнi 3емлi

,

де R – радiус земної кулi; g = G×М_з/R² – прискорення вiльного падiння тiл бiля поверхнi Землi. Знайдемо розмiрнiсть швидкостi за розрахунковою формулою [v] = = м /с.

Числове значення v = = 11,4^. 10³ м /с.

Задача 8. Маховик у виглядi диска масою 50 кг i радiусом 20 см розкручено до 480 об/хв i залишено. Пiд впливом сил тертя маховик зупинився. Знайти момент сил тертя, вважаючи його сталим, якщо до повної зупинки маховик зробив 200 обертiв.

Розв'язок

m = 50 кг r = 20 см = 0,2 м υ = 480 об/хв = 8 об/c ω = 2×π×υ = 16×π N = 200	Робота подолання сил тертя виконується за рахунок кiнетичної енергiї маховика : А = (I × ω2 ) / 2 , (1) де ω – кутова швидкiсть маховика; I – момент iнерцiї маховика. Робота при
M – ?

обертальному русi (коли М = const)

А = М^. φ, (2)

де φ – кут повороту (у радiанах – φ = 2×π×N ); М – момент дiючих сил тертя. Пiдставляючи виписанi спiввiдношення в формулу (1), одержимо

(I × ω² ) / 2 = М^. 2×π×N. (3)

Пiдставимо в рівняння (3) момент iнерцiї диску вiдносно осi обертання I, тодi одержимо розрахункову формулу

М = m×r² ω² / ( 8×π×N ). (4)
Розрахуємо розмiрнiсть моменту сил за формулою (4) :

[ M ] = ( кг × м² × рад² ) / ( рад × с² ) = Н × м .

Зауважимо, що момент сили має розмiрнiсть Дж, але для того, щоб було очевидно, що йдеться про момент сили, а не енергетичну величину, пишуть Н × м.

Числове значення –

М = (50× 0,2^{2 .}4×^.π×^.480²) / ( 8×^.π ^.200^. 60 ^.60 ) = 1,00 Н×м.

Задача 9. Знайти рiвняння гармонiчного коливального руху , якщо максимальне прискорення точки дорiвнює 49,3 см/с², перiод коливань 2 с i змiщення точки з положення рiвноваги в початковий момент 2,5 см.

Розв'язок

аmax = 0,493 м / c2 Т = 2 с x0 = 2,5 .10-2 м	Рiвняння гармонічного коливання має вигляд х = А. cos ( 2..π. t / T + φ0 ), де х – змiщення точки з положення рiвноваги; А – амплiтуда; Т – перiод; t – час;
х = f(t) – ?

φ₀ – початкова фаза. коливання.

Прискорення точки –

а = d ( dx / dt ) / dt = – ( 4^.A^. π² ) / ( T² ) cos ( 2^. π^. t/ T + φ₀ ).

Максимальним значення прискорення буде тоді, коли значення косинуса дорiвнюватиме – 1 , тому

а_max = 4 ^. А^. π² / Т² ,

звiдки числове значення а_max = 0,05 м. Тодi рiвняння руху (1) матиме вигляд – х = 0,05 ^. соs ( ω^. t + φ₀ ), де – ω = 2^.π / Т = π ( рад/с ).

Початкове значення фази знайдемо за вiдомим значенням х для t = 0: х (0) = х₀.

Одержуємо соs(φ₀) = 0,5 , тобто φ₀ = π/3.

Остаточне рiвняння гармонiчного коливання буде мати вигляд

х =0,05 cos ( π^.t + π/3 ) (м).

Молекулярна фiзика i термодинамiка

Задача 1. По газопроводу тече вуглекислий газ під тиском 4,9×10⁵ Па i температурi 270 К. Яка швидкiсть течiї газу по трубi , якщо за 5 хв через поперечний перерiз площею 6 см² протiкає 2,5 кг СО₂?

Розв'язок

р = 4,9×105 Па Т = 290 К t = 300 с S = 6×10-4 м2 m = 2,5 кг μ(CO2) = 0,044 кг/моль R = 8,314 Дж/(моль×К)	Якщо газ тече зi швидкiстю v, то за час t через площу S протiкає об'єм газу V = v×S×t. (1) Якщо густина газу ρ, то маса газу, що протекла, m = ρ×V = ρ×v×S×t . (2) Густину газу знайдемо за рiвнянням Менделєєва-Клапейрона:
V - ?

Р×V = ( m / μ ) R×Т => ρ = m / V = ( Р×μ ) / ( R×T ) i пiдставимо iї в формулу (2):

m = P×μ / ( R×T ) ×v×S×t ,

звiдки v = ( m×R×T ) / ( P×μ× S×t ).

Знайдемо розмiрнiсть v за останньою формулою:

[v] = ( кг×Дж×К×моль ) / ( моль×К×Па×кг×м²×с ) =

Дж / ( Па× м²× с ) = м/с.

Числове значення –

v = ( 2,5×8,314×290 ) / ( 4,9×10⁵×0,044×6×10^-4×300 ) = 1,55 м /с.

Задача 2. Скiльки молекул кисню в посудинi об'ємом 100 см³, якщо при середнiй квадратичнiй швидкостi 400 м/с газ створює на стiнки тиск 9,81×10³ Па.

Розв'язок

NA= 6,02×1023 1/моль V = 10-4 м3 Р = 9,81×103 Па m = 0,032 кг/моль v = 400 м/с	Перетворимо рiвняння Менделєєва- Клапейрона до вигляду Р×V = γ×R×Т, (1) де γ - кiлькiсть молей газу, що міститься в об'ємi V. Унiверсальну газову сталу представимо у виглядi добутку сталої Больцмана k на число Авогадро NA – R = k×NA .
N - ?

Загальне число молекул в об'ємi V

N = γ×.N_А.

Тодi рівняння (1) приймає вигляд Р×V = N×k×Т, звiдки

N = ( Р×V ) / ( k×Т ). (2)
Знайдемо температуру газу за вiдомою середньою квадратичною швидкiстю молекул:

v² = ( 3×R×Т ) /μ => Т = ( μ×v² ) / ( 3×R )

i пiдставимо в формулу (2): N = ( 3×P×V×R ) / ( k×μ×v² ) ,

де зроблена зворотня замiна R / k = N_А.

Знайдемо розмiрнiсть N за розрахунковою формулою

[N] = ( Па× м³× моль×с⁴ ) / ( моль×кг×м² ) = ( Дж×с⁴ ) / ( кг×м² ) = [1]

– безрозмiрне.

Числове значення N -

N = (9,81×10³× 10^-4×6,02×10²³) / (0,032×16×10⁴) = 1,15×10²⁰.

Задача 3. Яка кiлькiсть теплоти втрачається щогодини за рахунок теплопровiдностi повiтря мiж рамами вiкна при площi 4 м², вiдстанi мiж рамами 30 см i нормальному атмосферному тиску? Температура повiтря в примiщеннi 291 К, зовнi - 253 К. При розрахунках вважати, що дiаметр молекул повiтря 0,3 нм.

Розв'язок

Dt = 3600 c S = 4 м2 x = 0,3 м T1 = 291 K T2 = 253 K d = 3×10-10 м p = 1,01×105 Па μ = 0,029 κг/моль i = 5 k = 1,38×10-23 Дж/К NA= 6,02×1023 1/моль R = 8,314 Дж/(моль.К)

Кiлькiсть тепла, перенесеного внаслiдок теплопровiдностi, визначається за законом Фур'є: DQ = -æ×( dT / dx )×S×Dt . (1) Коефiцiєнт теплопровiдностi газу æ = (1/3) l <v> c×ρ, (2) де l - середня довжина вiльного пробiгу молекул; l = . (3) Число молекул в одиницi об'єму визначається рiвнянням стану iдеального газу: p = n×k×T. (4) Величина <v> в формулі (2) - середня швидкiсть молекул газу: <v> = . (5)

DQ - ?

Питома теплоємнiсть газу с визначається числом ступенів вiльностей (i) руху молекул газу:

с = , (6)

де μ - молярна маса газу.

Густину повiтря визначимо за законом Менделєєва-Клапейрона:

ρ = ( p×μ ) / ( R×T ). (7)
Пiдставимо величини (2) - (7) в рівняння (1) i одержимо, що

DQ = . (8)

Для температури повiтря вiзьмемо значення

Т = ( Т₁ + Т₂ ) / 2 = 272 К.

Визначимо розмiрнiсть DQ за формулою (8):

[DQ] = ×(Дж/(К×м²))×(К/м)×м²×с = (м /с)× Дж×(с/м) = Дж.

Числове значення -

DQ= × =2,37^.10⁴Дж=23,7 кДж.

Задача 4. Яку кiлькiсть теплоти поглинає 2000 г водню, нагрiваючись вiд 273 К до 373 К при сталому тиску? Який прирiст внутрiшньої енергiї газу? Яку роботу здiйснює газ?

Розв'язок

m = 0,2 кг DT =100 K р = соnst μ = 0,002 кг / моль i = 5 R = 8,314 Дж / (моль×К)	Кiлькiсть теплоти , яка поглинається газом, визначається за формулою: Q = × Cp ×DT = × ×R×DT, (1) де m - молярна маса; i - число ступенів вiльностi; Ср - молярна теплоємнiсть газу при сталому тиску. Прирiст внутрiшньої
Q , DW , A - ?

енергiї визначається спiввідношенням

DW = × C_V × DT, (2)

де C_V - молярна теплоємнiсть газу при сталому об'ємi. Роботу, здiйснювану газом, визначимо, користуючись першим началом термодинамiки:

Q = DW + A, (3)

де А - робота газу.

Пiдставляючи значення величин в формули (1) – (3) , знаходимо:

[Q] = (кг.моль) / кг ×Дж / (моль×К) ×К = Дж;

[DW] = (кг×моль) / кг× Дж / (моль×К) ×К = Дж;

[А] = [ Q - DW ] = Дж.

Чисельно - Q = 0,2/0,002×7/2×8,314×100 = 290 кДж;

DW = 207 кДж; А = 83 кДж.

Задача 5. Газ, який займав об'єм 20 л пiд тиском 1,013×10⁶ Па, iзобарично нагрiто вiд 323 К до 473 К. Знайти роботу розширення газу .

Розв'язок

р = 1,013×10 6 Па Т1 = 323 К Т2 = 473 К V1 = 2×10-2 м3	Робота газу А в iзобаричному процесi виражається спiввiдношенням А= р×DV, (1) де р - тиск газу; DV- змiна об'єму газу. Запишемо рівняння Менделєєва-Клапейрона для двох станiв газу при Т1 i Т2 i при р=соnst :
А - ?

р×V₁ = × R×T₁ , (2)

p×V₂ = ×R×T_2. (3)

Роздiлимо рівняння (3) на рівняння (2): _,

вiднiмемо по одиницi лiворуч i праворуч:

та визначимо змiну об'єму DV=V₂-V₁:

DV = [ ( T₂ - T₁ ) / T₁ ] × V_1.

Пiсля пiдстановки DV у вираз (1) одержуємо

А = р DV = р V₁ ( T₂ - T₁ ) / T₁.

Знаходимо розмiрнiсть за останньою формулою:

[A] = Па×м³×К/К = Па×м³ = Н×м = Дж,

i числове значення -

А=1,013×10⁶×2×10^-2× 474 - 323)/323 = 9400 Дж.

Задача 6. Яка кiлькicть теплоти поглинається при iзотермiчному розширеннi 0,5 л повітря, якщо тиск зменшується від 58,86×10⁴ до 9,81×10⁴ Па?

Розв'язок

V = 5×10-4 м3 р1 = 58,86×104 Па р2 = 9,81×104 Па Т = const	В iзотермічному процесі все підведене тепло витрачається на виконання роботи Q = R T ln , (1) де m - маса газу; µ - молярна маса; Т - температура газу.
Q - ?

Оскільки в цьому процесі об'єм газу зростає (тиск падає), то робота додатня, i для пiдтримання сталої температури тепло Q має пiдводитися.

За законом Менделєєва-Клапейрона визначимо невідому величину температури:

R T = р₁ V_1.

Тоді Q = р₁ V₁ ln . (2)

Використовуючи формулу (2), знаходимо розмірність -

[Q] = Па м³ = Дж,

Числове значення - Q = 523 Дж.

Задача 7. До якого тиску має бути стиснута сумiш повiтря з парою бензину в цилiндрi двигуна, щоб сумiш спалахнула, якщо початковi тиск 1,013^.10⁵ Па i температура 273 К, а температура спалаху 833 К. Стиснення вважати адiабатним, газ - двохатомним.

Розв'язок

i = 5 p = 1,013.105 Па Т = 273 К Т = 833 К	Скористаємось рiвнянням адiабати у виглядi , (1) де g - показник адiабати, який дорiвнює
p - ?

вiдношенню теплоємностей газу при сталому тиску i при сталому об'ємi:

g = = , (2)

i - число ступенiв вiльностi молекули газу. Логарифмування формули (1) i пiдстановка значення g призводять до

ln (p) = ln (p₀) + . (3)

Пiдстановка числових значень в формулу (3) i наступне потенцiювання призводять до p = 4,50^.10⁶ (Па).

Задача 8. Теплова машина працює за циклом Карно. Температура нагрiвача 500 К. Визначити температуру холодильника i термiчний ККД циклу, якщо за рахунок кожного кiлоджоуля тепла, одержаного вiд нагрiвача, виконується робота 350 Дж.

Розв'язок

Т1 = 500 К A = 350 Дж Q = 1 кДж	Термiчний ККД визначає частку одержаної теплоти, яка йде на виконання роботи: h = A / Q, (1) де Q - теплота, одержана вiд нагрiвача.
Т2, h - ?

З другого боку, ККД циклу Карно виражається через температуру нагрiвача Т₁ i температуру холодильника Т₂:

h = . (2)

Порiвнюючи формулу (2) з формулою (1), одержуємо

Т₂ = Т₁ ( 1- A / Q ) .

Згiдно з рівнянням (1), термiчний ККД виявляється рiвним 0,35 i, згiдно з останнім спiввiдношенням, одержуємо Т₂ = 325 К.

Електрика i магнетизм

Задача 1. У скiльки разiв сила електричного вiдштовхування мiж двома протонами бiльша за силу гравiтацiйного притягання мiж ними?

Розв'язок

m = 1,672×10-27 кг е = 1,6×10-19 Кл G = 6,67×10-11 м 3 / (кг×с2) e0 = 8,85×10-12 Ф / м	Сила вiдштовхування мiж двома протонами у вакуумi може бути знайдена за законом Кулона: Fe = , (1)
Fe / Fg - ?

де е - заряд протона і r - вiдстань мiж протонами.

Сила притягання мiж протонами визначається за законом всесвiтнього тяжiння:

F_g = , (2)

де m - маса протона; G - гравiтацiйна стала. Подiливши вираз (1) на формулу (2), одержуємо розрахункову формулу

= .

Розмiрнiсть одержаного результату -

= = = [1].

Числове значення результату -

= = 1,25×10^-36 .

Задача 2. Знайти напруженiсть електричного поля в точцi, яка лежить посерединi мiж точковими зарядами 8×10^-9 Кл i - 6×10^–9 Кл. Вiдстань мiж зарядами 20 см.

Розв'язок

q1 = 8×10-9 Кл q2 = - 6×10-9 Кл d = 0,2 м e = 1 e0 = 8,85×10-12 Ф/м	Оскільки заряди мають протилежнi знаки, то напруженостi їх полiв в точцi, яка лежить мiж зарядами, спрямованi в бiк негативного заряду. Результуюча напруженiсть поля за модулем буде дорiвнювати сумi модулiв напруженостей цих полiв.
Е - ?

Модулi напруженості Е₁ i Е₂ визначаються за формулами

E₁ = , E₂ = ,

де r₁ = r₂ = d/2 - вiдстань вiд заряду до розглядуваної точки.

Сумарна напруженість поля в точцi:

Е = E₁ + E₂ = .

Розмiрнiсть - [Е] = = .

Числове значення - Е = = 5,04×10⁴ .

Задача 3. Безмежна вертикальна площина у вакуумi заряджена рiвномiрно з поверхневою густиною зарядiв 5×10^-4 Кл/м². До нитки причеплена заряджена кулька масою 1 г. Заряди площини i кульки однойменнi. Визначити заряд кульки, якщо нитка утворює з площиною кут 30⁰.

Розв'язок

m = 10-3 кг s = 5×10-4 Кл / м2 a = 300 e0 = 8,85×10-12 Ф/м g = 9,81 м/с2	На почеплену кульку дiє вага i сила електричного вiдштовхування Fе. Результуюча сила F зрiвноважується силою натягу нитки N. Як видно з рисунка Fе = m×g×tg×a. (1) Цю ж силу представимо через напруженiсть електричного поля i заряд кульки q:
q - ?

F_е = q×Е . (2)

Напруженiсть поля площини

Е = , (3)

де s - поверхнева густина зарядiв. Пiдставляючи вираз (3) в формулу (2), а потiм в рівняння (1), одержимо:

m×g×tg a = ; q = .

Розмiрнiсть q за останньою розрахунковою формулою:

[q] = = = Ф×В = Кл.

Числове значення -

q = = 1,093×10^-9 Кл.

Задача 4. Заряджена порошинка масою 10^{-10 г зважена в однорiдному електричному полi мiж двома рiзнойменно зарядженими пластинами, вiдстань мiж якими дорiвню}є 0,5см. При освiтленнi ультрафiолетовими променями порошинка втрачає заряд i виходить з рiвноваги. Який заряд втратила порошинка, якщо спочатку до пластин була прикладена рiзниця потенцiалiв 154 В, а потiм, щоб повернути в рiвновагу порошинку, додали ще 8 В?

Розв'язок

m = 10-13 кг d = 5×10-3 м U1 =154 В U = 8 В g = 9,81 м / с2	До опромiнення порошинка була в рiвновазi, тобто вага iї Р зрiвноважувалась електричною силою F. Вихiдне рiвняння: Р = F. Виражаючи вагу порошинки через iї масу m, а силу F - через напруженiсть електричного поля,
Dq - ?

одержимо

m×g = q×E. (1)

Виражаючи модуль напруженостi поля через рiзницю потенцiалiв Е₁ = U₁ / d , з рiвняння (1) одержуємо

q₁ = (m×g×d ) / U₁ . (2)

Так само можна визначити, що пiсля опромiнення порошинки заряд її дорівнюватиме

q₂ = ( m×g×d ) / U₂ . (3)

За умовою задачi U₂ = U₁ + DU , тому втрачений порошинкою заряд

Dq = q₁ - q₂ = m×g×d× (1 / U₁ - 1 / U₂)

або

Dq = = .

Розмiрнiсть - [Dq] = = = Кл.

Числове значення - Dq = = 1,57×10^-18 Кл.

Задача 5. Вилiтаюча при радiоактивному розпадi ядра атому радiю a-частинка зi швидкiстю 1,6×10⁷ м/с зустрiчає ядро натрiю. На яку найменшу вiдстань вона наблизиться до ядра натрiю?

Розв'язок

v = 1,6×107 м / с m = 4×1,67×10-27 кг q1= 11×e =1,76×10-18 К q2 = 2×e =3,2×10-19 Кл e0 = 8,85×10-12 Ф / м	Найменша вiдстань, на яку може пiдiйти частинка до ядра натрiю, визначається за умовою Wk = Wp , (1) коли кiнетична енергiя Wk - частинки Wk = ,
r - ?

перетвориться в потенцiальну енергiю iї вiдштовхування вiд позитивно зарядженого ядра Na:

W_p = ,

де q₁ i q₂ - заряди частинки i ядра Na; r - вiдстань, на якiй зупиниться частинка бiля ядра Na. Пiдставимо значення енергiй в рівняння (1) i розв’яжемо рiвняння вiдносно r :

r = .

Розмiрнiсть -

[ r ] = = = = м.

Числове значення -

r = = 6×10^{-15 м.}

Задача 6. В серединi плоского конденсатору з площею пластин 200 см² i вiдстанню мiж ними в 1мм, який заряджено до напруги 300 В, знаходиться скляна пластинка, цiлком заповнюючи простiр мiж пластинами конденсатора. Знайти змiну енергiї конденсатора пiсля вилучення склянної пластинки за таких умов: а) на електродах пiдтримується стала напруга за допомогою джерела струму б) до вилучення скляної пластинки конденсатор вiдiмкнено вiд джерела напруги.

Розв'язок

S = 2×10-2 м2 d = 10-3 м U = 300 В e = 7 e = 1 e0 = 8,85×10-12 Ф / м	а) Енергiя зарядженого конденсатора зi скляною пластинкою: W1 = , або пiсля пiдстановки С1 = ; W1 = .
DW - ?

Якщо на обкладках пiдтримується стала напруга, то пiсля вилучення скла енергiя буде дорiвнювати

W₂ = .

Змiна енергiї у випадку "а":

DW = W₁ -W₂ = .

Розмiрнiсть - [DW] = = Ф×В² = Кл×В = Дж.

Числове значення -

DW = = - 4,78×10^-5 Дж.

б) Якщо конденсатор вiдiмкнуто вiд джерела струму до вилучення склянної пластини, то рiзниця потенцiалiв мiж обкладками пiсля вилучення дiелектрика змiниться, проте збережеться заряд на обкладках (оскільки йому нiкуди подiтися). Енергiю конденсатора в цьому випадку доцiльно подать спiввiдношенням

W₁ = ; W₂ = .

Тоді DW = W₁ -W₂ = ,

або, оскільки q = C₁ U, то

DW = = .

Числове значення -

DW = = 3,35×10^-4 Дж.

У випадку "а" енергiя конденсатора зменшилась, а у випадку "б" - збiльшилась.

Задача 7. Визначити ККД акумулятора, ЕРС у якого дорiвнює 2,15 В, якщо вiн подає у зовнiшнє коло струм силою 5 A. Внутрiшнiй опiр акумулятора 0,18 Ом.

Розв'язок

Е = 2,15 В I = 5 A r = 0,18 Ом	ККД джерела струму дорiвнює вiдношенню енергii, що витрачає джерело струму у зовнiшньому колi, до всiєї витраченої енергiї: h = , (1)
h - ?

Визначимо зовнiшнiй опiр кола за допомогою закону Ома для контура:

I = Þ R = .

Пiдставляючи значення R в рівняння (1), одержуємо

h = = .

Числове значення ККД дорiвнює

h = 1- 0,90 / 2,15 = 0,58.

Задача 8. На кiнцях залiзного проводу довжиною 1,5 м i радiусом перерiзу 0,3 мм пiдтримується напруга 1,0 В. Визначити: 1) потужнiсть, яка споживається у проводi; 2) кiлькiсть тепла, яке видiляється у проводi за 1 год; 3) густину струму; 4) число електронiв, що проходить через поперечний перерiз проводу за 1 с.

Розв'язок

I = 1,5 м U= 1,0 В е = 1,6×10-19 Кл r = 8,7×10-8 Ом×м r = 3×10-4 м t1 = 3600 c t2 = 1 c	1. Потужнiсть, яка споживається у провiднику, визначається силою струму i напругою: P = I×U. (1) Силу струму знайдемо за законом Ома для дiлянки кола: I = U / R. (2) Опiр провiдника за його геометричними розмірами визначається так:
P, Q, j, N - ?

R = = , (3)

де r - питомий опiр матерiалу провiдника; l - довжина провiдника; S - площа поперечного перерізу провідника. Пiдставляючи формулу (3) в формулу (2), маємо

I = . (4)

Числове значення сили струму

I = = 1,44 A.

Згiдно з формулою (1), потужнiсть дорiвнює

P = I×U = 1,44 A×1,0 В = 1,44 Вт.

2. Кiлькiсть теплоти, що видiляється в провiднику за 1 годину, визначимо за формулою

Q = I×U×t = 1,44 A×1,0 В×3600 c = 5,18×10³ Дж.

3. Густину струму визначимо за спiввiдношенням

j = I / S = I / ( p×r² ) = 1,44 A / ( p×9×10^{-8 м2} ) = 5,09×10⁶ A / м² = 5,1 A/мм².

4. Число електронiв N, що проходять через поперечний перерiз провiдника за 1 с, знайдемо за спiввiдношенням

N = = ,

де q - заряд, що пройшов через поперечний перерiз провiдника за час t₂; e - заряд електрона.

Числове значення - N = = 9×10¹⁸.

Задача 9.Вiд джерела, рiзниця потенцiалiв на клемах якого 10⁵ В, треба передати потужнiсть 50 кВт на вiдстань 5 км. Допускаються втрати напруги в проводах 1%. Розрахувати найменший перерiз мiдного проводу, придатного для цiєї мети.

Розв'язок

U = 105 В P = 5×104 Вт n = 0,01 = 5×103 м r = 1,7×10-8 Ом×м	Падiння напруги в проводах U = I×R, (1) пропорцiональне опору проводiв: R = , (2) де r - питомий опiр провода; 2× -довжина
S - ?

проводiв (два проводи!); S - перерiз провода.

Струм I можна знайти за потужнiстю i напругою на клемах джерела струму:

I = . (3)

Враховуючи, що падiння напруги в проводах має становити не бiльше нiж частку n вiд прикладеної напруги

U₁ = n×U , (4)

прирiвняємо вирази (1) i (4) i пiдставимо значення I i R iз формул (2) i (3):

= n×U або S = .

Розмiрнiсть - [S] = = м²

Числове значення -

S = = 8,510^-8 м².

Задача 10. До двох батарей, з'єднаних паралельно, пiдiмкнули електричну лампу. Який опiр має бути у лампи, аби вона споживала максимальну потужнiсть? Визначити максимальну потужнiсть при ЕРС батарей 12 В i 10 В i однакових внутрiшнiх опорах батарей по 1 Ом.

Розв'язок

Е1 = 12 В Е2 = 10 В r1 = r2 = 1Ом	Для розв'язку задачi застосуємо закони Кiрхгофа для розгалужених кiл. Для цього позначимо на схемi напрямки струмiв i виберемо напрямок обходу контурiв На схемi маємо два вузли - F i C. За першим законом Кiрхгофа можна скласти тiльки одне рiвняння. Сума струмів, що знаходяться,
R, P - ?

наприклад, у вузлі С:

I₁ + I₂ – I = 0 (1)

Застосуємо другий закон Кiрхгофа, запишемо для контура ABDE (обхід за годинниковою стрілкою!) :

I₁ × r₁+ I× R = Е₁ (2)

Для контура FCDE;

I₂ × r₂+ I× R = Е_{2 .} (3)

Рiвняння (1) - (3) утворюють систему, за допомогою якої можна визначити три елементи електричного кола. Визначаючи I₁ та I₂ iз виразів (2) та (3) i пiдставляючи їх значення в формулу (1), знаходимо значення струму в лампi, виражене через iї опiр:

I = . (4)

Потужнiсть, що споживається електролампою, подамо так:

P = I²×R = (Е₁ + Е₂ )² = 0 . (5)

Для визначення опору R = R₀ , за яким лампа споживає максимальну потужність, продиференцiюємо рівняння (5) за R i прирiвняємо похiдну до нуля:

(Е₁ + Е₂ )² = 0,

звiдки одержуємо R₀ = r/2. Оскiльки величина Р позитивна, то це значення R вiдповiдає максимуму, в чому легко впевнитися, застосувавши метод змiни знаку першої похiдної при переходi через значення R. З урахуванням того, що R₀ = r/2, за формулою (5) обчислюємо максимальну потужнiсть лампи:

P_мах = (Е₁ + Е₂ )² = = 60,5 Вт.

Задача 11.По двох довгих прямолiнiйних проводах, якi розмiщенi на вiдстанi 5 см один вiд одного, течуть струми по 10 А. Визначити напруженiсть магнiтного поля, що створюється в точцi, яка лежить посерединi мiж проводами у випадках, коли струми течуть: 1) в одному напрямку; 2) в протилежних напрямках.

Розв'язок

I1 = I2 = 10 A R = R / 2 = 2,5×10-2 м	Результуюча напруженiсть магнiтного поля дорiвнює векторнiй сумi полiв, створюваних струмами I1 i I2. Напрямок полiв струмiв у точцi мiж проводами знаходимо за
Н - ?

правилом буравчика, абсолютну величину - за формулою

H = , (1)

де r - вiдстань вiд прямолiнiйного довгого провiдника.

В данiй задачi абсолютнi значення напруженостей вiд обох провiдникiв однаковi:

H₁ = H₂ = = = 63,6 А/м.

У випадку однаково спрямованих струмiв у точцi мiж проводами вектори Н₁ i Н₂протилежнi. Результуюча напруженiсть дорiвнює за модулем рiзницi модулiв Н₁ i Н₂:

Н = Н₁ - Н₂ = 0.

У випадку, коли струми течуть у протилежних напрямках, модуль результуючої напруженостi дорiвнює сумi модулiв:

Н = Н₁ + Н₂ = 127,3 А/м.

Якщо змiнити напрямок Н₂ на протилежний, то Н спрямований вниз.

Задача 12. Знайти кiнетичну енергiю протона, який рухається по дузi кола радiусом 60 см в магнiтному полi, iндукцiя якого дорiвнює 1 Тл i перпендикулярна до напрямку швидкостi протона.

Розв'язок

r = 0,6 м B = 1 Тл е = 1,6×10-19 Кл a = 900 m = 1,672×10-27 кг	Кiнетична енергiя визначається за формулою Wk = . (1) При русi в магнiтному полi на заряджену частку з боку магнiтного поля перпендикулярно до швидкостi дiє сила Лоренца, яка вiдiграє роль
Wk - ?

доцентрової сили: = . (2)

Iз рівняння (2) визначаємо швидкiсть частинки:

= .

Пiдставивши v в формулу (1), одержимо

W_k = .

Розмiрнiсть -

[ W_k ] = = = = Дж.

Числове значення -

W_k = = 27,68×10^-13 Дж.

Задача 13. Дротяна рамка розмiщена перпендикулярно до магнiтного поля, iндукцiя якого змiнюється за законом В = В₀ × [ 1-exp(-k×t) ], де В₀ = 0,5 Тл; k = 0,1 с^-1 . Визначити величину ЕРС, яка iндукується в контурi в момент t = 2,3 с. Площа рамки S = 0,04 м².

Розв'язок

В0 = 0,5 Тл k = 0,1 с -1 S = 0,04 м2 t = 2,3 с	Величина ЕРС, що iндукується в контурi, визначається за законом Фарадея: Е = - , (1) де Ф – магнітний потік через контур.
Е - ?

В даному випадку

Ф =В×S = В₀ ×S × [1-exp(-k×t) ] . (2)

Підставляючи формулу (2) в формулу (1) , одержуємо

Е = - k×В₀×S×exp(-k×t).

Розмірність Е не залежить від показника експоненти, оскільки він безрозмірний. Розрахуємо розмірність Е:

[Е] = = = B.

Числове значення -

Е = 0,5 ×0,04 × exp(-0,1×2,3 ) = 2,06×10^-3 B.

Задача 14. У коливальному контурі з індуктивністю 0,01 Гн відбуваються затухаючі коливання, причому заряд конденсатора зменшується у 10 разів за час одного періоду 10^-5 с. Визначити опір контура.

Розв'язок

L = 0,01 Гн q0/q = 10 T = 10-5 с	При затухаючих коливаннях заряд на обкладках конденсатора змінюється за законом q = q0 × e -R×t/2×L × cos (w×t). (1) При t = 0 заряд на конденсаторі дорівнює q0, а через період -
R - ?

q = q₀ × e ^-R×T/2×L × cos (2×p) = q₀ × e ^-R×T/2×L . (2)

Звідси одержуємо R = × .

Розмірність - [R] = = = Ом.

Числове значення - R = = 4605 Ом.

Задача 15. Одношарова обмотка котушки довжиною 50 см і діаметром 5 см складається з 500 витків проводу перерізом 1 мм². При якій частоті змінного струму її імпеданс вдвічі більший від опору ?

Розв'язок

l = 0,5 м S1 = 10-6 м2 N = 500 d = 0,05 м r = 1,7 10-8 Ом×м m0 = 4×p×10-7 Гн/м	За умовою задачі імпеданс вдвічі більший опору: Z = 2R. (1) Імпеданс котушки - Z = . (2) З рівнянь (2) і (1) одержуємо значення w
n - ?

циклічної частоти: w = .

Визначимо R і L через параметри котушки:

R = , L = ,

де ( N×p×d ) - довжина провода. Підставляючи R і L у вираз для w, одержуємо n = = .

Розмірність - [n] = = = = = Гц.

Числове значення - n = = 300 Гц.

Оптика, фізика атома, ядра, твердого тіла

Задача 1. Від двох когерентних джерел (l = 0,8 мкм) промені попадають на екран, на якому спостерігають інтерференційну картину. Коли на шляху одного з променів, перпендикулярно йому, розташували мильну плівку ( n = 1,33 ), інтерференційна картина змінилася на протилежну. При якій найменшій товщині плівки це можливо?

Розв'язок

l = 0,8 мкм n = 1,33	Зміна інтерференційної картини на протилежну означає, що на тих місцях екрану, де спостерігалися максимуми освітленості, почали спостерігати мінімуми і навпаки. Таке можливо при зміні оптичної
d мін - ?

різниці ходу променів на непарне число напівдовжин хвилі.

У разі мінімальної товщини плівки це .

Якщо товщина плівки d_мін , то

d _мін ×( n – 1 ) = ,

звідки d _мін = = = 1,21 мкм.

Задача 2. Визначити концентрацію цукрового розчину, якщо при проходженні світла через трубку з цим розчином довжиною 20 см площина поляризації світла повертається на кут 10°. Питоме повертання цукру у розчині 0,6 град/(дм×%).

Розв'язок