Дифференциальные уравнения равновесия

Рассмотрим равновесие малого элементарного параллелепипеда с размерами вдоль осей X и Y соответственно ∆х, ∆у, b и толщиной, равной единице.

Обозначим площадки, на которых действуют напряжения, индексами 1,2,3,4. С учетом изменения напряжений в пространстве, напряжения, например, s_x для граней 1 и 3, не строго равны друг другу. Символы s_x, s_у, t_xy, относятся к т.О (x,y) в центре прямоугольника на рис. 2.9.

Рис. 2.9. К выводу дифференциальных уравнений равновесия в

системе прямоугольных координат

Значения напряжений посередине граней будем обозначать через (s_x)₁, (s_x)₃, и т.д. Поскольку грани прямоугольника малы, то усилия, приложенные к ним, определятся путем умножения соответствующих напряжений на площадь граней, по которым они действуют. Массовые силы в данном случае имеют тот же порядок, что и напряжения. Обозначим компоненты массовых сил через X и Y, тогда уравнение равновесия сил, действующих параллельно оси X, будет иметь вид:

,

или, после деления всех членов уравнения на ,

. (2.25)

Если теперь уменьшить размеры элементарного параллелепипеда, положив ®0 и ®0, то, согласно определению производной, предел выражения будет равен , а второй член уравнения (2.25) станет равным . Аналогичные выражения получим, проецируя все силы на ось Y.

Таким образом, будем иметь

(2.26)

Это и есть два дифференциальных уравнения равновесия для двухмерной плоской задачи.

Практически во всех задачах геомеханики единственной массовой силой является вес горных пород. Тогда, направив ось Y вниз и обозначив через γ объемный вес горных пород ( ), получим уравнения равновесия в следующем виде:

; . (2.27)

Очень многие задачи механики горных пород удобно решать в полярной системе координат (r, q), в которой компоненты напряжений имеют обозначения s_r,s_q и t_rq. (рис. 2.10).

Между напряжениями, записанными в полярной и прямоугольной системе координат, существуют следующие функциональные соотношения

(2.28)

.

Рис. 2.10. К выводу дифференциальных уравнений равновесия в полярных координатах

Подставляя (2.28) в (2.27), получим дифференциальное уравнение равновесия в полярной системе координат

,

(2.29)

.

В случае полярно-симметричной задачи (t_rq=0) и при отсутствии массовых сил (γ=0) уравнения равновесия (2.29) сводятся к одному, более простому

. (2.30)

Граничные условия

Уравнения равновесия должны удовлетворяться во всех точках исследуемого тела. При достижении границ области компоненты напряжений должны быть такими, чтобы они находились в равновесии с внешними силами, приложенными к границе. В силу этого внешние силы можно рассматривать как продолжение внутренних напряжений.

Рассмотрим малую треугольную призму, такую, что ее гипотенуза совпадает с границей тела (рис 2.11). Обозначим через и компоненты поверхностных сил Р, отнесенных к единице поверхности в этой точке границы. Уравнения равновесия будут иметь вид:

, , (2.31)

где l, m – направляющие косинусы нормали к границе.

В частном случае рассмотрения равновесия прямоугольной пластинки координатные оси обычно направляют параллельно граням пластинки и граничные условия (2.31) можно упростить. Пусть, например, одна из сторон пластинки параллельна оси X, тогда нормаль на этой части границы будет параллельна оси Y; отсюда l=0, m=1. Уравнения (2.31) в этом случае примут вид:

; (2.32)

причем знак (+) берется в том случае, если нормаль проведена в сторону положительных значений y; в противном случае берется знак (-). Из последних формул видно, что компоненты напряжений на границе равны компонентам поверхностных усилий, отнесенных к единице площади границы.