Примеры решения изгиба таких плит обратным методом

ВЗАИМОСВЯЗЬ НАУК

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

БИОЛОГИЯ …

ФИЗИКА

… ХИМИЯ

МЕХАНИКА

МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ и ГАЗА

НЕ ДЕФОРМИРУЕМЫЕ ТЕЛА

ДЕФОРМИРУЕМЫЕ ТЕЛА

МАТЕРИАЛО- ВЕДЕНИЕ

ОСНОВАНИЯ и ФУНДАМЕНТЫ МЕХАНИКА ГРУНТОВ

П Р О С Т Р А Н С Т В Е Н Н О Е Ф О Р М О О Б Р А З О В А Н И Е

И Н Ж Е Н Е Р Н Ы Е Н А У К И

АНАЛИТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

ЧИСЛЕННОЕ

ФИЗИЧЕСКОЕ

– (ЭКСПЕРИМЕНТ)

Характерные отличительные задачи

Сопротивление материалов	Теория упругости
Гипотезы плоских сечений ℓ	σ Высокая балка
Плоское несвязанное деформирование отдельных сдельных балок, т.е. другие балки не деформируются и не оказывают поддержки нагруженной балке	Пространственное деформирование плиты. Изгибается вся плита, где бы нагрузка не находилась, т.е. работает весь материал

Контрольные вопросы:

1. Цель и задача ТУиП?

2. Какие тела изучает сопр. материалов, а какие ТУиП?

3. В чем принципиальное отличие теор. механики от сопротивления материалов?

4. Применимы ли гипотезы сопр. материалов (в частности, гипотезы плоских сечений) для тел любой формы?

5. Брус, балка – это трехмерные тела. На основе чего задача их деформирования сведена в сопр. материалов к одномерной задаче? (y=f₁(x), s=f₂(x), τ _vy= f₃(x) и т.д.) Можно ли подобное сделать в ТУиП?

6. Какова взаимосвязь между ТУиП и конструкциями? Почему строит. мех. и ТУиП называют фундаментальными науками?

7. Создает ли пространственное деформирование принципиальные возможности для более выгодного использования материала конструкции по сравнению с плоским или линейным (одномерным) деформированием?

Задачи Т.У.: определение НДС тел любой формы при любых нагрузках

Контрольные вопросы:

1. В ТУиП (СМ и СМС) не рассматривается атомно-молекулярное строение тел, а принята гипотеза сплошности, следствием которой является неразрывность деформирования (т.е. после деформирования тело должно оставаться сплошным). Если после анализа результатов расчета обнаружится, что где-то нарушена неразрывность деформаций (например, два смежных сечения разошлись или повернулись на разные углы), то какой вывод Вы сделаете?

2. Представьте, что при проведенном Вами эксперименте нагружения тела обнаружится нарушение линейной зависимости между ростом нагрузки и перемещениями (деформациями), то какой вывод Вы сделаете?

3. Если при нагружении конструкции ее первоначальные размеры существенно меняются (например, размер шарика при надувании существенно увеличивается), то можно ли для определения НДС применять линейную теорию?

4. Покажите справедливость принципа Сен-Венана к задачам (1) и (2), используя нагружение (3). (Балка одна и таже)

Р

Р

Р

2)

3)

1)

Р

Р - «изо» - равный - «тропус» - направление - «а» - отрицание - «орта» взаимно перпендикулярный

Р

Р

Р

Применимы ли эти рассуждения, т.е. справедлив ли принцип Сан-Венана, если поперечное сечение балки в виде тонкостенного профиля?

- «изо» - равный - «тропус» - направление - «а» - отрицание - «орта» взаимно перпендикулярный

Основные гипотезы теории упругости

Сплошность

· упругость

- идеальная - изотропная - анизотропная - ортотропия

перемещения БОЛЬШИЕ

по сравнению с габаритами (пролетом) бакли

линейная теория

нелинейная теория

; принцип Сен-Венана

h

Р

А

В

1)

2)

h

А

В

h

Р

А

В

3)

h

Р

А

В

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ

СТАТИЧЕСКАЯ (динамическая)

ФИЗИЧЕСКАЯ

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ

ТРИ СТОРОНЫ ЗАДАЧИ ТУиП полностью системно охватывают проблему ТУиП Правило: Если при решении задач ТУиП хотя бы одна из сторон полностью или частично не учтена, то это признак неполного или неверного решения

Р О З У     разделяем отбрасываем заменяем уравновешиваем

Как проникнуть внутрь сплошного тела любой формы? Используют известный из сопротивления материалов метод сечений или как его называли

В ТУиП метод сечений относят к бесконечно малым б.м. дифференциальным элементам с размерами d_x, d_y; для плоской задачи. Фиксируют элемент вокруг его центра (например, точки А) координатами х и у. Поэтому составленные в итоге уравнения равновесия этого б.м. элемента являются дифференциальными уравнениями элементами, в которых напряжения (σ и τ) зависят от координат х и у.

Так же перемещения и деформации являются функциями координат х и у

Термины и обозначения

· Положение выделяемой б.м. площади фиксируется внешней нормалью к ней.

ν – внешняя нормаль к наклонной площадке на контуре фиксируется направляющими cos(х,ν), cos(у,ν), cos(z,ν).

Например:

При cos(х,ν)=1, а cos(у,ν)=cos(z,ν)=0 ν →Х, т.е. эта площадка параллельна плоскоти ZY.

· Полный вектор напряжения на площадке раскладывается на три компонента: нормальное σ и два касательных, например, на площадке с нормалью Х: σ_х, τ_ху и τ_хz. Первый индекс обозначает нормаль к площадке, т.е. саму площадку, а вторые индексы при τ – указывают ось координат в направлении вдоль которой действует τ.

Привыкнем к обозначениям: σ_х – это нормальное напряжение на площадке с нормалью х.

τ_ху – касательное напряжение на площадке с нормалью х в направлении оси у и т.д.

Рабочее определение напряжения:

Напряжение – это сила, действующая на элементарной площадке, отнесения к единице площади. Размерность: . Нельзя говорить о напряжении, без указания площади на которой оно действует (т.е. без адреса).

τyx

dY

X

dX

Y

А

Тензор напряжений

Решить задачу ТУиП значит найти тензоры напряжения, деформаций и перемещений.

u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z) - компоненты (составляющие) полного вектора перемещения АА’

Тензор перемещений

X u y v z w

y

x

z

o

A

A’ “

u

v

w

Полный вектор деформаций раскладывается на компоненты продольных и сдвиговых деформаций

деформация сдвига

продольная деформация

Тензор деформаций

Z

Y

τyx

σy

τyz

τzx

τzy

σz

τxy

σx

τxz

x

σ

σ

τxy

τyx

τxy

x

y

Метод сечений (дифференциальный)

А(x,y,z) ; σ(x,y,z) ; τ(x,y,z)   σ(x,y) ; τ(x,y)   τ(x,y)

Общая задача теории упругости

Статическая сторона задачи сводится к рассмотрению равновесия элемента, грани которого параллельны осям координат и элемента на контуре, грани которого наклонены к осям координат.

Все напряжения являются функциями координат точек тела. Уравнения в области получаются дифференциальными. Количество искомых в них напряжений (σ и τ) больше, чем число уравнений, поэтому задача является статически неопределимой и не может быть решена без привлечения двух других сторон (геометрической и физической).

τ_νу= τ_ух – взаимность касательных напряжений

Нагрузки: , – компоненты объемных сил (например, силы притяжения)

имеют размерность отношений нагрузки (ста) к единице объема

элемента

Х_ν, У_ν – компоненты нагрузки, приложенной к элементу поверхности с внешней нормалью ν.

Размерность: сила (нагрузка), на единицу поверхности

Заметим, что поверхностная нагрузка Х_ν, У_ν входит только в уравнения равновесия на поверхности, которые связывают нагрузку на поверхности с напряжениями на площадках параллельных осям координат. Без этих уравнений невозможно ввести заданную поверхностную нагрузку в решение задачи. Эти же уравнения можно приспособить для определения главных напряжений и главных площадей внутри тела.

На площадках, на которых касательные напряжения равны нулю, нормальные напряжения достигают экстремума (и называются главными напряжениями). Армирование в железобетоне стремятся делать по траекториям главных растягивающих напряжений.

; .

главные напряжения

x

y

dx

x

y

;

y

x

dx

=0; =0; = ;

x

y

x

y

y

x

dx

dy

Равновесие элемента с гранями параллельными координатным осям:

Равновесие элемента с гранями наклонными к осям координат или уравнения равновесия на поверхности тела.

статическая сторона задачи дифференциальные уравнения равновесия Навье

dx

x

y

y

x

При выводе уравнений равновесия использовались следующие гипотезы:

· распределение напряжений в пределах каждой б.м. площадки принималось равномерным, а равнодействующее усилие на этой площадке вычислялось умножением напряжения на площадь этой площадки

· изменение напряжений при приращении координат (т.е. на ближайшей площадке) определялось как для плавной непрерывной функции (без сжатия и изломов), что соответствует гипотезе непрерывности деформирования. Для этого использовалось разложение функции в ряд Тейлора с удержанием первого члена разложения (см. геометрическое представление на графике)

Заметим, что аналогичный принцип разложения будет применяться и в геометрической стороне задачи.

На основе гипотезы сплошности и разложения функции в ряд Тейлора

функция получает приращение по изменяемой координате, например

σx

σx

x

dx

x

Геометрическая сторона задачи выявляет связь между перемещениями и деформациями тела

Плоская задача: точка А(х,у) получила перемещения «u» вдоль оси х и «V» вдоль оси у. Перемещения точек В и С элемента определяем, пользуясь непрерывностью деформаций и разложением в ряд Тейлора. Приращения перемещений зависят от приращения (изменения) соответствующей координаты. Например, для точки В(х,у+dy) перемещения (V+ dy) и (u + dy).

Геометрические уравнения 6-7-8: дана связь между деформациями ε_х, ε_у, γ_ху и перемещениями u и V.

Через две величины (u, V) вычисляются три ε_х, ε_у, γ_ху, т.е. при любых значениях u,V деформации ε_х, ε_у, γ_ху вычисляются однозначно! Но при произвольном задании ε_х, ε_у, γ_ху определить две величины u, V однозначно не всегда можно!

Вывод: между ε_х, ε_у, γ_ху существует связь. Это уравнение (9)!

Доказательство справедливости уравнения (9):

подстановка (6-7-8) в (9) превращает (9) в тождество.

Таким образом, прирешение задачи ТУ в перемещениях, т.е. определении u, V, уравнение (9) выполняется автоматически

σх, σу, τху

u, V εх, εу, γху уравнение (9)   u, V обязательно используя (9)

▼2 (σх, σу)=0 – включает условие (9) + закон Гука + уравнение равновесия (частично)

В других случаях (при решении через εх, εу, γху или σх, σу, τху) уравнение (9) т.е. условие неразрывности (сплошности) необходимо использовать

Уравнение неразрывности деформаций (сплошности)

;

Закон Гука+ уравнения равновесия (частично)

=0 ; при X=Y=const Условие Мориса – Леви ; -оператор Лапласа второго порядка

геометрическая сторона задачи зависимость Коши

; ; ; + ;

Физическая картина сплошности

Разрывы деформации

Идеально упругое тело. Линейный закон связи между деформациями и напряжениями. Отсутствие остаточных деформаций после разгрузки. Вспомните опыт растяжения образца на разрывной машине.

Продольная относительная деформация вдоль оси х при растяжении продольными силами (напряжениями) ε_х= σ_х – удлинение

Поперечная относительная деформация (укорочение вдоль оси х) ст σ_у

ε_х=-μ

Аналогично ε_х=-μ

От действия касательных напряжений

ε_х = 0

Обобщение закона Гука получаем, суммируя эти компоненты деформаций ε_х вдоль оси х.

Напомним: μ – коэффициент Пуассона, показывает отношение относительной попе-речной деформации к относительной продольной деформации μ<0,5; для стали μ=0,25

μ=0,167

Вывод: закон Гука – физический закон, который устанавливает связь между статическим и геометрическими сторонам задачи.

Закон Гука

	;   s New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:sz w:val="32"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>;</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">
	;

ТРИ СТОРОНЫ ЗАДАЧИ

обратная формула – (10`) = – (11`) – (12`)

εх= ( ) – (10) εу= ( ) – (11)

формулы ПЛОСКОЙ задачи

εх= ; (6) εy= ; (7) (8) + =

H

V

y

x

y

x

y

σx

σy

x

yν

xν

ν

+ + =0 (1) + + =0 (2) (3)

= l+ = n+   l=cos(x,) n=cos(y,)

Вопрос:

Как будет деформироваться брус?

1). Изотропный материал

2). Анизотропность создана конструктивно (искусственно)

металл

дерево

отверстие

трещина

Общая постановка задачи ТУ выполняет:

задание условий запрещения и условия нагружения на контуре

u = u^* Х_ν=…………..

^{V = V*} У_ν=…………..

а в области тела – объемные силы

,

а также решения статич., геометр. и физических уравнений (1-8) в области.

Восемь уравнений и восемь неизвестных!

Доказана теорема об единственности решения!

На основе этой теоремы можно построить обратный метод решения

Отметим, общее решение (х) дифференциального уравнения равновесия с помощью функции напряжения ε(ху) и возможности сведения решения плоской задачи ТУ к одному уравнению ▼²▼² ε(ху)=0

Отметим возможность выражения закона Гука в прямой (6-8) и обратной (6^{`</sup>-7<sup>`}-8^`) формах.