Способы определения усилий в стержнях фермы

Расчет фермы, как и всякой статически определимой системы начинается с определения опорных реакций, Это делают обычным способом как в балке, составляя уравнения равновесия для фермы в целом. После этого приступают к определению усилий в стержнях.

Основной метод состоит в отделении части фермы и рассмотрения ее равновесия. Этот метод разрезов применялся и в решении задач сопротивления материалов.

Последовательность действий была определена еще в курсе теоретической механики, когда изучалась статика системы сил на плоскости.

1.Проводят мысленно разрез фермы, который должен проходить, вообще говоря, не более, чем через три стержня, в том числе и через тот, усилие в котором следует определить.

2. Отбрасывают левую или правую часть фермы относительно разреза (удобнее отбрасывать ту часть, к которой приложено большая часть нагрузок).ли вырезается узел, то он просто изывается из фермы.

3. Заменяют действие отброшенной части продольными усилиями в разрезанных стержнях, полагая их все растягивающими ( действующими “от узла”).

4. Составляют уравнение равновесия так, чтобы искомое усилие входило в него как единственное неизвестное.

5. Решают уравнение, находят усилие. Если результат получается со знаком плюс, то стержень растянут, если минус – сжат.

Итак, метод общий – метод разрезов. Но при составлении уравнения равновесия нужно применить такой способ, Который позволяет избежать решения системы совместных уравнений. Различают несколько таких способов: способ моментной точки, способ проекций и способ вырезания узлов.

В строительной механике часто применяют “фирменные” обозначения усилий в стержнях. Буквой О обозначают усилие в элементах верхнего пояса, U – в элементах нижнего пояса, D – в раскосах, V - в стойках. Этим буквам придается два индекса, соответствующих номерам узлов по концам стержня. Некоторые из этих букв оказываются “перегруженными содержанием”. Например, буквой V обозначают вертикальную составляющую опорной реакции и работу внешних сил. Поэтому усилия в стержнях фермы можно обозначать одной буквой (обычно S) с двумя индексами.

Определим усилия в стержнях фермы, показанной на рис.4.2.

Опорные реакции определим как в балке с пролетом, равным пролету фермы:

-V_B V_B =

Рис.4.2

Найдем усилие O₁₂ .Проведем сечение I – I (рис.4.2 а).

Отбросим левую часть фермы. и заменим Рис.4.2

ее действие на оставшуюся правую часть неизвестными усилиями О₁₂ , D₁₅ и U₆₅ , полагая их растягивающими (рис.4.2. b).

Уравнение равновесия нужно составить так , чтобы в него вошло усилие О₁₂ и не вошли D₁₅ и U₆₅ . Для этого следует взять момент всех сил, приложенных к правой части фермы, относительно точки 5, играющей в данном случае роль моментной точки.

Таким образом, для определения усилия О₁₂ применен способ моментной точки.

За моментную принимают ту точку, в которой пересекаются все неинтересующие нас стержни , попавшие в сечение.. Следовательно, в разрез могут попасть и n стержней, если n-1 пересекаются в одной точке. (рис. 4.3).

Найдем усилие в раскосе D₁₅ .

Проводим то же сечение I – I. Изложенный выше способ здесь не применим: моментную точку придется

Рис.4.3

искать на пересечении стержней О₁₂ и U₆₅ , а они параллельны. Поэтому составляем уравнение другого вида: проектируем все силы, приложенные к правой части фермы, на вертикаль, применяя способ проекций:

Найдем усилие V₂₅.

Провести разрез фермы на две части так, чтобы он прошел через стойку 2-5 и еще через два стержня не удается. Поэтому проводят сечение II – II, применяя способ вырезания узлов (рис.4.4).

Проектируя все силы на вертикаль, получаем

Рис.4.4

Применяя способ вырезания узлов, нужно помнить, что для системы сходящихся сил можно записать только два уравнения равновесия. Поэтому в вырезаемом узле не должно быть более двух стержней с неизвестными усилиями.

До начала определения усилий в элементах фермы полезно выявить те стержни, усилия в которых при заданной нагрузке равны нулю. Такие стержни называют нулевыми.

Правила определения нулевых стержней следуют из уравнений равновесия.

Если в узле сходится два стержня и узел не нагружен, то усилия в обоих стержнях равны нулю (рис.4.5a). Проектируя силы на направление , получаем

S₁ = 0. После этого из проекции на направление S₂ Рис.4.5

следует, что и S₂ = 0.

Если в узде сходятся три стержня , два из которых лежат на одной прямой и узел не нагружен (рис.4.5b), то усилие в ответвляющемся стержне равно нулю ( S₁ = 0), а два других равны между собой ( S₂ = S₃ ). Первое заключение следует из уравнения равновесия , втрое – получаем, проектируя все силы на прямую, вдоль которой действуют силы S₂ и S₃ .

Пользуясь этими правилами легко установить, что все стержни, перечеркнутые одной чертой в ферме на рис.4.6, нулевые.

Рис.4.6