Условие неразрывности потока жидкости

Гидромеханика изучает условия равновесия и течения (перемещения в пространстве) жидкостей и газов, которые рассматриваются как непрерывные сплошные среды, не имеющие внутреннего строения.

. Течение жидкости принято изображать с помощью линий тока - это линии, в каждой точке которых вектора скоростей частиц жидкости направлены по касательной к ним. Для стационарного течения жидкости скорости ее частиц со временем не изменяются, и поэтому расположение линий тока также остается постоянным (рис.1.33,а)

Рис.1.33

В этих условиях удобно ввести понятие трубки тока. Для этого в плоскости перпендикулярной к линиям тока, выделяют внутри жидкости замкнутый контур и проводят через его точки линии тока, они и будут ограничивать объем жидкости, называемый трубкой тока (рис.1.33,а).

Жидкость, заключенная внутри трубки тока течет, не выходя за его пределы, перемешивания жидкости соседних трубок отсутствует. Причем для идеальной жидкости отсутствует и внутреннее трение между соседними трубками тока, а также и со стенками трубы, по которой она течет.

Для несжимаемой жидкости (ее плотность во всех точках одинакова и не зависит от времени, ) в условиях стационарного течения за равные промежутки времени через сечения 1 и 2 трубки тока пройдут одинаковые объемы жидкостей ( , рис.), что приводит к выполнению условия неразрывности потока жидкости

. (1.114)

1.7.2. Уравнение Бернулли.

Рассмотрим течение идеальной несжимаемой жидкости по трубке тока. Под действием сил давления , действующих внутри жидкости, большой объем , находящийся между сечениями 1 и 2, будет перемещаться и через малый промежуток времени займет положение между сечениями и (рис.1.33,б). При таком перемещении состояние большой части объема между сечениями и 2 не изменяется. Поэтому в условиях стационарного течения жидкости изменение энергии выделенного большого объема будет связано только с изменениями энергии, происходящими в малых объемах и (они заключены соответственно между сечениями 1 и , а также сечениями 2 и , рис.1.33,б).

Изменение кинетической энергии этих объемов и определяется работой сил тяжести и сил давления, действующих на выделенные объемы со стороны соседних слоев жидкости. Причем, работу совершают только силы давления и , перпендикулярные к сечениям 1 и трубки тока (остальные силы будут перпендикулярными к скорости движения жидкости и поэтому работу не совершают).

Учитывая малые размеры объемов и можно записать (рис.1.33,б)

. (1.115)

Введем в это уравнение плотность жидкости ( , , ) и давление, оказываемое жидкостью на сечения 1 и объемов и ( )

Учитывая произвольность выбираемого объема и сечений в трубке тока окончательно можно записать следующее уравнение

, (1.116)

которое получило название уравнения Бернулли.

Уравнение Бернулли справедливо для любых точек внутри жидкости, расположенных вдоль определенной линии тока. При переходе от одной линии к другой изменяется значения постоянной в формуле (1.116).

Отдельные слагаемые в уравнении Бернулли имеют размерность давления. Причем, принято называть давление гидростатическим давлением (оно обусловлено весом жидкости и, в частности, определяет ее давление на глубине ), давление - статическим давлением (оно не связано с движением жидкости), и давление - динамическим давлением (оно связано с движением жидкости).

Рис.1.34

Эти давления можно измерять с помощью приборов, называемых манометрами. В частности, для горизонтальной трубки тока (она располагается вдоль линии тока 1-2, ) полное давление внутри жидкости ( ) можно измерять с помощью изогнутой трубки, открытый конец которой направлен горизонтально вдоль линии тока. Тогда для одной линии тока в точках 1 (движение жидкости здесь невозмущенно, скорость жидкости равна ) и 2 (скорость жидкости здесь равна нулю ) полное давление будет одинаковым ( ). Поэтому высота поднятия жидкости в манометрической трубке будет определять полное давление (рис.1.34,а).

Для вертикальной трубки, открытый нижний конец которой параллелен линиям тока, высота поднятия жидкости в манометрической трубке будет определяться только статическим давлением . Это позволяет по измерениям и определять скорость протекания жидкости ( ).

В узких частях трубы скорость движения жидкости возрастает (формула (1.116)), что приводит к понижению статического давления жидкости (рис.1.34,а). Если скорость движения жидкости будет достаточно велика, для того, чтобы статическое давление стало меньше атмосферного давления ( ), то это приведет к тому, что поток жидкости приобретает всасывающее действие. Такое же явление можно наблюдать и для потока газа. На этом явлении основано действие водоструйного насоса, пульверизатора распылителя и т.д.

1.7.3. Примеры применения уравнения Бернулли.

Это уравнение используют для анализа течения жидкостей, для которых внутреннее трение является малым (работа сил трения по модулю значительно меньше работ сил, входящих в формулу (1.115)). В технических приложениях широко применяют обобщенное уравнение Бернулли. Его можно получить из уравнения (1.115), для этого в него дополнительно вводят работу сил трения и преодоления гидростатических сопротивлений, а также механическую работу жидкости или газа (работу компрессора или турбин).

Уравнение Бернулли применяют также для определения скорости истечения жидкости через узкое отверстие в широком сосуде. В качестве примера, найдем, с какой скоростью вытекает вода из широкого открытого бака через малое отверстие, сделанное на боковой стене бака у самого его дна (высота столба воды в баке равна , рис.1.34, б) Используем для этого уравнение Бернулли. Площадь открытой поверхности воды в баке значительно превышает площадь поверхности отверстия ( ). Следовательно, для произвольной линии тока скорость частиц жидкости в точке 1 и 2 значительно отличаются друг от друга ( ). Запишем уравнение Бернулли для точек 1 и 2 произвольно выбранной линии тока. Учитывая, что статические давления в точках 1 и 2 одинаковы и равны атмосферному давлению ( ), из формулы (1.116) можно записать

. (1.117)

Из полученной формулы следует, что скорость, с которой жидкость вытекает из отверстия, равна скорости тела, при его свободном падении с высоты .

1.7.4. Течение реальной жидкости.

При течении реальной жидкости нельзя пренебрегать силами внутреннего трения, которые действуют между соседними слоями жидкостей (это явление называют также вязкостью и оно рассматривается в разделе, посвященном явлениям переноса). Эти силы направлены по касательной к поверхности различных слоев жидкости, они замедляют скорость течения быстро движущихся слоев и ускоряют движение медленно движущихся слоев. Для слоя жидкости, примыкающего непосредственно к стенкам трубы скорость течения практически равна нулю. Затем по мере продвижения вглубь трубы скорость слоев жидкости нарастает и принимает максимальное значение в середине трубы (рис.1.34, в).

При ламинарном течении жидкости всё сечение трубы можно разбить на отдельные концентрические слои. Жидкость в них течет с определенной скоростью, перемешивание различных слоем жидкости не происходит. В этом случае распределение скоростей по сечению круглой трубы имеет параболический характер (рис.1.34,в). При некоторой предельной скорости течения жидкости ее движение принимает турбулентный (вихревой) характер, при котором происходит перемешивание жидкостей различных слоев (возникают вихревые течения). За счет этого распределение скорости внутри жидкости изменяется, становится более равномерным – около краев трубы оно быстро нарастает и в остальных сечениях трубы принимает постоянное значение (рис.1.34, г).