Уравнение совместности деформаций

Определение компонентов напряжений, возникающих вокруг горных выработок, является одной из основных задач механики горных пород. В двухмерной задаче необходимо для этого решить дифференциальные уравнения равновесия (2.27) или (2.28) таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия (2.32). Однако заметим, что компонентов напряжений три, а уравнений равновесия – два, то есть задача является статически неопределимой. Чтобы получить ее решение, необходимо рассмотреть упругую деформацию тела.

Соотношения Коши применительно к плоской задаче имеют следующий вид:

(2.33)

(2.34)

Заметим, что три компонента деформации выражаются через две функции u и v, то есть они не могут выбираться произвольно: между компонентами деформации должна существовать определенная взаимосвязь. Для того, чтобы установить ее, продифференцируем дважды первое из уравнений (2.33) по y, второе по x, а третье один раз по x, а второй - по y и получим следующее выражение:

(2.35)

Дифференциальное соотношение (2.35) называется уравнениемсовместности деформаций.Оно должно удовлетворяться при подстановке компонентов деформаций, чтобы обеспечить существование функций u и v, связанных с компонентами деформаций уравнениями (2.33).

Физически условие совместности деформаций можно объяснить следующим образом. Если прямоугольную пластину условно разделить на маленькие прямоугольники линиями, параллельными его сторонам, а потом деформировать ее и зафиксировать эти деформации, то, вырезав затем маленькие деформированные прямоугольники, сложить их обратно можно только зная зависимость, согласно которой деформации передаются от одного прямоугольника к смежному с ним. Эта зависимость и есть условие совместности деформаций.

Используя соотношения закона Гука для исследуемого вида плоского состояния, условие совместности может быть переписано в напряжениях. С незначительной погрешностью и для плоской деформации, и для плоского напряженного состояния [43] уравнение совместности, выраженное через компоненты напряжений, при отсутствии массовых сил или их постоянстве имеет вид

(2.36)

где - оператор Лапласа.

В полярной системе координат уравнение совместности может быть записано следующим образом:

(2.37).

Можно показать, что в случае полярно-симметричной расчетной схемы уравнения (2.36) и (2.37) сводятся к простому выражению

где р – интенсивность внешней нагрузки.

Уравнения равновесия и совместности деформаций позволяют решить задачу об определении компонентов поля напряжений в замкнутом виде.

Интересно отметить, что полученные уравнения не содержат механических характеристик материала. Это значит, что распределение напряжений в любых объектах, если форма их и внешние усилия совпадают, одинаковы для любых изотропных материалов. Данное заключение обладает большой важностью. Как будет показано далее, для некоторых прозрачных материалов, таких как целлулоид, агар-агар, желатин и др., напряжения можно определить экспериментально, используя поляризованный свет, а затем переносить полученные результаты на такие же по форме объекты, но сделанные из другого материала, например, стали, горной породы и т.п.

Контрольные вопросы и задания

1. Что называют «физически малым элементарным объемом»?

2. В чем суть соотношения Ф.С. Ясинского?

3. Назовите виды напряженного состояния.

4. Что такое «тензор напряжения» и «тензор деформации»?

5. Сформулируйте «закон упругого изменения объема» и «закон упругого изменения формы».

6. Запишите обобщенный закон Гука и соотношения Коши.

7. Чем отличается плоское напряженное состояние от плоско деформированного?

8. Запишите уравнение равновесия в прямоугольной системе координат, в полярной.

9. В чем состоит физический смысл уравнения совместности деформаций?

10. Как формулируются граничные условия в задачах геомеханики?

11. Как используют на практике факт отсутствия в уравнениях равновесия прочностных и деформационных характеристик?