Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

При решении различных практических вопросов приходится иметь дело не с элементарными струйками, а с потоком реальной жидкости конечных размеров.

В этом случае уравнение Бернулли может быть получено путем суммирования элементарных струек.

Рассмотрим движение жидкости в канале переменного сечения при следующих допущениях:

1. Поток движущейся жидкости установившийся, т.е. , и подчиняется основному закону гидростатики: .

2. Затраты энергии на преодоление сопротивлений движению вязкой жидкости учитываются между сечениями потока величиной

(рис. 3.11).

3. Кинетическая энергия определяется через среднюю скорость потока:

,

где n –число струек;

u –скорость в любой струйке.

Рис. 3.11

4. Жидкость несжимаема .

Умножив все члены уравнения для элементарной струйки, с учетом потерь энергии на , получим:

Суммируя по площади живого сечения, имеем:

(3.22)

Рассмотрим каждый член уравнения отдельно.

Выражения и пред­став­ляют собой кинетическую энергию всей массы жидкости, протека­ющей в единицу времени через поперечные сечения 1-1 и 2-2.

С учетом допущения

и . (3.23)

Однако .

Объясняется это тем, что есть арифметическая сумма произведений расходов отдельных элементарных струек dQ на квадраты их действительных скоростей u².

Произведение – суммарный расход потока:

,

умноженный на среднюю скорость потока:

где n –

число струек.

Подобная замена требует корректировки кинетической энергии по­то­ка в выражении . Эта корректировка представляет собой от­но­шение действительной кинетической энергии жидкости, про­те­ка­ю­щей через поперечное сечение потока в единицу времени, к кинети­ческой энергии, которая имела бы место при том же расходе, если бы скорость жидкости во всех струйках была бы одинаковой и равнялась средней скорости, т.е. – коэффициент Ко­риолиса.

С учетом того, что и , получим

.

Обычно коэффициент Кориолиса определяется опытным путем на основании измерений скорости в различных точках исследуемого потока. Коэффициент a всегда больше единицы.

Для так называемого ламинарного режима движения жидкости в цилиндрической трубе коэффициент a = 2, а для турбулентного
a= 1,045-1,10.

Рассмотрим выражение второго члена уравнения (3.22), пред­ставляющего собой потенциальную энергию потока:

. (3.24)

Третий член уравнения (3.22) представляет собой сумму работ сил сопротивления.

Подразумевая под Э1-2 осредненное значение потерь удельной энергии, получим:

. (3.25)

Подставляя выражения (3.23) и (3.25) в уравнение (3.22), получим:

.

Сокращая на rQ, после преобразования имеем:

или

, (3.26)

где –

потери напора, м.

В общем виде уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости принимает форму

, (3.27)

где –

подразумеваемая средняя скорость потока.

При практических расчетах часто принимают a = 1, тем самым пренебрегают неравномерностью распределения скоростей.

Рассмотрим геометрический смысл уравнения Бернулли для потока жидкости, обладающей вязкостью (рис. 3.12).

Рис. 3.12

Сумма в каждом сечении является пьезометрическим на­пором .

Линия, соединяющая отметки показаний пьезометров, назы­ва­ется пьезометрической линией.

Величина называется скоростным напором

Сумма пьезометрического и скоростного напоров называется гидродинамическим, или полным напором, который можно выразить зависимостью

.

Линия, соединяющая отметки гидродинамических напоров вдоль движения, называется напорной линией, а ее уклон – гидрав­ли­ческим уклоном I.

Величина в уравнении Бернулли представляет потери на­по­ра. Если потери напора отнести к единице длины потока, то полу­чим гидравлический уклон.

В горизонтальных напорных трубках потери напора возникают при уменьшении давления:

– пьезометрический уклон;

– гидравлический уклон.