Общий случай загружения

Косой изгиб

Предположим, что стержень нагружен так, что суммарный изгибающий момент М_и в сечении действует в плоскости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей (рисунок 2.8.1,а). Такой случай называют косым изгибом.

Рисунок 2.8.1

Момент М_и представим в виде вектора, перпендикулярного плоскости нагружения F — F, в которой действует этот момент. Разложив его на составляющие, найдем:

М_х=М_иcosα; М_y=-М_иsinα (2.8.1)

Связь между направлением момента и его вектором можно установить по известному из теоретической механики правилу. В данном случае изгибающий момент направлен так, что он сжимает точки сечения в первой четверти осей координат (где х>0; у>0), поэтому принят со знаком минус. В соответствии с формулой (2.7.1) при N= 0 напряжения будут определяться равенством:

(2.8.2)

Координаты точек нулевой линии п-п обозначим х_п и у_п Из условия σ= 0 получим уравнение этой линии при косом изгибе:

(2.8.3)

Она проходит через начало координат а ее наклон к оси х определяется тангенсом угла β (рис. 2.8.1, б), для которого из (2.8.3) с учетом (2.8.1) получим выражение:

(2.8.4)

При J_x≠J_y , угол β≠α , т. е. в отличии от изгиба в главной плоскости (лекция 2.7) при косом изгибе нулевая линия не перпендикулярна плоскости действия момента М_и. Плоскость кривизны будучи ортогональна к п—п, не совпадает с плоскостью действия момента М_и и будет расположена косо по отношению к этой плоскости (под углом β-α). Это обстоятельство и объясняет наименование деформации «косой изгиб».

Если консольную балку с высоким прямоугольным сечением (h>> b) загрузить на конце наклонной силой F, то можно видеть, что перемещения сечений (прогибы) будут происходить не в направления действия силы F, а косо по отношению к силе F что является следствием косого изгиба.

Интересно отметить что для сечений, у которых J_x=J_y, для любой плоскости наклона момента М_и по (2.8.4) имеем β=α и искривление происходит в плоскости действия момента. Такими сечениями, например, являются круг, квадрат, равносторонний треугольник, составные сечения при J_x=J_y. В подобных случаи любая центральная ось является главной и изгиб от тобой наклонной силы (при произвольном угле) превращается в главный плоский изгиб.

Вернемся к общему случаю косого изгиба (рис. 2.8.1,а) Эпюру σ сечений удобно изобразить на оси, перпендикулярной линии п-п (рис. 2.8.1,б). Самой напряженной будет точка сечения, наиболее удаленная от п-п (точка К или К₁). Для нее и составляется условие прочности:

(2.8.5)

Если очертание сечения таково, что опасная точка К имеет координаты х_k=х_max , и у_к=у_max (например, швеллер), то, учитывая, что:

; (2.8.6)

Условие (2.8.5) можно выразить через моменты сопротивления сечения:

(2.8.7)

Косой изгиб может быть весьма опасен с точки зрения напряжений и прогибов, особенно для сечений с резко различными моментами инерции J_x и J_y (для узких и высоких сечений)

Общий случай загружения

В общем случае, когда N≠0, М_x≠0 и М_y≠0 , напряжение в произвольной точке определяется по формуле:

(2.8.8)

Как и в случае косого изгиба, для наглядного и простого изображения эпюры σ удобно построить нулевую линию п—п, уравнение которой имеет вид:

(2.8.9)

Рисунок 2.8.2

Отрезки, отсекаемые линией п—п на осях координат х₀ и у₀ (рис. 2.8.2), будут:

; (2.8.10)

Напряжения σ в поперечном сечении распределены по закону плоскости.

Формулой 2.8.8 можно пользоваться только для специальных осей, положение которых в сечении необходимо предварительно определять. Первые два условия состоят в том, что эти оси проходят через центр тяжести сечения, а последнее в том что эти оси являются для сечения главными.

Часто отрезки х₀ и у₀ очень малы и по ним трудно правильно изобразить линию п—п. Тогда ее надо строить по двум произвольным точкам. Например, произвольной координатой х_п и определяя из уравнения (2.8.9) соответствующее значение у_п.

Условие (2.8.8) можно выразить через моменты сопротивления сечения:

(2.8.11)

(2.8.12)

При проектировании стержней из материала, имеющих предел прочности на растяжение значительно меньше, чем на сжатие (например бетон, кирпичная кладка) необходимо стараться обеспечить такие условия чтобы в поперечном сечении не появлялись бы не желательные растягивающие напряжения.