Пример решения задачи № 3 контрольного задания

Задана ферма, изображенная на рис. 5.13

Рис.5.13

I.Требуется найти усилия S₁₂ , S₄₃, S_{13 ,} S₄₁, S₅₄ от заданной нагрузки. (Аналитический расчет).

II. Построить линии влияния для усилий в этих же стержнях.

III. Найти усилия в стержнях по линиям влияния и сравнить их с усилиями, полученными аналитически

I. Расчет усилий от заданной нагрузки.

1. Определяем опорные реакции.

12*3 + 8*12 - V_B*18 = 0; V_B = кН

V_A*18 - 12*15 - 8*6 = 0; V_A = кН

Проверка: 12.66 – 12 – 8 + 7.33 = 0.

2.Определяем усилие S₁₂.

Проводим сечение I – I (рис. 5.13). Отбрасываем правую часть фермы относительно этого сечения. Следует отбрасывать ту часть фермы, на которой расположено больше нагрузок. В рассматриваемом случае безразлично, какую часть фермы отбрасывать .Действие отброшенной части заменим неизвестными продольными силами S₁₂ , S₁₃ и S₄₃, полагая их растягивающими (рис.5.14)

Рассмотрим равновесие оставшейся левой части. Рис.5.14

Моментная точка для определения усилия S₁₂ находится на пересечении стержней 1- 3 и 4 – 3, то есть в узле 3. Используя эту моментную точку, запишем уравнение равновесия:

12,66*9 – 12*6 + S₁₂ *4 = 0; S₁₂ = кН.

Знак минус, полученный в расчете, означает, что стержень 1 – 2 не растянут, а сжат.

3. Определяем усилий S_{43 .}

До усилия в стержне 4 – 3 можно “добраться” тем же сечением I – I. Из рис.. 5.14 следует, что моментной точкой для определения усилия S₄₃ будет узел 1.

12.66*6 - 12*3 - S₄₃*4 = 0; S₄₃ = кН.

4.Определим усилие S₁₃.

Стержень 1 – 3 попадает также в сечение I-I.(Рис.5.14).

Запишем уравнение равновесия левой части в виде суммы проекций всех левых сил на ось y.( Моментной точки для определения усилия S₁₃ нет)

12.66 – 12 – S₁₃

Синус легко определяется , когда заданы размеры фермы.

Здесь полезно вспомнить о так называемом “ египетском” прямоугольнике : прямоугольник, у которого катеты равны 3 и 4 имеет гипотенузу, равную 5 (теорема Пифагора !) . Поэтому тригонометрические функции угла в таком треугольнике определяются еще проще :

Итак, S₁₃ = кН

5.Определим усилие S₄₁.

Проведем сечение II – II (рис. 5.13) и отбросим правую часть фермы (рис.5.15)

Моментная точка для определения усилия S₄₁ лежит на пересечении стержней 5–1 и 4 – 3, то есть в точке О.

Составим сумму моментов всех сил, действующих на часть фермы относительно точки О, расстояние до которой определяется из подобия треугольников.

Рис.5.15

- 12.66*6 + 12*9 – S₄₁*12 = 0;

S₄₁ = кН.

6. Определим усилие S_54.

Сечение III – III (рис.5.13)

Отбрасывая правую часть, снова рассмотрим равновесие оставшейся левой части. Моментная точка и для этого усилия – точка О.

Плечо h₁ момента силы S₅₄ определяется из прямоугольного треугольника с гипотенузой О – 4 (рис.5.16)

h₁ =

tg

Следовательно, и

Рис. 5.16

h₁ = 12* 0.707 = 8,48 м.

Составляем сумму моментов всех сил относительно точки О и приравниваем ее нулю

-12.66*6 + 12*9 + S₅₄*h₁ = 0,

S₅₄ = кН ( сжатие).

II. Построение линий влияния

1.Линии влияния (л.в.) опорных реакций V_A и V_B показаны на рис. 5.23a и 5.23b и не требуют пояснений (они аналогичны линиям влияния опорных реакций балки.

2. Л.В. усилия S₁₂.

Для определения закона изменения этого усилия проводим сечение I – I точно так же, как и при аналитическом расчете. Рассмотрим два возможных положения груза F = I : слева и справа от “разрезанной “ панели 1 - 2.

1. Пусть груз F = 1 расположен в любом месте справа от узла 2. Рассмотрим равновесие левой части фермы, отбросив правую и заменив ее действие растягиваю­щими усилиями S₁₂,S₁₃ и S₄₃ (рис.5.17). Используя моментную точ­ку 3,запишем уравнение равновесия

Рис.5.17

S₁₂ = - 2.25 V_A, ( правая ветвь линии влияния) .

Таким образом, получен закон, по которому изменяется усилие. S₁₂ , когда F = I рас­положен справа от узла 2. Усилие S₁₂ меняется по закону левой опорной реакции V_А , но с поправочным коэффициентом Строим правую ветвь , откладывая на левой опорной вертикали ординату и соединяя ее с нулевой точкой на правой опоре Мы имеем право использовать только часть этой прямой на участке 3 – В, на которой может располагаться груз F = 1.

2. Пусть груз F = I находится в любом узле слева от разрезанной панели 1 - 2 (в том числе и в узле 1). Рассмотрим равновесие правой части фермы (рис.5.18).Используя моментную точку 3, запишем уравнение равновесия

- V_B *9 - S₁₂*4 = 0.

S₁₂= - 2.25 V_В. Рис.5.18

Усилие изменяется по закону V_B. ,но с поправочным коэффициентом 2.25

Строим левую ветвь л.в.S₁₂, откладывая на правой опорной вертикали отрезок -2.25 и соединяя конец этого отрезка с нулем на противоположной опоре. Эта прямая “работает” только на участке А – 1.

Соединяя концы полученных участков переходной линией , получаем л.в.S₁₂.(рис.5.23c).

1. Л.В. усилия S₄₃.

Используем то же сечение, что и при построении л.в. усилия S₁₂.

1.Груз F = 1 находится справа от узла 2 (рис. 5.17).

V_A*6 – S₄₃*4 = 0.

S₄₃ = 1.5 V_A (правая ветвь л.в.).

2.Груз F = 1 находится слева от узла 1 (рисю5.18)

S₄₃*4 – V_B*12 = 0.

S₄₃ = 3 V_B (левая ветвь л.в.).

Линия влияния усилия S₄₃ показана на рис. 5.23d.

1. Л.В. усилия S₁₃.

Стержень 1 – 3 попадает в то же сечение I – I.

1. Пусть груз F = 1 справа от узла 2 (рис.5.17). Для выяснения закона изменения усилия S₁₃ при любом положении груза справа используем способ проекций.

Проектируя все силы, приложенные к левой части фермы на ось y , получаем

V_A - S₁₃* ;

S₁₃ = (правая ветвь линии влияния)

Откладываем на опоре А вверх отрезок, равный 1.25 и соединяем его конец с правой опорой. Правая ветвь “работает” на участке 3 – В.

2. Пусть груз F = 1 слева от узла 1 (рис.5.18).

S₁₃* - V_B = 0

S₁₃ = (левая ветвь линии влияния).

Откладываем на опоре В вниз отрезок, равный 1.25 и соединяем его конец с левой опорой. Работающая часть левой ветви - от опоры A до узла 1.

Ординаты правой ветви ( под узлом 2) и левой ветви ( под узлом 1) соединяем переходной линией.

Линия влияния S₁₃ показана на рис. 5.23e.

1. Л.В. усилия S₄₁.

Проводим сечение II – II и, последовательно рассматривая равновесие левой и правой части фермы, находим законы изменения усилия S₄₁ в зависимости от положения груза F = 1.

1.Груз F = 1 расположен справа от разрезанной панели1 – 5. Рассмотрим равновесие левой части относительно этого сечения (рис.5.19) Моментная точка, как и при аналитическом расчете, лежит на пересечении стержней 5 – 1 и 4 – 3.

- V_A*6 – S₄₁*12 = 0; Рис.5.19

S₄₁ = - 0.5 V_A (правая ветвь л.в.)

Откладываем на левой опоре вниз отрезок, равный 0.5 и соединяем его конец с правой опорой. “Работающая “часть этой линии – от опоры В до узла 1.

2. Груз F =1 располагаем в любом узле слева от узла 5. Рассмотрим равновесие правой части фермы (рис.5.20):

S₄₁ *12 – V_B *24 = 0;

S₄₁ = 2V_B .(левая ветвь л.в.) Рис.5.20

Откладываем на правой опоре вверх отрезок, равный 2 и соединяем его конец с левой опорой. “Работающая “часть этой линии – от опоры А до узла 5.

Ординаты правой ветви ( под узлом 1) и левой ветви ( под узлом 5) соединяем переходной линией.

Линия влияния S₄₁ показана на рис. 5.23g.

1. Л.В. усилия S₅₄.

Проводим сечение III – III (рис.5.13)

1.Рассмотрим равновесие левой части,

когда груз F = 1 находится справа от Рис.5.21

сечения (рис.5.21). Моментная точка – О.

– V_А*6 + S₅₄ * h₁ = 0;

S₅₄ = (правая ветвь л.в.)

Откладываем на правой опоре вверх отрезок, равный 0.707 и соединяем его конец с левой опорой. “Работающая “часть этой линии – от опоры В до узла 1

2. Груз F = 1 находится слева от разрезанной панели. Рассмотрим равновесие правой части фермы ( рис. 5.22).

- S₅₄ *8.48 - V_B *24 = 0;

S₅₄ = - 2.83V_B .(левая ветвь л.в.)

Откладываем на правой опоре вниз отрезок, равный 2.83 и соединяем Рис.5.22

его конец с левой опорой. “Работающая “часть этой линии – от опоры А до узла 5.

Ординаты правой ветви ( под узлом 1) и левой ветви ( под узлом 5) соединяем переходной линией.

Линия влияния S₅₄ показана на рис. 5.23g.

Рис. 5.23

III.Вычислим усилия в заданных стержнях от заданной нагрузки по линиям влияния.

Умножаем заданные силы на ординаты л.в. под ними, учитывая знак соответствующей ординаты ( На рис.5.22 все необходимые ординаты показаны и получены из подобия треугольников)

S₁₂ = 12*(-0.375) + 8*(- 0.75) = -10.5 kH,

S₄₃ = 12*0.5 + 8* 0.5 = 10.0 kH,

S₁₃ = 12*(- 0.2083) + 8*0.4166 = 0.833 kH,

S₄₁ = 12*0.333 + 8* (-0.166) = 2.66 kH,

S₅₄ = 12*(- 0.4717) + 8*0.2358 = - 3.77 kH

Усилия, полученные двумя способами оказались, естественно, одинаковыми.

.

Вопросы для самоконтроля

1.Что называют линией влияния усилия в элементе фермы?

2.Что такое узловой способ передачи нагрузки?

3 Каков порядок построения л.в. в балке при узловой передаче нагрузки?

4.Отличаются ли линии влияния опорных реакций балочной фермы от линий влияния опорных реакций в балке?

5.Какие два положения груза F = 1 рассматривают при построении линий влияния усилий в элементах фермы?

6.Какое положение занимает переходная прямая в линиях влияния в элементах фермы?

7.Если при построении линии влияния используется моментная точка, то где пересекаются правая и левая ветви л.в.?

8.Какие особенности имеет построение л.в. усилий в элементах шпренгельной фермы?

Глава 6