Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке

Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru и имеет на данном отрезке конечное число критических точек (точек, в которых производная обращается в нуль или не существует). Тогда функция на отрезке Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru достигает своего наибольшего (соответственно, наименьшего) значения либо на одном из концов этого отрезка, либо в критической внутренней точке этого отрезка. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru , следует первоначально убедиться, что функция на отрезке непрерывна, а затем:

1) найти значения функции на концах отрезка, т. е. вычислить Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru ;

2) с помощью производной Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru найти критические точки, принадлежащие интервалу Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru и вычислить в них значение функции;

3) из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru на отрезке Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru .

Решение. Найдем значение функции на концах отрезка:

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Функция определена и непрерывна на отрезке Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru . Найдем критические точки:

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru ; Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Отрезку принадлежит только значение х = 0. Вычислим значение функции в этой точке: Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Ответ: выбор из полученных значений Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru показывает, что наибольшим значением функции на отрезке является, Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru а наименьшим Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru .

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru на отрезке Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Решение. Вычислим значения функции на концах отрезка: Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Определим критические точки:

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Решим полученное тригонометрическое уравнение:

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru или Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

В интервал Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru попадает лишь значение Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru .

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

В интервал Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru попадают значения Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru .

Найдем значения функции в критических точках:

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Ответ: среди полученных значений Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru наибольшим является Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru , а наименьшим будет Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Замечание. При решении примера 2 были использованы формулы: Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru ;

Пример 3. Найти значения, которые может принимать сумма квадратов действительных корней уравнения:

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Решение. Квадратное уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант больше нуля либо равен нулю.

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Решим неравенство Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Корнями уравнения Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru или Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru являются числа Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru и Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru . Неравенство Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru выполняется на отрезке

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru .

Для нахождения суммы квадратов корней уравнения Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru воспользуемся теоремой Виета, согласно которой Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Возведя в квадрат обе части первого уравнения системы, получим Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

С учетом второго уравнения имеем,

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Установим, в каких пределах заключено выражение Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru , т. е. найдем наибольшее и наименьшее значения функции Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru на отрезке Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Определим критические точки:

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru при Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Вычислим значения этой функции на границах отрезка и в критической точке: Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru +30=

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Таким образом, сумма квадратов действительных корней уравнения Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru =0 может принимать значения, заключенные в интервале Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Ответ: Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru .

Замечание. В данном примере можно было заметить, что Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru представлено в виде Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Тогда очевидно, что наименьшим будет значение в точке Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru а наибольшим (в силу симметрии функции относительно Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru – значение в точке Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru .

При решении текстовых задач на экстремум необходимо «перевести» задачу на язык функций. При этом выбрать неизвестный параметр х и выразить интересующую нас величину как функцию Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru После чего найти наибольшее и наименьшее значения этой функции в области ее определения или на указанном отрезке. Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Пример 4. Стороны прямоугольника равны 5 и 10. Через произвольную точку на его меньшей стороне провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 12. Найти наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника.

B M   A  
С     D
Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Рис. 6.1. Графическое представление задачи.

Решение. Пусть MN прямая, отсекающая прямоугольный треугольник.

Обозначим AM = x и AN = y (рис. 6.1). Нам необходимо найти наименьшее значение площади S фигуры MBCDN:

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

По условию задачи периметр треугольника AMN равен 12, т. е. Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Выразим из данного уравнения y, отделив корень и возведя обе части уравнения в квадрат:

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Запишем формулу площади искомой фигуры как функцию от х:

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

где Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Вычислим производную данной функции:

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Производная равна нулю, если Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru Это уравнение имеет два действительных корня:

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru и Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru , причем Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru не принадлежит заданному интервалу. Получили одну точку Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru , в которой функция имеет минимум, так как при переходе через нее производная меняет знак с минуса на плюс. Других точек экстремума нет, значит, в точке Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru функция принимает наименьшее значение. Найдем это значение:

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Ответ: Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru

Замечание. Поскольку наименьшее значение площади фигуры MBCDN соответствует наибольшему значению площади треугольника AMN, то задачу можно было решать относительно максимума функции Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru на отрезке Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru при Теоретические сведения и примеры. Пусть функция f (х)определена и непрерывна на отрезке и имеет на данном отрезке - student2.ru .

Наши рекомендации