Основные числовые характеристики рядов динамики

Каждый динамический ряд состоит из n изменяющихся во времени значений экономического или иного показателя. В отличие от обычных вариационных рядов уровни рядов динамики местами менять нельзя, их положение фиксировано. Обычно первый член ряда называют начальным уровнем y0 или y1, а последний - конечным уровнем yn.

В качестве обобщенной числовой характеристики уровней ряда, изменяющихся во времени, служит средний уровень ряда Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru , называемый хронологической средней.

Так в интервальном ряду абсолютных величин с равными периодами ( интервалами ) времени средний уровень рассчитывается как простая средняя арифметическая:

Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru = ( y1 +y2 + ... +yn )/ n, (1)

где n - общее число уровней.

Аналогично рассчитывается средний уровень и в рядах средних величин, рассчитанных на основе интервальных рядов. Расчет среднего уровня для моментного ряда с n равноотстоящими во времени уровнями выполняют по формуле:

Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru = [( y1 + yn )/2 + y2 +y3 + ... +yn-1 ]/ (n-1). (2)

В случае неравных интервалов при осреднении каждому уровню ряда yi нужно придать вес, равный отношению соответствующего ему интервала времени ti к общему промежутку времени между конечным и начальным уровнями T = t1 +t2 +...+ tn:

Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru = ( y1×t1 + y2×t2 + ... + yn×tn )/ T. (3)

Каждый уровень ряда отличается от среднего уровня или, иначе, варьирует в соответствии с закономерностями, присущими изучаемому экономическому показателю. Естественно поэтому во временных рядах определять вариацию уровней ряда при помощи таких известных статистических характеристик, как среднее квадратическое отклонение:

sх = Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru (4)

или коэффициент вариации:

Vх = (sх/ Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru )×100%. (5)

Коэффициент вариации Vх можно использовать как относительный показатель, главным образом, для сопоставления колеблемости в нескольких рядах динамики, существенно различающимися масштабами средних величин своих уровней.

Наряду с этими обобщающими показателями, при изучении рядов динамики важно следить за направлением и размером изменений уровней во времени. С этой целью для временных рядов рассчитывают такие показатели, детализирующие процесс развития основной тенденции, как 1) темпы роста, 2) абсолютные приросты и 3) темпы прироста.

Темпы роста ( Тр ) - относительный показатель, являющийся результатом деления двух уровней одного ряда. В зависимости от выбора делителя yБАЗ, называемого базой сравнения, темпы роста могут рассчитываться как цепные, если каждый уровень соотносится с уровнем предыдущего периода:

Трi = yi/ yi-1. (6)

Когда все уровни ряда соотносятся с уровнем одного какого-то периода, принятого за базу сравнения, то темпы роста рассчитываются как базисные. Если базой служит начальный уровень, то

Трi = yi/ y0, (7)

но следует отметить, что базой сравнения может быть и любой другой уровень ряда динамики.

Цепные темпы роста характеризуют интенсивность развития изучаемого явления в каждом отдельном периоде, базисные - за любой промежуток времени между расчетным и базисным уровнями.

Как любые относительные величины, темпы роста могут выражаться в виде коэффициентов, простого отношения предыдущего уровня к последующему, если база сравнения принята за единицу, и в процентах, если база сравнения принята за 100%.

Между цепными и базисными темпами роста существует непосредственная связь, позволяющая, при необходимости, переходить от одних показателей к другим, и наоборот:

а) произведение последовательности n цепных темпов роста равно базисному темпу роста последнего уровня:

Трn = yn/ y0;

б) результат деления двух соседних базисных темпов роста равен цепному (промежуточному) темпу роста.

В дополнение к темпам роста при анализе динамики экономических показателей рассчитываются абсолютные приросты и темпы прироста.

Абсолютный прирост ( Dy) рассчитывают как разность между двумя уровнями ряда. Он показывает в единицах измерения уровней ряда на сколько единиц уровень одного периода с номером i больше или меньше уровня предшествующего периода и, следовательно, имеет знак плюс или минус.

Если вычитать из каждого i - го уровня предыдущий, то рассчитываются абсолютные приросты за отдельные периоды ряда:

Dyi = yi -yi-1. (8)

Если из каждого уровня вычитать начальный, то в этом случае получаем накопленные итоги прироста показателя Dy с начала изучаемого периода.

Для относительной оценки значений абсолютных приростов рассчитываются показатели темпов прироста.

Темп прироста ( Тпр ) - это относительный показатель, показывающий на сколько процентов один уровень с номером i больше (или меньше) другого, принимаемого за базу сравнения. Этот показатель можно рассчитать как процентное отношение абсолютного прироста к тому же базисному уровню, по сравнению с которым абсолютный прирост рассчитан:

Тпрi = (Dyi / yБАЗ)×100%. (9)

Другой способ определения темпа прироста связан с использованием величины не абсолютного прироста, а темпов роста из следующих соображений:

Тпрi = ( yi -yi-1)/ yi-1 = yi/ yi-1 -1 = Трi -1. (2.10)

Если темп роста рассчитан в процентах, то темп прироста получают вычитанием из темпа роста ста процентов.

Аналогично темпам роста темпы прироста могут рассчитываться как цепные при yБАЗ = уi-1 или как базисные при yБАЗ = y0.

Абсолютное значение 1% прироста ( a ) - это результат деления абсолютного прироста на темп прироста в процентах за

отдельный период с номером i :

ai = Dyi/ Тпрi. (11)

Абсолютное значение 1% прироста численно равняется одной сотой предыдущего уровня ряда:

ai = Dyi/ Тпрi = Dyi/ Тпрi = Dyi/( (Dyi/ yi-1)100%) = yi-1/100%.

Нетрудно видеть, что для базисных приростов и темпов прироста расчет этого показателя не имеет смысла.

Показатели прироста Dy и Тпр рассчитывают для каждого уровня ряда, начиная со второго, и они образуют новые, производные ряды динамики. Поэтому для них, в свою очередь, рассчитывают обобщающие показатели в виде средних величин:

- средний годовой абсолютный прирост ( Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru ) - это средняя арифметическая простая цепных абсолютных приростов:

Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru = ( Dy1 +Dy2 + ... + Dyn)/ n. (12)

Другой способ определения Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru можно получить на основе накопленного абсолютного прироста за n лет:

Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru = ( yn - y1)/ ( n -1), (13)

где (n -1) - длина периода, для которого рассчитывается средний абсолютный прирост.

- средний темп роста ( Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru ) - это средняя геометрическая индивидуальных цепных темпов роста, которые рассчитаны по отношению к предыдущему периоду:

Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru . (14)

Другой способ осреднения связан со свойствами цепных темпов

роста, для которых имеет место соотношение:

Тр1×Тр2 ××× Трn = (y1/y0)×(y2/y1) ×××(yn-1/yn-2)×(yn/yn-1) = yn/y0.

Если заменить все индивидуальные темпы роста на одну общую

среднюю величину Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru , то окажется, что Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru = yn/y0. Следовательно

Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru . (15)

Первый способ осреднения является более трудоемким для расчета и используется обычно в тех случаях, когда уже рассчитаны индивидуальные темпы роста. В тех случаях, когда имеются данные только об общем росте за расчетный период, то удобнее использовать второй способ.

Поскольку относительную величину yn/y0 = Тр1×Тр2 ××× Трn можно рассматривать как базисный темп роста, рассчитанный по отношению к начальному периоду, то формула ( 15 ) применима не только для уровней ряда, но для темпов роста этих уровней, рассчитанных по отношению к одной и той же базе. Величина Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru при этом зависит только от граничных значений уровней ряда. Поэтому, прежде чем рассматривать средний темп роста для изучаемого экономического явления за какой-либо период, нужно тщательно проанализировать его с точки зрения возможности замены им индивидуальных темпов роста. При наличии длительных и неодинаковых по характеру изменения периодов времени ряд динамики следует разбить на такие части, чтобы расчет Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru отражал эти тенденции.

- средний темп прироста ( Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru пр ) рассчитывают на основе осреднения индивидуальных темпов прироста:

Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru пр = ( Тпр1 + Тпр2 + ...+ Тпрn)/ n. (16)

Аналогично определению индивидуальных темпов прироста с использованием величины темпов роста, таким же образом можно связать и их осредненные величины:

Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru пр = Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru - 1. (2.17)

Если средний темп роста рассчитан в процентах, то средний темп прироста также получают вычитанием из среднего темпа роста ста процентов.

В таблице 5 приведен пример конкретного расчета числовых характеристик ряда динамики, отражающего объемы добычи нефти за 1975 - 1980 г.г.

Таблица 5

Показатели
Добыча нефти ( включая газовый кондесат), млн.т   490,8   519,7   545,8   571,5   586,0   603,2
Темпы роста базисные:            
коэффициенты 1,0 1,059 1,112 1,164 1,194 1,230
проценты 100,0 105,9 111,2 116,4 119,4 123,0
Темпы роста цепные:            
коэффициенты - 1,059 1,050 1,047 1,025 1,029
проценты - 105,9 105,0 104,7 102,5 102,9
Абсолютные приросты:            
по годам - 28,9 26,1 25,7 14,5 17,2
млн.т к 1975 г - 28,9 55,0 80,7 95,2 112,4
Темпы прироста:            
% по годам - 5,9 5,0 4,7 2,5 2,9
к 1975 г. - 5,9 11,2 16,4 19,4 33,0
Абсолютное значение 1%            
прироста, млн. т - 4,9 5,2 5,5 5,7 5,9

Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru = 22,48; Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru = 1,042; Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru пр = 4,2.

4 Методы анализа основной тенденции (тренда) в рядах динамики

Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития, присущей тому или иному ряду динамики. Например, за колебаниями урожайности какой-либо сельскохозяйственной культуры в отдельные годы тенденция роста (уменьшения) урожайности может не просматриваться непосредственно, и поэтому должна быть выявлена статистическими методами.

Методы анализа основной тенденции в рядах динамики разделяются на две основные группы:

1) сглаживание или механическое выравнивание отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;

2) выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду и одновременно освободила его от незначительных колебаний.

Рассмотрим методы каждой группы.

Метод укрупнения интервалов. Если рассматривать уровни экономических показателей за короткие промежутки времени, то в силу влияния различных факторов, действующих в разных направлениях, в рядах динамики наблюдается снижение и повышение этих уровней. Это мешает видеть основную тенденцию развития изучаемого явления. В этом случае для наглядного представления тренда применяется метод укрупнения интервалов, который основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы ²скользят² по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один и уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название - скользящая средняя.

Каждое звено скользящей средней - это средней уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода, если число уровней ряда динамики нечетное. Нахождение скользящей средней по четному числу членов рядов динамики несколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимися в середине интервала сглаживания. Например, средняя, найденная для четырех членов, относится к середине между вторым и третьим, третьим и четвертым уровнями и так далее. Чтобы ликвидировать такой сдвиг, применяют так называемый способ центрирования. Центрирование заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние нецентрированные по этим суммам и средние из двух смежных нецентрированных скользящих средних.

Рассмотрим расчет 5-летней и 4-летней скользящей средней на примере данных таб.6:

Таблица 6

Сглаживание урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1980-1995 гг.

методом скользящей средней

    Годы   Центнеров с га Скользящие пяти летние суммы Пятилетние скользящие средние Скользящие четыехлетние суммы Четырехлетние скользящие средние (нецентрированные) Четырехлетние скользящие средние (центрированные)
А
9,5 - - - - -
13,7 - - - - -
          12,3  
12,1 - 12,5 -   12,8
          13,2  
14,0 - 13,7 49,3   13,5
          13,7  
13,2 63,5 14,1 53,0   14,1
          14,6  
15,6 68,6 14,4 54,9   14,6
          14,6  
15,4 70,3 15,2 58,2   15,1
          15,7  
14,0 72,2 15,6 58,2   15,6
          15,6  
17,6 75,8 14,7 62,6   15,0
          14,5  
15,4 78,0 15,1 62,4   14,9
          15,3  
10,9 73,5 15,3 57,9   15,0
          14,7  
17,5 75,4 15,5 61,4   15,1
          15,5  
15,0 76,4 15,2 58,8   15,8
          16,3  
18,5 77,3 16,0 61,9   15,97
          15,65  
14,2 76,1 - 65,2   -
14,9 80,1 - 62,6   -

Недостаток метода простой скользящей средней состоит в том, что сглаженный ряд динамики сокращается ввиду невозможности получить сглаженные уровни для начала и конца ряда. Этот недостаток устраняется применением метода аналитического выравнивания для анализа основной тенденции.

Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде заданной функции времени Основные числовые характеристики рядов динамики - student2.ru = f(t) с неизвестными коэффициентами (параметрами). Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются различные функции: полиномы, степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды.

Наши рекомендации