ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ; ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ; ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru << ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru мало , ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru (1)

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru (2)

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru (1.1.)

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru (1.2.)

(1.1.)- ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 2. ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru Теория мелкой воды

L

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ;

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

1. w- мало !

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru = 0 ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

На поверхности ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ; ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ;

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

(u,v)=(u1,u2); (x,y)= (x1,x2);

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

§1. Граничное условие на поверхности:

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

§2. Граничное условие на дне:

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

В этом приближении ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru от z не зависит

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 3. ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru Одномерный случай, дно ровное

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ;

Система близка к системе для сжимаемой жидкости

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ;

Идеальный газ

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ;

В дифференциальной форме записей уравнений теория мелкой воды совпадает с газовой динамикой с показателем

адиабаты ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Покажем, что при определенных условиях ускорением

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru в сравнении с g можно пренебречь

Рассмотрим движение в открытом канале в плоскости (x,z)

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ; ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ; ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ;

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru где ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 4. Одномерная газовая динамика

Метод годографа

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Используя теорию мелкой воды , где ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

От переменных a и u перейдем к переменным х,t

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Преобразование Годографа

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ; ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ; ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ; ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ; ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ;

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru n=1

волновое уравнение для сферически симметричного случая

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

В линеаризованномприближении

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

общее решение

1.

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru



ГЛАВА 5. Задача о движущемся поршне

Нелинейные плоские волны

Уравнение для одномерного течения , массовыми силами пренебрегаем. ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ;

Полная система характеристических уравнений:

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Для изэнтропического течения S=const

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ;

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru на С+: ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru на С-: ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Для политропного газа

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru на ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Простые волны

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru на ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru (2.1.)

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

 
  ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Рис. 1‑1 Характеристики при движении поршня

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

 
  ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Рис. 1‑2

Для С0+, u=0, a=a0

Для С+, начинающихся на поршне

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru на ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru но

С- ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru или ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru (2.3.)

В силу (2.3.) U=const на каждой С+

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru на ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru (2.4.)

Характеристики, начинающиеся на поршне – прямые

§3. Граничные условия:

Скорость газа = скорость поршня

Если движение поршня x=X(t), то граничное условие имеет вид

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru при ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru (2.5)

 
  ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Рис. 1‑3

Из (2.4.) уравнение характеристик, начинающихся на поршне

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru (2.6.)

на них ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ; S=S0

C+ - не должны пересекаться!

 
  ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Рис. 1‑4


ГЛАВА 6. Поршень внезапно выдергивается со скоростью –V

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Рис. 1‑5

Для С+, начинающихся на оси ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru - покой ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Для С+, начинающихся на поршне ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Для С+, начинающихся в т. x=0, t=0 – веер характеристик

Из (2.4.) ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ; ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru на каждой характеристике

Кроме того

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru - справедливо везде, следует из С- с оси х

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Рис. 1‑6

1. – покой, ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

  1. – веер характеристик – переходная область

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ; ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

  1. область постоянного движения (однородная область)



ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Рис. 1‑7

Когда поршень выдергивается со скоростью большей скорости звука, поршень отрывается от газа, между поршнем и газом образуется вакуум.

t
Характеристика С- не касается характеристики поршня, тогда

     
  ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru
 
    ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Рис. 1‑8

ГЛАВА 7. Задача о разрушении плотины в теории мелкой воды:

 
  ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Рис. 1‑9

Начальные условия

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru при ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Для каждой С+, выходящей из области ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru инвариант Римана имеет величину

Для С- ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

 
  ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

u>0

Рис. 1‑10 Форма волны после разрушения плотины

Задача 25.26 Написать уравнение неразрывности, уравнение движения и уравнение притока тепла для адиабатического движения идеальной сжимаемой жидкости с плоскими волнами.

· Имеют ли уравнения характеристическую форму?

· Получить, составляя линейные комбинации, систему уравнений в характеристической форме, эквивалентную исходной.

· Пусть движение баротропно, а массовые силы несущественны. Найти величины, которые постоянны вдоль характеристик.

Решение

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

 
  ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru имеет характеристическую форму, если

т.е. ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ; для скорости характеристик ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru , где ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru , где ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru вдоль характеристик ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru вдоль характеристик ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

В плоской звуковой волне распространяющейся вдоль оси х все величины зависят от x и t

Уравнение непрерывности ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ;

Уравнение движения ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ;

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ; (1)

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ; (2)

из (1) ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

из (2) ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru (3)

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ; ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ;

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru (4)

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru вдоль характеристик ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru вдоль характеристик ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Из (3) и (4) ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru ;

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

(5)

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

(6)

Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х;. для нее и = v + а.

Мы видели, что du/dr > 0. Таким образом, скорость распространения заданной точки профиля волны тем больше, чем больше плотность. Если обозначить посредством ао скорость звука для плотности, равновесной плотности ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru , то в местах сжатия - ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru , ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru , в местах разряжения ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru , ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

   

ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru

Рис. 1‑11 Скорость перемещения профиля

Неодинаковость скорости перемещения точек профиля приводит к изменению его формы со временем: точки сжатия выдвигаются вперед, а точки разрежения оказываются отставшими (

Рис. 1‑11, б). В конце концов профиль волны может настолько выгнуться, что

Рис. 1‑11 в)) кривая ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru становится неоднозначной (при заданном t) х соответствует три различных значения ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru . Физически, разумеется, такое положение невозможно. В действительности, в местах неоднозначности возникают разрывы, в результате чего ГЛАВА 1. Линеаризованное уравнение распространения звука - student2.ru оказывается везде (за исключением самих точек разрыва) однозначной функцией.

После возникновения разрывов волна перестает быть простой. Наглядная причина этого заключается в том, что при наличии поверхностей разрыва происходит отражение волны от этих поверхностей, в результате чего волна перестает быть бегущей в одном направлении, а потому и лежащее в основе всего вывода предположение об однозначной зависимости между различными величинами не имеет, вообще говоря, места.

Наши рекомендации