Теория:Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

a⊥AB	a⊥ABBC⊥BA}⇒a⊥CA

21. Справедлива также обратная теорема:

Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

a⊥AC	a⊥ACBC⊥BA}⇒a⊥BA

Из вершины S к плоскости квадрата ABCD проведен перпендикуляр BS и наклонные SA, SC и SD.

Назови все прямоугольные треугольники с вершиной S, обоснуй свой ответ.

ABCD квадрат, все углы которого равны по 900 градусов. 1. Грань ASB - прямоугольный треугольник, 2. Грань BSC - прямоугольный треугольник, т.к. BS - перпендикуляр к плоскости.

3. Грань DSC - прямоугольный треугольник, по теореме о трёх перпендикулярах: CD⊥BC,т.к.ABCD− квадрат.SB⊥BC,т.к.перпендикуляр}⇒CD⊥SC значит, ∢SCD=900 4. Грань ASD - прямоугольный треугольник, по теореме о трёх перпендикулярах: AD⊥AB,т.к.ABCD− квадратSB⊥AB,т.к.перпендикуляр}⇒AD⊥SA значит, ∢SAD=900 22. Перпендикулярные плоскости – основные сведения. Определение перпендикулярных плоскостей дается через угол между пересекающимися плоскостями. Определение.Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен девяноста градусам. Для обозначения перпендикулярности используют символ вида « ». То есть, если плоскости и перпендикулярны, то можно кратко записать . Если плоскости и перпендикулярны, то можно также сказать, что плоскость перпендикулярна к плоскости или плоскость перпендикулярна к плоскости . Поэтому перпендикулярные плоскости и часто называют взаимно перпендикулярными. 23. Перпендикулярность плоскостей – признак и условие перпендикулярности. Теорема.Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны. Теорема.Для перпендикулярности двух пересекающихся плоскостей необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы этих плоскостей были перпендикулярны. Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат. Если и - нормальные векторы плоскостей и соответственно, то необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и имеет вид . Таким образом, если и - нормальные векторы плоскостей и соответственно, то для перпендикулярности плоскостей и необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов и равнялось нулю, то есть, чтобы выполнялось равенство . 24. Расстояние между скрещивающимися прямыми – определение. В разделе взаимное расположение прямых в пространстве мы упоминали, что две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Теорема.Через каждую из скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, которой параллельна другая прямая. Доказательство. Отметим на прямой b некоторую точку Q. В статье параллельные прямые, параллельность прямых была доказана теорема, гласящая, что через произвольную точку пространстве проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой. Следовательно, через точку Q можно провести единственную прямую, параллельную прямой a. Обозначим ее a1. Признак параллельности прямой и плоскости позволяет утверждать, что прямая a параллельна плоскости (так как прямая a параллельна прямой a1, лежащей в плоскости ). Единственность плоскости следует из единственности прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой. Определение.Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние между одной из скрещивающихся прямых и параллельной ей плоскостью, проходящей через другую прямую. Определение.Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой. Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b. Отметим на прямой a некоторую точку М1, через прямую b проведем плоскость , параллельную прямой a, и из точки М1 опустим перпендикуляр М1H1 на плоскость . Длина перпендикуляра M1H1 есть расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.   25. Координаты точки Три попарно перпендикулярные прямые с выбранными направлениями и единицей измерения образуют систему координат в пространстве. Точка пересечения всех прямых является началом системы координат.     Оси координат Ox, Oy и Oz называются соответственно: Ox — ось абсцисс, Oy — ось ординат, Oz — ось аппликат. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. Получаем три координатные плоскости: (Oxy), (Oyz) и(Oxz).       Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами: x, y и z.     Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записываются так: A(x;y;z). Если точка находится на оси Ox, то её координаты X(x;0;0). Если точка находится на оси Oy, то её координаты Y(0;y;0). Если точка находится на оси Oz, то её координаты Z(0;0;z).   Если точка находится в плоскости Oxy, то её координаты A1(x;y;0). Если точка находится в плоскости Oyz, то её координаты A2(0;y;z). Если точка находится в плоскости Oxz, то её координаты A3(x;0;z).

26. Расстояние между двумя точками — это длина отрезка, что соединяет эти точки.

Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x_a, y_a) и B(x_b, y_b) на плоскости:

AB = √(x_b - x_a)² + (y_b - y_a)²

• Формула вычисления расстояния между двумя точками A(x_a, y_a, z_a) и B(x_b, y_b, z_b) в пространстве:

AB = √(x_b - x_a)² + (y_b - y_a)² + (z_b - z_a)²

27. Кординаты середины отрезка

28.

28.Центрально симметричные точки.

Если возьмём какую-нибудь точку О, проведём через неё прямую и отложим на этой прямой по разные стороны от точки O равные отрезки ОВ и ОС (черт. 231), то получим две точки В и С, центрально симметричные относительно точки О. Точка О называется центром симметрии этих точек.

Центрально симметричными относительно центра О называются две точки, которые лежат на одной прямой, проходящей через центр О, на равных расстояниях от центра О.

Если повернуть отрезок ОС вокруг точки О на 180°, то точки С и В совпадут. Две фигуры называются центрально симметричными относительно центра О, если при повороте одной из них вокруг этого центра на 180° они совместятся всеми своими точками.

29. Центрально симметричные отрезки.

Возьмём две пары центрально симметричных точек относительно точки О (черт. 232): ОВ = ОВ' и ОС = ОС'. Соединим отрезками точки В и С, В' и С'. Получим отрезки ВС и В'С', концы которых центрально симметричны относительно точки О.

Если повернём чертёж вокруг точки О на 180°, то точки В' и С' займут соответственно положение точек В и С. Отрезки В'С' и ВС совместятся, они центрально симметричны. Центрально симметричные отрезки равны.