Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

При движении реальной вязкой жидкости в ней возникают силы трения. Часть энергии системы расходуется на преодоление сил трения, необратимым образом при этом преобразуясь в тепловую энергию. Тепловая энергия безвозвратно теряется – рассеивается в окружающее пространство. Поэтому, чтобы применить уравнение Бернулли к процессам в реальной жидкости, в уравнении сохранения энергии нужно учесть эти потери энергии.

Энергия потока в первом сечении

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru

Энергия потока во втором сечении

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru

Энергия потока во втором сечении будет меньше энергии в первом сечении как раз на величину потерь:

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru

или

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru .

Если мы решим распространить уравнение Бернулли от элементарной струйки на целый поток, то нужно учитывать следующее обстоятельство. Удельную кинетическую энергию целого потока можно вычислить по формуле

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru .

Здесь Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru – средняя скорость в поперечном сечении потока.

В действительности скорости в поперечном сечении потока, как уже обсуждалось выше, существенно отличаются друг от друга: у стенок и дна они малы, к центру потока увеличиваются. Поэтому кинетическая энергия, рассчитанная по средней скорости потока, не равна сумме кинетических энергий элементарных струек, составляющих этот поток. Сумма энергий оказывается больше, и в первый член уравнения Бернулли приходится вводить поправочный коэффициент α, называемый коэффициентом кинетической энергии:

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru .

Так как Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru – масса отдельных струек, а Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru – масса всего потока жидкости, то имеем:

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru .

Отметим, что чем больше Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru – средняя скорость в сечении, тем коэффициент α ближе к единице.

В обычных условиях при турбулентном течении в трубах и открытых каналах α меняется в пределах 1,02 – 1,12, поэтому для турбулентных течений обычно принимают α ≈ 1,0.

Для ламинарных течений, имеющих большую неравномерность распределения скоростей по сечению, принимается, α = 2,0.

Что касается таких членов уравнения Бернулли как пьезометрический напор Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru и геометрический напор z, то о них можно сказать следующее.

При распределении давления в поперечном сечении потока по гидростатическому закону можно отнести эти члены к любой точке потока в этом сечении, обычно их относят к центру тяжести. Предположение о гидростатическом законе распределения давления справедливо для параллельноструйного или плавно меняющегося движения и несправедливо в потоках, имеющих значительную кривизну. При значительной кривизне потока эти величины относятся к динамической оси потока, а при отклонении от оси необходимо вводить поправку, учитывающую влияние центробежных сил на распределение давления.

Таким образом, в случае параллельноструйного или плавно изменяющегося движения при обобщении уравнения Бернулли на целый поток реальной жидкости запись этих членов не изменяется. И тогда уравнение Бернулли для целого потока реальной (вязкой) жидкости при установившемся движении записывается в виде

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru

или

  Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru (3.9)

В такой форме записи все члены уравнения Бернулли имеют линейную размерность, представляя собой напоры или высоты.

Попробуем представить уравнение Бернулли в виде линейной диаграммы (рис. 3.17).

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru

Рис. 3.17

Геометрический напор z отсчитывается от условной плоскости сравнения 0–0 до оси потока. Далее вверх откладываются отрезки, равные пьезометрическому напору Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru и скоростному напору Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru . Концы соответствующих отрезков в разных сечениях по длине потока соединяются линиями. Так получаются пьезометрическая линия и линия полной энергии. Константа в правой части уравнения Бернулли, характеризующая начальный запас энергии, соответствует горизонтальной линии начальной энергии. Расстояние между линиями начальной и полной энергии представляет собой потерянный напор Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru .

Построенная диаграмма наглядно иллюстрирует преобразование удельной энергии потока при его движении, показывает переход одного вида энергии в другой. Так, например, при расширении поперечного сечения потока происходит увеличение потенциальной энергии давления (пьезометрического напора), а кинетическая энергия (скоростной напор) уменьшается. При уменьшении сечения наблюдаем обратную картину.

Важно заметить, что линия полной энергии для реальной жидкости может только падать по длине потока из-за непрерывного увеличения потерь. А пьезометрическая линия может повышаться и понижаться в зависимости от кинетической энергии потока.

Падение полной энергии на единицу длины потока выражается формулой

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru

и называется гидравлическим уклоном.

Следовательно, величина гидравлического уклона характеризует уменьшение полной удельной энергии потока на единицу длины.

Понятие уклона можно ввести и для пьезометрической линии, это будет пьезометрический уклон:

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости - student2.ru

Пьезометрический уклон может быть как положительным, так и отрицательным. В частном случае равномерного движения, когда скорость по длине потока постоянна, очевидно, что i = i*. Такая картина имеет место, например, при напорном движении жидкости в трубах.

Положительные значения гидравлического и пьезометрического уклонов соответствуют падению полной энергии или пьезометрической линии.

При движении вязкой жидкости в трубах возникают дополнительные силы сопротивления. Частицы жидкости, прилегающие к поверхности трубы, тормозятся (прилипают). Из-за наличия вязкости такое торможение передается следующим слоям. В результате в трубе устанавливается распределение скорости движения жидкости, при котором скорость по мере удаления от оси трубы к стенкам постепенно уменьшается. Равнодействующая сил сопротивления направлена в сторону, противоположную движению, и параллельна направлению движения. Эта сила является силой гидравлического трения.

Для преодоления силы гидравлического трения и поддержания поступательного движения жидкости необходимо, чтобы на жидкость действовала сила, направленная в сторону ее движения и равная (или большая) силе сопротивления, т. е. необходимо затрачивать энергию. Энергия, необходимая для преодоления сил сопротивления, и есть потерянная энергия, учитываемая уравнением Бернулли.

Потери удельной энергии, их еще называют потери напора или гидравлические потери, зависят от формы и размеров русла, скорости течения, вязкости жидкости и шероховатости стенок трубопровода.

Наши рекомендации