Необходимые условия экстремума. О. Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой - окрестности точки

О. Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой - окрестности точки . Тогда функция z = f(x,y) имеет в точке максимум(минимум), если для всех точек этой окрестности выполняется неравенство

Т.(необходимое условие экстремума)

Пусть функция z = f(x,y) имеет экстремум в точке . Тогда если в этой точке существуют конечные частные производные первого порядка, то они равны нулю.

Как и в случае функции одной переменной, точки, в которых все частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или точками, подозрительными на экстремум.

Заметим, что равенство нулю частных производных первого порядка – условие недостаточное. Действительно, рассмотрим, например, функцию z = xy. Частные производные и равны 0 в точке (0,0), однако она не является точкой экстремума (так как в ее окружности функция z = xy может принимать и положительные значения).

Т.(достаточные условия экстремума)

Пусть функция z = f(x,y) дважды дифференцируема, и стационарная точка,

A = , B = , C = , , тогда 1) , причем max, если A<0, min, если A>0. 2) , экстр-ма в т. нет 3) , треб-ся доп исслед-е

2б.Наибольшее и наименьшее значение функции 2-х переменных z = f(x,y) в непрерывном на некотором замкнутом множестве Х (глобальный max и глобальный min) достигают в точках или в точках экстремумов, или на границе области.Условный экстремум Пусть дана функция 2-х переменных z = f(x,y), аргументы которой х и у связаны соотношением g(x,y)=0(которое называется уравнением связи). Тогда задача нахождения экстремума функции z = f(x,y) при условии, что g(x,y)=0, называется задачей на условный экстремум. 1 из алгоритмов реш-я этой задачи сводится к след а) ур-е связи

z = f(x, ), получаем функцию одной переменной. б) Метод множителей Лагранжа

3.М-д наим квадр-в. Выравн-е эмпирич данных по прямой

На практике часто приходится решать задачи сглаживанию эксперимент завис-тей.

Пусть сущ завис-ть для 2-х переем-х, выраженная с пом таблицы, получ экспериментально

X … …

Y … …

Требуется наилуч образом сгладить эксперимент завис-ть м/д переем-ми х и у, т.е. установить зав-ть м/д х и у в виде формулы y = f(x).

О. Формулы, служ для аналитич представлений эксперимент данных, называются эмпирическими.

Задача нах-я эмпирич формул разбивается на 2 этапа.

I этап

Устанавливается вид зависимости y = f(x) (линейная, квадратичная, логарифмическая и т.д.).

II этап

Опред-ся неизв пар-ры этой ф-ии. Для этого применяют наиболее распр и теоретически обоснованный метод наименьших квадратов. Он состоит в следующем:

В кач-ве неизв пар-ра ф-и f(x) выб-т такие знач-я, чтобы суммы кв-тов невязок ( ) была мин. Невязка ( ) – это –откл-е от «теоретич» знач-й , найд по эмпирич формулам y = f(x) от соответствующих опытных знач-й . Рассм-м функцию (т.е. сумму квадратов всех невязок) Пусть в кач-ве ф-и у = f(x) взята лин ф-я у = ax + b. Тогда задание сводится к отыскиванию пар-ов a и b, при кот ф-я принимает наим зн-е. Очевидно, что S = S(a,b) есть ф-я 2-х переем-х a и b, а и - пост числа, полученные экспериментально.

Т. о., достаточно исслед-ть ф-ю S = S(a,b) на экстремумах. Находим частные производные

или

После преобразований, система принимает вид:

(**) Система (**) - система норм уравнений т.к квадрат ∑ >∑-мы квадратов

Ф-я S = S(a,b) достигает своего min при a и b, найд из сист (**). Для этого проверим достаточные условия экстремума:

функция достигает min (глобальный min).

4.Неопред интеграл, первообразная и их св-ва.

Пусть функции f(x) и F(x) определены на интервале (a;b). Если функция F(x) имеет производную на интервале (a;b) и для всех x ? (a;b) выполняется равенство F’(x) = f(x), то функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b). Т.: Если F(x) первооб-я ф-и f(x), то F(x)+С тоже пер-я. О. Мн-во всех перв-х ф-й F(x)+С для данной ф-и f(x) наз. неопред интегр ф-и f(x) обозн-ся

Св-ва НИ:

5.Интегрир-е путем замены переменной (подстановкой)

М-д подстановки

∫f(x)dx= [x=φ(t),t=ψ(x),dx=φ’(t)dt] =∫f(φ(t)φ’(t)dt

Если интеграл непосредственно не вычисляется,можно применить метод,кот. состоит в след.:

-вводится новая переменная

x=φ(t),где t=ψ(x) явл. обратной по отношению к φ(t), dx=φ’(t)dt- дифференциал ф-ции x=φ(t)