Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена
| Свойства степенных рядов | ||||||
Отметим здесь, без доказательства, три важных свойства степенных рядов. 1.Сумма  степенного ряда
является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости 2.Ряд
полученный почленным дифференцированием ряда (2), является степенным рядом с тем же, что и ряд (2), интервалом сходимости Замечание. Ряд (4) также можно почленно дифференцировать и сумма полученного после этого ряда равна 3. Пусть числа
|
, 
.
, и так далее. Таким образом, сумма 
– кратным дифференцированием, равна 
. Область сходимости степенного ряда при дифференцировании не изменится.
и 
принадлежат интервалу сходимости 
Разложение ф-ций в степ ряды Пусть функция  бесконечно дифференцируема в  и является суммой степенного ряда:
где
… … … … … … … … … … … … … … … … … … Все ряды имеют интервалы сходимости
Ряд (2) называется рядом Тейлора для функции
и называется рядом Маклорена. Таким образом, если функция Рассмотрим
Многочлен (4) называется многочленом Тейлора степени n. Разность |
. Определим коэффициенты 
этого ряда, для чего продифференцируем 
из полученных тождеств получаем: 
, 
, 
, 
, …, 
, … Отсюда находим коэффициенты степенного ряда (1): 
, 
, 
, 
, …, 
, … Подставляем полученные значения коэффициентов в ряд (1), получаем
называется остаточным членом ряда Тейлора.Теорема.
Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точке 
функция 
являлась суммой составленного для нее ряда Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы 
.
Можно показать, что остаточный член можно представить в форме Лагранжа:
, где 
–некоторое число из интервала 
. Таким образом
 | (5) |
Формула (5) называется формулой Тейлора, а ее частный случай при 
называется формулой Маклорена:
, где 
.
Разложение функций в ряд Тейлора. Остаточный член ряда.
Большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:
