Числовые ряды. Сумма ряда, сходимость ряда.

Числовые ряды. Сумма ряда, сходимость ряда.

Необходимый признак сходимости ряда.

Знакоположительные ряды. Признаки сравнения. Предельная форма признака сравнения. Признак Даламбера. Признак Коши.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Свойства степенных рядов.

7. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена. Разложение в ряд Маклорена функций e^xиcos(x).

Приближенные вычисления с помощью рядов (корни из чисел, тригонометрические функции sin(x) иcos(x) , интегралы)

9. Тригонометрический многочлен. Коэффициенты Фурье для периодической функции с периодом 2п на интервале [-п;п].

Теорема Дирихле.

11. Ряд Фурье. Разложение функций в ряды Фурье с периодом 2λ.

Ряд Фурье. Разложение четных, нечетных функций.

Предмет теории вероятностей. Испытания и события. Пространство элементарных событий. Операции над событиями.

Частота событий, свойства частоты. Статистическое определение вероятности. Классическое и геометрическое определение вероятности.

Условная вероятность. Теорема умножения. Независимость событий. Теорема сложения вероятностей.

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Схема Бернулли. Простейшие задачи на схему Бернулли.

Локальная и интегральная теорема Лапласса.

Локальная теорема Лапласа

Если вероятность появления случайного события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в испытаниях событие наступит ровно раз, приближённо равна:
, где .

При этом, чем больше , тем рассчитанная вероятность будет лучше приближать точное значению , полученное (хотя бы гипотетически) по формуле Бернулли.

Интегральная теорема Лапласа

Если вероятность появления случайного события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в испытаниях событие наступит не менее и не более раз (от до раз включительно), приближённо равна:

, где

При этом количество испытаний, разумеется, тоже должно быть достаточно большим и вероятность не слишком мала/велика (ориентировочно ), иначе приближение будет неважным либо плохим.

Свойства дисперсии

Свойство1: Дисперсия постоянной величины С равна нулю D(С) = 0.

Свойство2:Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

D(CX) = С² D( X).

Свойство3:Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

D( X+ Y) = D( X) + D(Y).

Плотность распределения непрерывной случайной величины и ее связь с функцией распределения.

Необходимость выборки

· Объект исследования очень обширный. Например, потребители продукции глобальной компании – огромное количество территориально разбросанных рынков.

· Существует необходимость в сборе первичной информации.

Объём выборки — число случаев, включённых в выборочную совокупность. Из статистических соображений рекомендуется, чтобы число случаев составляло не менее 30 – 35.

Репрезентативность

Выборка может рассматриваться в качестве репрезентативной или нерепрезентативной.

Свойства

1. Несмещенность. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру , т.е.

.

В противном случае (если ) оценка называется смещенной.

Естественно в качестве оценки, т.е. приближенного значения неизвестного параметра, брать несмещенные оценки; в этом случае мы не делаем систематической ошибки в сторону завышения или занижения.

2. Состоятельность. Оценка называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру a при неограниченном возрастании n:

при .

Состоятельность оценки означает, что при достаточно большом числе опытов n со сколько угодно большой достоверностью отклонение оценки от истинного значения параметра по модулю меньше любого заранее выбранного числа e > 0.

3. Эффективность. Оценки, обладающие свойством несмещенности и состоятельности, при ограниченном числе опытов могут отличаться дисперсиями. Чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность грубой ошибки при определении приближенного значения параметра. Поэтому необходимо, чтобы дисперсия оценки была минимальной, т.е. чтобы выполнялось условие:

.

Оценка, обладающая свойством, называется эффективной, иначе, если при заданном объеме выборки имеет наименьшую дисперсию.

Условия несмещенности, состоятельности и эффективности являются условиями доброкачественности оценки, что является необходимым при обработке статистических данных.

Уровни значимости

1. 1-й уровень значимости: р ≤ 0,05.

Это 5%-ный уровень значимости. До 5% составляет вероятность того, что мы ошибочно сделали вывод о том, что различия достоверны, в то время как они недостоверны на самом деле. Можно сказать и по-другому: мы лишь на 95% уверены в том, что различия действительно достоверны. В данном случае можно написать и так: P>0,95. Общий смысл критерия останется тем же.

2. 2-й уровень значимости: р ≤ 0,01.

Это 1%-ный уровень значимости. Вероятность ошибочного вывода о том, что различия достоверны, составляет не более 1%. Можно сказать и по-другому: мы на 99% уверены в том, что различия действительно достоверны. В данном случае можно написать и так: P>0,99. Смысл останется тем же.

3. 3-й уровень значимости: р ≤ 0,001.

Это 0,1%-ный уровень значимости. Всего 0,1% составляет вероятность того, что мы сделали ошибочный вывод о том, что различия достоверны. Это — самый надёжный вариант вывода о достоверности различий. Можно сказать и по-другому: мы на 99,9% уверены в том, что различия действительно достоверны. В данном случае можно написать и так: P>0,999. Смысл опять-таки останется тем же.

Уровень значимости – это вероятность ошибочного отклонения (отвержения) гипотезы, в то время как она на самом деле верна. Речь идёт об отклонении нулевой гипотезы Н_о.

Уровень значимости – это допустимая ошибка в нашем утверждении, в нашем выводе.

Критическая область – это область, попадание значения статистического критерия в которую приводит к отклонению Н_о. Вероятность попадания равна принятому уровню значимости (минус доверительная вероятность)

Область допустимых значений – область, попадание значения статистического критерия в которую приводит к принятию нулевой гипотезы.

Числовые ряды. Сумма ряда, сходимость ряда.