Нормальное и касательное напряжение, действующие в движущейся жидкости
Закон сохранения количества движения для неизолированной системы может быть записан в виде:
где 
- главный вектор количества движения системы
- главный вектор внешних сил, действующих на систему
В жидкости выделим элементарный тетраэдр с гранями 
, 
, 
, 
. Индекс показывает перпендикулярно какой оси расположены грани, - наклонная грань. К граням приложены соответствующие напряжения 
, 
, 
, 
(не перпендикулярные граням). Масса тетраэдра 
. На тетраэдр действуют массовые и поверхностные силы. Массовые характеризуются вектором плотности 
, поверхностные – напряжениями. 
- скорость центра инерции тетраэдра
- третий порядок малости
- второй порядок малости
Членами третьего порядка малости пренебрегаем.
и т.д.
пх
Получим связь напряжений, действующих на грани выделенного тетраэдра:
В проекциях на координатные оси это уравнение может быть переписано:
В записанной системе 
называются нормальными напряжениями, а 
и т.д. называются касательными напряжениями. Все напряжения могут быть записаны в матричной форме в виде симметричного тензора напряжений:
Первый индекс определяет ось, относительно которой расположена грань, второй – ось на которую проецируется напряжение.
Уравнение движения сплошной среды в напряжениях.
Рассмотрим элементарный параллелепипед с ребрами 
. Объем его 
. На него действуют массовые и поверхностные силы определяемые главным вектором внешних сил 
. К параллелепипеду применим закон сохранения количества движения:
Для определения главного вектора поверхностных сил рассмотрим все силы, дающие проекцию на ось х. Для граней перпендикулярных х проекцию дают только силы, создаваемые нормальными напряжениями. Поэтому равнодействующая этих сил равна:
Аналогично для граней перпендикулярных z получим равнодействующую равную: 
Равнодействующая поверхностных сил в проекции на ось х равна: 
Тогда закон сохранения количества движения в проекции на х можно записать:
Полученная система называется системой уравнений движения сплошной среды в напряжениях. В левой части стоит полная производная от скоростей, которые могут быть расписаны через локальные и конвективные составляющие ускорения. При определенных условиях левая часть значительно упрощается (стационарное, двухмерное или одномерное течение).
Т.к. 
систему можно записать в виде одного уравнения в векторной форме записи:
