Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

1) где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. Rn - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением

2)

k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой

Пример 12. Разложить в ряд Тейлора в окрестности функцию .

Разложим в ряд производную данной функции , воспользовавшись табличным разложением для функции

.

Проинтегрировав общий член полученного ряда, и, учитывая, что y(0)=0, получим искомое разложение: .

  10. Применение степенных рядов для приближенных вычислений Степенные ряды широко применяются в приближённых вычислениях. Рассмотрим это на примерах. Пример 1. Вычислить с точностью до 0,001. Воспользуемся разложением Тогда = - 0,0238+0,0046 –0,0008≈0,7475≈0,748. Так как ряд знакочередующийся и 0,0008<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,0008, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001. Вычислить e^0,1 с точностью до 0,001. Для функции e^x формула Тейлора имеет вид: e^x=1+x+ +R_n(x), где R_n(x)= где с (0;x). При x=0.1 получаем знакоположительный числовой ряд. Так как при этом с (0;0,1), 0,1 [0;0,5], то 0<c<0,1<0,5 и e^c<e^0,5<2. Тогда Необходимо взять столько членов ряда, чтобы выполнялось условие: 0,001 или 0,0005. При x=0,1 получаем e^0,1≈1+0,1+ ≈1+0,1+0,005+0,0002≈1,1052≈1,105. Так как 0,0002<0,0005, то достаточно взять четыре члена ряда. Пример 4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение y′=y+x², y(0)=-2 методом последовательного дифференцирования. Будем искать решение в виде ряда Маклорена: y(x)=y(0)+ . Вычислим производные: y′=y+x², y″=y′+2x, y″′=y″+2, y⁽⁴⁾= y″′, …, y⁽ⁿ⁾= y″′ при n=4, 5, … . При x=0 получаем: y(0)=-2, y′(0)=-2, y″(0)=-2, y⁽ⁿ⁾(0)=0 при n=3, 4, 5. Окончательно получаем y(x)=-2-2x-x².   11. Сходимость по норме. Гильбертовы пространства

Сходимость по норме - сходимость последовательности { х п}в нормированном векторном пространстве Xк х,определяемая следующим образом: если при Здесь - норма в X.

ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО - комплексное векторное пространство ,являющееся бесконечномерным полным евклидовым пространством. Это означает, что Г. п. есть множество элементов, на к-ром, помимо операций векторного пространства (сложения и умножения на число), задана также комплекснозначная ф-ция от пары аргументов х, у из , , обозначаемая (х, у)и удовлетворяющая след. условиям (аксиомам): 1) ; (х, x)=0лишь при x=0; 2) (х, y+z)= (х,у)+ (x,z); 3) , (x,у)=(у,х)*; *означает комплексное сопряжение (иногда рассматривают вещественные Г. п., к-рые являются векторными пространствами над полем и удовлетворяют аксиоме 3 с ). Ф-ция (х, у)наз. скалярным или внутренним произведением. В силу аксиомы 1 на также определена неотрицат. ф-ция , к-рая обладает всеми свойствами нормы на векторном пространстве; по отношению к ней является нормированным и банаховым (т. е. полным нормированным) пространством. Нередко (напр., при квантовании эл--магн. поля) приходится рассматривать пространства, к-рые не являются полными в смысле сходимости по норме и (или) допускают равенство (х, x)=0 для нек-рых Каждое такое пространство наз. предгильбертовым; существует стандартная процедура, позволяющая достроить его до обычного Г. п. Применения Г. п. В матем. и физ. приложениях возникают разл. классы пространств, являющихся обобщениями Г. п. Осн. область применений этих пространств составляют ур-ния матем. физики. Сфера применений Г. п. в совр. физике почти необозрима. Г. п.- центральный матем. объект, лежащий в основе всего аппарата квантовой физики. Представление множества состояний физ. системы с помощью Г. п. есть фундам. элемент матем. структуры в самом широком спектре физ. теорий: квантовой механике, квантовой статистич. физике, классич. и квантовой теории поля; оно является возможным также и в классич. механике. Такой же универсальностью обладает и представление наблюдаемых физ. систем с помощью самосопряжённых операторов в Г. п. Наиб. тесная связь, достигающая почти полного сращивания между физ. и матем. исследованием, сложилась между аппаратом Г. п. и квантовой механикой. Наконец, широкие и разнообразные применения Г. п. находят при изучении ур-ний матем. физики, описывающих разл. физ. процессы.

Примеры

· Евклидово пространство.

· Пространство . Его точки суть бесконечные последовательности вещественных чисел , для которых сходится ряд . Скалярное произведение на этом пространстве задаётся равенством

.