Работа консервативных сил на пути равна убыли потенциальной энергии точки в данном поле

Заметим, что точке 0 можно задать любое наперед выбранное значение потенциальной энергии, так как путем измерения работы можно определить только разность потенциальных энергий в двух точках, но не абсолютное значение. Однако, как только зафиксировано, назначено значение потенциальной энергии в одной из точек поля - сразу же задаются значения потенциальной энергии во всех других точках.

Примеры

РИС. 2-15

Пример 1 Сила тяжести

( - орт оси , направлен вертикально вверх).

.

Потенциальная энергия для однородной силы тяжести .

Пример 2 Кулоновская или гравитационная сила

( - гравитационная, - кулоновская).

Потенциальная энергия .

Пример 3 Упругая сила . Потенциальная энергия .

Определение поля сил по заданной потенциальной энергии

Работа силы равна убыли потенциальной энергии:

- для элементарной работы.

Скалярное произведение можно записать в другом виде:

.

Пусть перемещение происходит по какому-нибудь выделенному направлению, например по оси . Тогда

.

Проекция силы на ось : .

Аналогично: ; .

Умножая на единичные орты и складывая, получаем:

,

где - вектор-оператор «набла».

- вектор, можно рассматривать как символическое умножение вектора-оператора на скаляр .

Введем понятие о градиенте скалярной функции

Градиент скалярной функции есть вектор , направленный по нормали к поверхности в сторону возрастания функции .

РИС. 2-16

Итак, если задана потенциальная энергия как функция положения точки , силовое поле определяется соотношением

.

Сила поля равна со знаком минус градиенту потенциальной энергии в данной точке поля.

Представим себе, что мы имеем систему материальных точек. Пусть в этой системе действуют только консервативные силы. Тогда для каждой из материальных точек справедливо:

; ; , где - координаты - ой материальной точки.

Назовем: - обобщенная координата - ой материальной точки.

Тогда .

В состоянии равновесия все силы в системе должны обращаться в нуль, так как наличие силы означает ускорение какой-либо материальной точки, т.е. отсутствие равновесия. Следовательно, в состоянии равновесия все .

Однако это – условие экстремума потенциальной энергии: система будет находиться в равновесии, если ее потенциальная энергия минимальна (устойчивое равновесие) или максимальна (неустойчивое равновесие).

Если в системе не действуют диссипативные силы, то она находится в равновесии при условии, что ее потенциальная энергия экстремальна.

- полная энергия в изолированной системе постоянна.

Работа Þ приращение кинетической энергии и убыль потенциальной.

2 Лекция 2