Изучение движения гироскопа

Принадлежности: прибор FPM-10

Цель работы: изучение прецессионного движения гироскопа.

Введение.

Гироскоп – быстровращающееся симметричное твердое тело, ось вращения (ось симметрии) которого может изменять свое направление в пространстве. Свойствами гироскопа обладают вращающиеся небесные тела, артиллерийские снаряды, роторы турбин, устанавливаемых на судах, винты самолетов и т. д. В современной технике гироскоп – основной элемент всевозможных гироскопических устройств или приборов, широко применяемых для автоматического управления движением самолетов, судов, торпед, ракет и в ряде других систем гироскопической стабилизации, для целей навигации (указатели курса, поворота, горизонта, стран света), для измерения угловых или поступательных скоростей движущихся объектов (ракет) и во многих других случаях.

Чтобы ось гироскопа могла поворачиваться в любом направлении, его помещают в карданов подвес (рис.1). Все три оси подвеса пересекаются в одной точке О – центре карданова подвеса. Закрепленный в таком подвесе гироскоп имеет три степени свободы и может совершать любой поворот около центра подвеса. Если центр тяжести совпадает с центром подвеса, гироскоп называют уравновешенным.

Рис. 1

Теория гироскопа относится к разделу динамики твердого тела. В общем виде движение гироскопа представляет собой одну из самых трудных задач механики. Однако в тех случаях, когда гироскоп быстро вращается относительно главной оси инерции и медленно относительно других осей, возможен элементарный анализ его движения. Движение твердого тела, имеющего одну закрепленную точку, описывается уравнением:

Для анализа движения гироскопа уравнение (1) удобно записать в такой форме

Откуда следует, что изменение момента количества движения за время равно произведению суммарного момента всех внешних сил на время его действия и совпадает с ним по направлению.

В гироскопе различают три направления (оси), проходящие через неподвижную точку тела: 1) направление мгновенной оси вращения, определяемое направлением вектора мгновенной угловой скорости; 2) направление главного момента количества движения (момента импульса); 3) ось симметрии тела. Все три оси в общем случае могут не совпадать по направлению, что значительно усложняет анализ движения гироскопа. Только при очень быстром вращении его вокруг оси симметрии вектор главного момента количества движения и вектор мгновенной угловой скорости практически совпадают с направлением оси симметрии. Поэтому о движении мгновенной оси вращения можно судить по движению оси симметрии гироскопа.

При отсутствии момента внешних сил ( ) из уравнения (1) следует , т.е. главный момент количества движения (ось симметрии гироскопа) остается в пространстве неподвижным. При кратковременном воздействии внешних сил (при ударе) ∆t очень мало, поэтому на основании уравнения (2) будут очень малы и изменения ориентации , и оси симметрии гироскопа. При длительном воздействии внешних сил направление в пространстве вектора главного момента количества движения, мгновенной угловой скорости и оси симметрии гироскопа будут изменяться. В том случае, когда направление внешних сил все время одно и то же, ось гироскопа описывает круговую коническую поверхность (рис. 2). Такое движение гироскопа называют ПРЕЦЕССИЕЙ.

Рис. 2

Пусть гироскоп быстро вращается вокруг оси ОУ с угловой скоростью ω (рис.3). Если J – его момент инерции относительно оси ОУ, то момент импульса (момент количества движения) гироскопа есть вектор, направленный по оси ОУ.

Если к концу оси гироскопа подвесить груз на расстоянии а от центра О, то на гироскоп будет действовать момент силы тяжести, направленный горизонтально перпендикулярно плоскости, в которой лежат ось гироскопа и сила тяжести.

Под действием момента силы тяжести ось гироскопа будет прецессировать вокруг вертикальной оси ОZ и в горизонтальной плоскости. За малый промежуток времени dt вектор момента импульса гироскопа вместе с осью гироскопа повернется на малый угол dφ. Изменение вектора момента импульса (разность векторов ₁ и ₂ момента импульса в конечном и начальном положениях) лежит в горизонтальной плоскости и направлено в сторону прецессии (рис.3).

Рис. 3

Если момент внешних сил достаточно мал, то можно считать, что вектор постоянен по модулю, он изменяется лишь по направлению, поэтому

Разделим обе части последнего равенства на dt

где – угловая скорость вращения гироскопа вокруг вертикальной оси ОZ (угловая скорость прецессии).

Уточним, что значит достаточно малый момент внешних сил.

Если угловая скорость << , то определяется в основном значением , т.е. , а это значит, что . Таким образом, должен быть таким, чтобы гироскоп вращался вокруг оси ОZ гораздо медленнее, чем вокруг оси ОУ.

Из уравнения моментов (1) следует, что

.

Подставляя это выражение в (6), получаем связь между угловой скоростью прецессии и приложенным моментом

(8)

где m – масса груза, a – плечо силы тяжести груза, J – момент инерции гироскопа относительно горизонтальной оси, ω – угловая скорость вращения гироскопа.