Пример решения задачи № 4 контрольного задания

Задана рама с нагрузкой (рис.8.6)

Рис.8.6

Требуется :Определить горизонтальные перемещения опоры В и левого верхнего узла рамы.

Следуя указанному на стр.88 алгоритму, проведем расчеты.

1. Построение эпюры М_Р от заданной нагрузки (грузовая эпюра)

Вычисляют опорные реакции.

, , V_B = 9,4 kH,

V_A = - 1.4 kH,

Знак минус означает, что реакция направлена не вверх, а вниз.. При построении эпюры это следует учитывать (см.рис.8.7)

- H + 6 – 3,6 =0, H = 2,4 kH

М^{серед.пролета} = 2,4*6 – 1,4*2 – 2*2*1 = - 7,6 кНм

Эпюра М_Р показана на рис.8.7.

2.Построение эпюр изгибающих моментов от единичных сил, приложенных по направлениям искомых перемещений.

Для того, чтобы найти перемещение опоры В, приложим в этом месте единичную горизонтальную силу, так как только такое перемещение возможно. Направление этой силы выбирается произвольно

Определив опорные реакции, построим эпюру М_{1 (}Рис.8.8)

Рис. 8.7

, V_B = 1,0 kH

, 1 – H=0, H=1; , V_A =1,0 kH

Для нахождения горизонтального перемещения верхнего узла приложим горизонтальную силу, равную единице (рис.8.9).

Опорные реакции в этом случае также определяют из уравнений равновесия

Рис.8.8. V_B = 1,5

-V_A + 1,5 = 0 V_A = 1,5, Н = 1.

Эпюра М₂ показана на рис. 8.9

3.Вычисление перемещений.

Сравнивая эпюры М_Р , М₁ и М₂, выделяем участки, на которых эпюры прямолинейны или представляют собой гладкие кривые. Таких участков три (рис.8.10). .Обозначим концы участков цифрами

На участке, на котором действует распределенная нагрузка вводят точку и по середине этого участка ( точка 3). Значения момента в этой точке нужно при применении формулы Симпсона. Перемножение эпюр на участках I и III выполняют по способу Верещагина ,

Рис. 8.9 На рис. 8.10 целесообразно проставить и знаки эпюры изгибающих моментов в соответствии с принятыми правилами: сумма моментов всех левых сил, действующих по часовой стрелке принято считать положительной.

Обозначим площади участков эпюры М_Р буквой с соответствующим индексом

Ординаты под центрами тяжести эпюр М_Р на участках Рис.8.10

I и III эпюр М₁ равны

Знак минус для y₁ взят потому, что ордината единичной эпюры М₁ расположена с другой, чем на эпюре М_Р , стороны стержня.

Ордината на эпюре М₂ положительна и равна

Для перемножения эпюр на участке II по формуле Симпсона нужно вычислить значения моментов М_Р и М₁ в сечении 3..

Ордината y в этом сечении может быть вычислена так:

, (14.8)

(При вычислениях значения и берут по абсолютной величине)

где = 4, .

Следовательно ,

вычисляется как средняя линия трапеции

Итак, перемещения вычисляются по формулам

, (15.8)

(16.8)

Проведя выкладки, получаем

43,2 +

Знак минус в перемещении означает, что перемещение будет направлено в сторону, противоположную приложенной единичной силе, то есть вправо.

Применим матрицы для решения этой же задачи .

Порядок этого расчета приведен на стр.89.

Разбиение эпюр на участки проделывают, как и при обычном расчете. Нумеруют концы участков. Если на всех эпюрах в конце одного участка и начале примыкающего значения моментов одинаковы, то такие сечения обозначаются одной цифрой (рис.8.10) Учитывая , что расчет можно поручить и ЭВМ устанавливают правило знаков. Знак моментов устанавливается произвольно. Учитывая правило знаков, отмечая значения ординат на эпюрах М_Р , М₁ и М₂ в точках ввода (рис.8.10), составляют матрицы и .

Составляем матрицы податливости для всех выделенных участков(п.5)

=

= =

Формируем матрицу податливости всей рамы (п.6)

“Стыкуя” участки I и II, II и III, получаем матрицу податливости порядка 5 X 5

Примечание:

При вводе в ЭВМ дробная часть чисел отделяется от целой точкой.

Если целая часть равна нулю, то она не вводится ( как это показано

в окончательной записи матрицы податливости

Перемножение матриц 23.8 проделаем “ на руках” по правилам, приведенным в

приложении. Перемножение проведем по частям

Умножаем полученную матрицу на матрицу-столбец .

Перемножение матриц может быть выполнено на ЭВМ по стандартным программам. На кафедре разработан удобный интерфейс для такой операции.

После ввода матриц в ЭВМ ( выполняя пункты 7 – 9 алгоритма) получают значения

перемещений, которые высвечиваются на дисплее

EI EI

Вопросы для самоконтроля

1.Какой принцип можно положить в основу вывода универсальной формулы Мора для определения перемещений?

2.Поясните физический смысл всех компонентов, входящих в формулу Мора.

3.Как записывается формула Мора при вычислении перемещений в изгибаемых системах и почему?

4. Как записывается формула Мора при вычислении перемещений в фермах при действии узловой нагрузки?

5.Какие два состояния системы рассматриваются при вычислении перемещений по универсальной формуле? Какие эпюры необходимо построить?

6.Как перемножать эпюры по способу Верещагина?

7.Можно ли применять способ Верещагина при перемножении двух полигональных эпюр, не разбивая их на простейшие фигуры?

8.Когда удобно применять формулу Симпсона для перемножения эпюр?

9.Какую формулу удобно применять при “умножении” трапеции на трапецию?

10.Каков порядок вычисления перемещений при помощи матриц?

11.Как формируют матрицы ординат единичных и грузовых эпюр моментов?

12.Как формируется матрица податливости системы при вычислении перемещений?

13.Какие действия нужно проделать над матрицей податливости, если в системе имеются сечения, в которых значения моментов на соседних участках одинаковы?

14.Какой вид имеет окончательная запись произведения матриц при вычислении перемещений?

Приложение 1