III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить

Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник.
Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить, то начнутся колебания, которые будут затухать под действием силы трения маятника о плоскость, сопротивления среды и трения в подвесе маятника. Основной причиной в данном случае будет сила трения о плоскость; две другие силы трения несущественны и ими можно пренебречь. Силы, действующие на маятник в отклоненном положении, изображены на рис. 25. Их четыре: сила тяжести mg , сила N нормальной реакции плоскости, сила F трения о плоскость и сила Т натяжения подвеса. Сила трения связана с силой реакции плоскости законом Амонтона – Кулона:

III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru , (1)

где f –коэффициент трения.

Разложим силу тяжести на компоненты mg||, параллельную плоскости, и mg^, перпендикулярную плоскости. Сила N нормальной реакции уравновешивает компоненту mg^:

III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru ,

где γ – угол отклонения плоскости от вертикали.

Тогда для силы трения имеем:

III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru

Обозначим начальный угол отклонения маятника вдоль плоскости α0, максимальный угол в противоположную сторону (через половину периода) α1/2, угол отклонения через период α1. При медленном убывании амплитуды потери энергии за каждый период приблизительно одинаковы и III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru . За период точка касания маятником плоскости проходит путь:

III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru .

При этом сила трения совершает работу:

III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru . (2)

На величину этой работы уменьшается полная механическая энергия маятника. В крайних положениях эта энергия представлена только потенциальной компонентой mgh, поэтому:

III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru , (3)

где h0 и h1 – высоты подъема маятника в крайних положениях, соответствующие углам α0 и α1 соответственно.

Рисунок 26 – Связь высоты подъема и угла отклонения маятника.
Связь высоты подъема маятника с углом отклонения определим из рис. 26. В отклоненном положении центр тяжести маятника поднят вдоль плоскости на отрезок BD = AC = ℓ(1 – cosα) . Из треугольника BDE получаем:

III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru

III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru

Последнее приближенное равенство справедливо при малых углах, в этом случае III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru . Подставляя выражение для каждой из высот в уравнение (3) и учитывая формулу (2), получим:

III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru

III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru .

Сократив с обеих сторон равенства одинаковые множители и произведя преобразования, получим следующее выражение:

III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru . (4)

Рассмотрим n последовательных колебаний наклонного маятника. Формула аналогичная (4) будет справедлива для каждого из n периодов:

III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru . (5)

Здесь α1, α2 … αn – угловые амплитуды отклонения после второго, третьего... n-го периода колебаний. При сложении всех выражений (5) в правой части все промежуточные углы α2, α3 … αn–1 сократятся. После деления на число периодов п получим окончательную формулу для определения коэффициента трения:

III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru . (6)

Для маятника в виде шарика, катящегося без проскальзывания по наклонной платформе, основной диссипативной силой является сила трения качения Fтр.к. Тормозящий момент силы трения качения пропорционален силе нормальной реакции:

III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru , (7)

где f1 - коэффициент трения качения, имеющий размерность длины, R – радиус кривизны катящегося тела. Рассуждения, приведенные выше для трения скольжения, можно повторить для трения качения, используя вместо формулы (1) соотношение (7). При этом для коэффициента трения качения получим:

III. Методика измерений и расчетные формулы. Рисунок 25 – Силы, действующие на наклонный маятник. Если маятник массой m отклонить вдоль наклонной плоскости на некоторый угол α и отпустить - student2.ru . (8)

IV. Порядок выполнения работы.

Наши рекомендации