РАЗДЕЛ 1. Сжимаемая жидкость
Основные задачи
(для студентов)
Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации в области прикладных математики и физики в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, осуществляющих подготовку по направлению 511600 "Прикладные математика и физика" и другим родственным направлениям и специальностям
Москва
2004 г.
УДК 532.5 : 533.6 : 519.688
Рецензент
Кафедра гидроаэродинамики Санкт-Петербургского Политехнического Университета. Заведующий кафедрой профессор ЛАПИН Юрий Викторович
Кондранин Т.В., Ткаченко Б.К., Березникова М.В., Евдокимов А.В., Зуев А.П.,
Использование средств компьютерного моделирования в курсах механики жидкости и газа. Часть 2. Основные задачи (для студентов): Учебное пособие -
М.: МФТИ, 2004. – 119 с.
Учебное пособие разработано в рамках
межвузовской комплексной программы
«Наукоемкие технологии образования»
Авторы благодарят за помощь при выполнении работы
А.А.Аксенова
С.А.Бобкова
В.А.Волкова
Г.В.Ганина
В.В.Жмура
А.В.Зибарова
В.И.Кондаурова
С.С.Негодяева
М.В.Рыжакова
С.В.Утюжникова
АННОТАЦИЯ
В учебном пособии представлена технология использования средств компьютерного моделирования в курсах механики жидкости и газа на основе учебных версий прикладных программных пакетов Flow Vision и GasDynamics Tool. Рассматриваются математические модели и численные методы, положенные в основу программных средств. Приведены примеры задач по гидродинамике и газовой динамике с основными соотношениями и рекомендациями по численному моделированию.
Пособие рассчитано на студентов университетов и других ВУЗов, специализирующихся в области естественных наук.
Cодержание
Использование средств компьютерного моделирования в курсах механики жидкости и газа. Часть 2. Основные задачи (для студентов): Учебное пособие -.......... 2
Введение........................................................................... 8
РАЗДЕЛ 1. Математические модели и численные методы, используемые в учебных версиях гидродинамических ППП Ошибка! Закладка не определена.
ГЛАВА 1. ППП FlowVision Ошибка! Закладка не определена.
ГЛАВА 2. ППП Gas Dynamics Tool Ошибка! Закладка не определена.
РАЗДЕЛ 2. Особенности моделирования в пакете FlowVision Ошибка! Закладка не определена.
ГЛАВА 1. Алгоритм моделирования в пакете FlowVision Ошибка! Закладка не определена.
§1. Геометрический препроцессор (SolidWorks) Ошибка! Закладка не определена.
§2. Постановка физической задачи. Работа с препроцессором FlowVision. Ошибка! Закладка не определена.
§3. Подготовка к численному моделированию. Препроцессор FlowVision 2. Ошибка! Закладка не определена.
§4. Солвер — моделирование Ошибка! Закладка не определена.
§5. Подготовка к визуализации Ошибка! Закладка не определена.
§6. Визуализация скалярных полей Ошибка! Закладка не определена.
§7. Постпроцессор 3. Визуализация отдельных числовых значений Ошибка! Закладка не определена.
§8. Визуализация векторного поля скорости. Постпроцессор 4. Ошибка! Закладка не определена.
§9. Обобщение полученных результатов Ошибка! Закладка не определена.
ГЛАВА 2. Плоское течение Пуазейля Ошибка! Закладка не определена.
§1. Теоретическая часть Ошибка! Закладка не определена.
§2. Моделирование плоского течения Пуазейля с помощью FlowVision Ошибка! Закладка не определена.
§3. Задание...... Ошибка! Закладка не определена.
§4. Интерпретация полученных результатов: Ошибка! Закладка не определена.
ГЛАВА 3. Обтекание круглого цилиндра вязкой несжимаемой жидкостью Ошибка! Закладка не определена.
§1. Теоретическая часть Ошибка! Закладка не определена.
§2. Моделирование обтекания цилиндра с помощью FlowVision Ошибка! Закладка не определена.
§3. Задание...... Ошибка! Закладка не определена.
§4. Интерпретация полученных результатов: Ошибка! Закладка не определена.
ГЛАВА 4. Течения жидкости в расширяющихся и сужающихся каналах Ошибка! Закладка не определена.
§1. Теоретическая часть Ошибка! Закладка не определена.
§2. Моделирование течения в каналах с помощью FlowVision Ошибка! Закладка не определена.
§3. Задание...... Ошибка! Закладка не определена.
§4. Интерпретация полученных результатов: Ошибка! Закладка не определена.
ГЛАВА 5. Обтекание идеальной несжимаемой жидкостью эллиптического цилиндра и плоской пластины...................... Ошибка! Закладка не определена.
§1. Обтекание пластины Ошибка! Закладка не определена.
§2. Обтекание эллиптического цилиндра Ошибка! Закладка не определена.
§3. Моделирование обтекания эллипса (пластины) с помощью FlowVision Ошибка! Закладка не определена.
§4. Задание...... Ошибка! Закладка не определена.
§5. Интерпретация полученных результатов Ошибка! Закладка не определена.
§6. Контрольные вопросы. Ошибка! Закладка не определена.
ГЛАВА 6. Удар воздуха о торец цилиндра Ошибка! Закладка не определена.
§1. Что такое удар и присоединенная масса Ошибка! Закладка не определена.
§2. Основные соотношения для слабого удара Ошибка! Закладка не определена.
§3. Общий случай и линеаризация Ошибка! Закладка не определена.
§4. Общая постановка задачи. Ошибка! Закладка не определена.
§5. Задание. Моделирование удара с помощью FlowVision Ошибка! Закладка не определена.
РАЗДЕЛ 3. Особенности моделирования в пакете GasDynamics Tool Ошибка! Закладка не определена.
ГЛАВА 1. Основные понятия пакета GasDynamics Tool Ошибка! Закладка не определена.
ГЛАВА 2. Алгоритм моделирования в пакете GasDynamics Tool Ошибка! Закладка не определена.
§1. Выбор параметров пакета Ошибка! Закладка не определена.
§2. Визуализация с помощью постпроцессора Ошибка! Закладка не определена.
§3. Проведение расчетов Ошибка! Закладка не определена.
ГЛАВА 3. Прямая ударная волна Ошибка! Закладка не определена.
§1. Теоретическая часть Ошибка! Закладка не определена.
§2. Моделирование ударной волны Ошибка! Закладка не определена.
§3. Задание...... Ошибка! Закладка не определена.
ГЛАВА 4. Истечение из сопла. Ошибка! Закладка не определена.
§1. Основные понятия и соотношения. Ошибка! Закладка не определена.
§2. Постановка задачи. Ошибка! Закладка не определена.
ГЛАВА 5. Сверхзвуковой диффузор. Ошибка! Закладка не определена.
§1. Основные соотношения для расчета потерь полного давления в ударной волне Ошибка! Закладка не определена.
§2. Параметры численного моделирования многоскачкового диффузора Ошибка! Закладка не определена.
§3. Односкачковый диффузор Ошибка! Закладка не определена.
§4. Сравнение параметров с теоретическими значениями и интерпретация полученных результатов............... Ошибка! Закладка не определена.
ГЛАВА 6. Удар воздуха о торец цилиндра Ошибка! Закладка не определена.
§1. Теоретическая часть Ошибка! Закладка не определена.
§2. Решение задачи с помощью Gas Dynamics Tool Ошибка! Закладка не определена.
§3. Сравнение численных и теоретических значений. Ошибка! Закладка не определена.
ГЛАВА 7. Течения с подводом тепла и детонация (GDT) Ошибка! Закладка не определена.
§1. Основы теории. Ошибка! Закладка не определена.
Оценки параметров и диаграммное представление... Ошибка! Закладка не определена.
§2. Задание начальных, граничных условий и параметров расчета Ошибка! Закладка не определена.
§3. Сопоставление результатов расчетов Ошибка! Закладка не определена.
§4. Представление результатов Ошибка! Закладка не определена.
Заключение..................................................................... 49
Список литературы........................................................ 50
Введение
Предлагаемая образовательная технология, основанная на использовании широких информационныхвозможностей программных прикладных пакетов ППП FlowVision и GasDynamics Tool с разработанной методикой, сочетающей возможность теоретических и численных методов, является перспективной для преподавания курсов по механике жидкости и газа из-за наглядности исследуемых явлений. Методика используется на II и III курсе факультета аэрофизики и космических исследований Московского физико-технического института (государственного университета).
Механика жидкости и газа – одна из древнейших и сложнейших наук. Возможности, которые открылись в связи с развитием компьютерных технологий, сделали доступными расчеты, ранее немыслимые из-за их сложности. Большинство реальных физических процессов столь сложно, что редко удается рассматривать их только теоретически. Тем не менее, теория очень важна, т. к. дает качественные закономерности и точный ответ на многие вопросы; фактически только теория (и эксперимент) могут служить мерилом правильности численного моделирования. Возможности проведения численного эксперимента с использованием наукоемких пакетов прикладных программ позволят Вам в максимально наглядном виде (в установленных и обоснованных границах применимости) познакомиться со сложным физическим явлением.
При выполнении заданий необходимо в первую очередь внимательно изучить теоретическую часть, которая содержится в каждой главе при описании задач. Затем постараться понять ведущие факторы, которые в тот или иной отрезок времени определяют процесс, т.е. выбрать нужную математическую модель изучаемого процесса, в рамках компьютерного моделирования задать граничные и начальные условия и проводить расчеты с возможностью визуализации изучаемого процесса. В задании есть рекомендации относительно выбора как математической модели, так и граничных условий.
ППП GasDynamics Tool отличается от Flow Vision простотой интерфейса; для того, чтобы самостоятельно начать выполнять задания, достаточно часового инструктажа. Перечень задач с использованием GasDynamics Tool включает разделы, в которых можно обойтись без FlowVision. Преимуществом FlowVision является переменная расчетная сетка, возможность расчета медленных течений и трехмерная геометрия с использованием Solid Works.
Цель работы — за счет использования программных прикладных пакетов ППП решить поставленные задачи. Что значит решить? Получить численные значения искомых величин и сравнить их с теорией, объяснить различия, получить картины течений и дать объяснения наблюдаемым эффектам. Недостаточно просто заполнить таблицы, необходимо оформить небольшой научный отчет согласно пункту [Ошибка! Источник ссылки не найден.] с соответствующими комментариями к каждому результату.
Предлагаемые к использованию ППП GasDynamics Tool реализуют широкий спектр возможностей компьютерной визуализации. Решив все задачи этого раздела или их большую часть, Вы наверняка сможете самостоятельно моделировать и получать интересные результаты и представления в задаче, над которой Вы сейчас работаете. А самым главным результатом использования нашего пособия, должно стать умение пользоваться новым инструментом, правильно оформлять результаты и, наконец, представлять описываемые формулами явления.
Предлагаемое учебное пособие, позволит Вам изучать механику жидкости и газа, используя широкие информационныевозможности программных прикладных пакетов ППП FlowVision и Gas Dynamics Tool . Данное учебное пособие разрабатывалось в Московском физико-техническом институте (государственном университете) в течении трех лет на примере следующих курсов: «Введение в МСС», «Прикладная гидрогазодинамика», «Применение информатики в научных исследованиях» - 2 курс, «Механика сплошных сред» - 3 курс. Авторы считают, что подобная практика изучения предметных областей, связанных с наглядностью исследуемых явлений является новой и наиболее перспективной.
Механика жидкости и газа – как раз одна из таких наук. Возможности, которые открылись в связи с развитием компьютерных технологий, сделали доступными расчеты, ранее немыслимые из-за их сложности. Большинство реальных физических процессов столь сложно, что редко удается рассматривать их только теоретически. Тем не менее, теория очень важна, т. к. дает качественные закономерности и точный ответ на многие вопросы; фактически только теория (и эксперимент) могут служить мерилом правильности численного моделирования. Возможности проведения численного эксперимента с использованием наукоемких пакетов прикладных программ (в данном разделе рассматривается применение Flow Vision), позволит Вам в максимально наглядном виде (в установленных и обоснованных границах применимости) познакомиться со сложным физическим явлением.
При выполнении заданий необходимо в первую очередь внимательно изучить теоретическую часть, которая содержится в каждой главе при описании задач. Затем постараться понять ведущие факторы, которые в тот или иной отрезок времени определяют процесс, т.е. выбрать нужную математическую модель изучаемого процесса, в рамках компьютерного моделирования задать граничные и начальные условия и проводить расчеты с возможностью визуализации изучаемого процесса. В задании есть рекомендации относительно выбора, как математической модели, так и граничных условий. Если вы решаете задачу с помощью ППП Flow Vision впервые, лучше следовать указаниям в задании, а когда у Вас появится опыт работы с ППП, Вы можете более творчески подходить к заданию, выбирать другие граничные условия, проводить сравнения с рекомендуемыми и делать соответствующие выводы.
Цель вашей работы — за счет использования программных прикладных пакетов ППП решить поставленные задачи. Что значит решить? Получить численные значения искомых величин и сравнить их с теорией, объяснить различия, получить картины течений и дать объяснения наблюдаемым эффектам. Недостаточно просто заполнить таблицы, необходимо оформить небольшой научный отчет согласно пункту [Ошибка! Источник ссылки не найден.] с соответствующими комментариями к каждому результату.
Разработанная методика в сочетании с ППП – это инструмент для изучения сложных: нестационарных, трехмерных, двухфазных и др. процессов. Предлагаемые к использованию ППП FlowVision в полной мере реализуют широкий спектр компьютерной визуализации: от трехмерных графических изображений до мультимедийных. Решив все задачи этого раздела или их большую часть, Вы наверняка сможете самостоятельно моделировать и получать интересные результаты в задаче, над которой Вы сейчас работаете. А самым главным результатом использования нашего пособия, должно стать умение думать, объяснять, правильно оформлять свои мысли и, наконец, умение видеть за сухими формулами красивые и интересные явления.
Метод годографа
Используя теорию мелкой воды , где 
От переменных a и u перейдем к переменным х,t
Преобразование Годографа
; 
; 
; 
; 
;
n=1
волновое уравнение для сферически симметричного случая
В линеаризованномприближении
общее решение
1.
Нелинейные плоские волны
Уравнение для одномерного течения , массовыми силами пренебрегаем. 
;
Полная система характеристических уравнений:
Для изэнтропического течения S=const
;
на С+: 
на С-: 
Для политропного газа
на 
Простые волны
на (2.1.)
 |
Рис. 1‑1 Характеристики при движении поршня
 |
Рис. 1‑2
Для С0+, u=0, a=a0
Для С+, начинающихся на поршне
на 
но
С- 
или 
(2.3.)
В силу (2.3.) U=const на каждой С+
на 
(2.4.)
Характеристики, начинающиеся на поршне – прямые
§3. Граничные условия:
Скорость газа = скорость поршня
Если движение поршня x=X(t), то граничное условие имеет вид
при 
(2.5)
 |
Рис. 1‑3
Из (2.4.) уравнение характеристик, начинающихся на поршне
(2.6.)
на них 
; S=S0
C+ - не должны пересекаться!
 |
Рис. 1‑4
ГЛАВА 6. Поршень внезапно выдергивается со скоростью –V
Рис. 1‑5
Для С+, начинающихся на оси 
- покой 
Для С+, начинающихся на поршне 
Для С+, начинающихся в т. x=0, t=0 – веер характеристик
Из (2.4.) 
; 
на каждой характеристике
Кроме того
- справедливо везде, следует из С- с оси х
Рис. 1‑6
1. – покой, 
- – веер характеристик – переходная область
;
- область постоянного движения (однородная область)
Рис. 1‑7
Когда поршень выдергивается со скоростью большей скорости звука, поршень отрывается от газа, между поршнем и газом образуется вакуум.
|
 | ||
 |
Рис. 1‑8
ГЛАВА 7. Задача о разрушении плотины в теории мелкой воды:
 |
Рис. 1‑9
Начальные условия
при 
Для каждой С+, выходящей из области 
инвариант Римана имеет величину
Для С- 
 |
u>0
Рис. 1‑10 Форма волны после разрушения плотины
Задача 25.26 Написать уравнение неразрывности, уравнение движения и уравнение притока тепла для адиабатического движения идеальной сжимаемой жидкости с плоскими волнами.
· Имеют ли уравнения характеристическую форму?
· Получить, составляя линейные комбинации, систему уравнений в характеристической форме, эквивалентную исходной.
· Пусть движение баротропно, а массовые силы несущественны. Найти величины, которые постоянны вдоль характеристик.
Решение
 |
имеет характеристическую форму, если т.е. 
; для скорости характеристик 
, где 
, где 
вдоль характеристик 
вдоль характеристик 
В плоской звуковой волне распространяющейся вдоль оси х все величины зависят от x и t
Уравнение непрерывности 
;
Уравнение движения 
;
; (1)
; (2)
из (1) 
из (2) 
(3)
; 
;
(4)
вдоль характеристик
вдоль характеристик
Из (3) и (4) 
;
(5)
(6)
Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х;. для нее и = v + а.
Мы видели, что du/dr > 0. Таким образом, скорость распространения заданной точки профиля волны тем больше, чем больше плотность. Если обозначить посредством ао скорость звука для плотности, равновесной плотности 
, то в местах сжатия - 
, 
, в местах разряжения 
, 
Рис. 1‑11 Скорость перемещения профиля
Неодинаковость скорости перемещения точек профиля приводит к изменению его формы со временем: точки сжатия выдвигаются вперед, а точки разрежения оказываются отставшими (
Рис. 1‑11, б). В конце концов профиль волны может настолько выгнуться, что
Рис. 1‑11 в)) кривая 
становится неоднозначной (при заданном t) х соответствует три различных значения 
. Физически, разумеется, такое положение невозможно. В действительности, в местах неоднозначности возникают разрывы, в результате чего оказывается везде (за исключением самих точек разрыва) однозначной функцией.
После возникновения разрывов волна перестает быть простой. Наглядная причина этого заключается в том, что при наличии поверхностей разрыва происходит отражение волны от этих поверхностей, в результате чего волна перестает быть бегущей в одном направлении, а потому и лежащее в основе всего вывода предположение об однозначной зависимости между различными величинами не имеет, вообще говоря, места.
Решение
а) 
вдоль характеристик 
вдоль характеристик 
где 
- характеристики с уравнениями 
граничное условие: 
при
Х(t) – координата поршня
б) Предполагая решение непрерывным, применим метод характеристик.
Используя соотношения для характеристик, проходящих через точки оси х (х 
, t=0), получим, что v = 0, а = ао, р = ро всюду в области 
a,ot. Следовательно, граница Г возмущенной области перемещается со скоростью а.о и совпадает с характеристикой L+0.
На всех характеристиках L-, начинающихся в точках t = 0, х 
0 и пересекающих L+0, имеет место равенство: 
- всюду в области, примыкающей к L+0., поэтому на L+' величины v и а — постоянны, L+ — прямые. Это волна Римана.
в) Считая, что область волны Римана простирается до поршня, и используя граничное условие v = и на поршне, имеем:
 | |||
| |||
На L- 
На L+ 
Если поршень выдвигается из трубы, то граничное условие на поверхности поршня:
(1.1.)
При адиабатическом процессе в политропном газе
;
г) Так как a 0, то всюду, в том числе на поршне, должно быть 
, следовательно, полученное решение применимо при 
(u= 5ао при 
= 1,4). При 
давление на поршне равно 0. Если 
, то поршень отрывается от газа, между поршнем и газом образуется вакуум, скорость газа на границе с вакуумом равна по величине 
(скорость нестационарного истечения в вакуум). Она вычисляется из условия р = 0 на границе с вакуумом.
Рис. 1‑13 Картина характеристик при различных скоростях поршня.
д) Устремим t1 к нулю. Картина характеристик на плоскости (х, t) будет иметь вид, показанный на рис. 4-13. В области 
все характеристики проходят через начало координат, их уравнения
, 
Граница 
определится из одного из условий
пока 
при 
Заключение
В настоящем пособии описаны математические модели и численные методы, используемые в учебных версиях ППП FlowVision и GasDynamics ToolПредложены рекомендации студентам по решению классических задач, связанных с изучением газо- и гидродинамических явлений.
Описанные рекомендации и задания обладают достаточной универсальностью, чтобы применяться к широкому кругу учебных дисциплин многих ВУЗов — от фундаментальной гидродинамики, в которых основной упор делается на теоремы, до чисто прикладных — гидравлики и газодинамики, где рассматриваются готовые решения задач и эмпирические правила расчетов практически значимых величин.
Пособие позволяет в более короткие сроки освоить программные пакеты и использовать их не только в образовательных целях, но и для выполнения научно-исследовательских работ.
В целом, основываясь на опыте внедрения методики в МФТИ, мы надеемся на ее полезности и в других ВУЗах. Как показал опыт, методика полезна не только для будущих специалистов в области МЖГ, но и для других естественнонаучных специальностей.
В будущем предлагается дополнить разработанные методические материалы для ее использования в вузах соответствующего профиля с учетом особенностей последних. Просьба присылать отзывы, предложения, замечания в адрес редакции, они будут непременно учтены в последующих изданиях.
Список литературы
1. Л. Прандтль. Гидроаэромеханика. Москва–Ижевск: R&C Dynamics, 2000. — 576 с. (стр.228)
2. Л.Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа: Учеб. для вузов. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 840 с. (с. 494)
3. Р.В. Гольдштейн, В.А. Городцов. Механика сплошных сред. Часть1. Основы и классические модели жидкостей. М.: Наука. Физматлит, 2000. —256 с. (с. 187)
4. Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц. Гидродинамика. Т.6. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 736 с. (стр.89).
5. Л.М. Бреховских, В.В. Гончаров. Введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 1982. — 335 с. (с. 167).
6. Н.Е. Кочин, И.А. Кибель и Н.В. Розе. Теоретическая гидромеханика. Часть первая. Издание третье. М. и Л.: ОГИЗ Гос.издат.технико-технической литературы, 1948—612 с. (с. 270)
7. Н.Е. Кочин, И.А. Кибель и Н.В. Розе. Теоретическая гидромеханика.Часть вторая. Издание третье. М. и Л.: ОГИЗ Гос.издат.технико-технической литературы, 1948. —612 с. (с. 541)
8. М. Ван-Дайк. Альбом течений жидкости и газа. М.:Мир 1986. — 181 с. (с. 30)
9. С.В. Валландер Лекции по гидроаэромеханике. Л.:Издат. Ленинградского университета 1978. — 295 с. (с. 158)
Основные задачи
(для студентов)
Рекомендовано Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации в области прикладных математики и физики в качестве учебного пособия для студентов высших учебн