Числовые характеристики вариационных рядов

Выборочное среднее

где – варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального ряда;

– частоты вариант или интервалов;

– частости вариант или интервалов.

Средняя отклонений вариантов от средней равна нулю:

Медианой (Md) вариационного ряда называется значение признака, приходящегося на середину ранжированного ряда наблюдений.

Для дискретного вариационного ряда с нечетным числом членов медиана равна серединному варианту, а для ряда с четным числом членов – полусумме двух серединных вариантов.

Для интервального вариационного ряда:

Модой (Mo) вариационного ряда называется варианта, которой соответствует наибольшая частота.

Для дискретного вариационного ряда мода находится по определению.

Для интервального вариационного ряда:

Абсолютные показатели вариации

Размах (R) – разность между наибольшим и наименьшим вариантами ряда:

Среднее линейное отклонение (d) – средняя арифметическая абсолютных величин отклонений вариантов от их средней:

Выборочная дисперсия ( ) – среднее арифметическое квадратов отклонений вариант от их выборочной средней:

где – варианты дискретного ряда или середины интервалов интервального ряда.

Для практических вычислений более удобной является формула:

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение):

Относительные показатели вариации

Коэффициент осцилляции:

Относительное линейное отклонение:

Коэффициент вариации:

Решение типовых задач

Теоремы сложения и умножения вероятностей

1) В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны последовательно достают два шара. Найти вероятность того, что:

а) шары будут одинакового цвета (шары возвращают в урну);

б) шары будут разных цветов (шары не возвращают в урну);

в) хотя бы один шар будет черным (шары не возвращают в урну).

Решение

а) Событие A – шары одинакового цвета.

Рассмотрим события:

A₁ = бб – первый шар белый и второй шар белый.

Аналогично:

A₂ = чч – первый шар черный и второй шар черный.

Событие A произойдет, если достанут 2 белых или 2 черных шара:

A = A₁ + A₂.

– вероятность достать второй раз белый шар не изменилась, так как шар вернули в урну. Аналогично:

По теореме сложения вероятностей для несовместных событий A₁ и A₂:

б) Событие B – шары разных цветов.

Рассмотрим события:

B₁ = бч; B₂ = чб.

Ясно, что B = B₁ + B₂;

– первый шар в урну не вернули, поэтому вероятность вычислена при условии, что первым достали белый шар.

в) Событие C – хотя бы один шар черный.

Противоположное событие:

– оба шара белых: .

первый шар не вернули в урну, поэтому вероятность вычислили при условии, что первым достали белый шар.

Ответ: а) ; б) ; в) .

2) В урне 5 белых и 10 черных шаров. Из урны последовательно достают все шары. Найти вероятность того, что:

а) третьим по порядку будет вынут черный шар;

б) из первых трех шаров хотя бы один шар будет черный.

Решение

а) Событие A – третьим по порядку будет черный шар.

Рассмотрим события:

A₁ = ббч – первый шар белый, второй шар белый, третий шар черный.

Аналогично:

A₂ = бчч; A₃ = чбч; A₄ = ччч.

Событие A произойдет, если произойдет любое из событий A₁, A₂, A₃, A₄:

A = A₁ + A₂ + A₃ + A₄.

Так как из урны последовательно достают все шары, то шары в урну не возвращают и при вычислении вероятности события A₁ = ббч рассчитываем условные вероятности того, что второй шар белый (при условии, что первый шар белый) и что третий шар черный (при условии, что первый шар белый и второй шар белый):

Аналогично:

По теореме сложения вероятностей для несовместных событий:

б) Пусть событие B – из первых трех шаров хотя бы один шар будет черным.

Противоположное событие:

– все три шара белые: .

Ответ: а) ; б) .

3) В урне 5 белых, 10 черных и 5 красных шаров. Три из них вынимают наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут одноцветными. Шары в урну не возвращают.

Решение

Событие A – по крайней мере два шара одноцветные.

Противоположное событие:

– все шара разного цвета.

Рассмотрим события:

A₁ = бчк – первый шар белый, второй шар черный, третий шар красный.

Аналогично:

A₂ = бкч; A₃ = чбк; A₄ = чкб; A₅ = кбч; A₆ = кчб.

Событие A произойдет, если произойдет любое из событий A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆:

A = A₁ + A₂ + A₃ + A₄ + A₅ + A₆.

Так как шары в урну не возвращают, то при вычислении вероятности события A₁ = бчк рассчитываем условные вероятности того, что второй шар черный (при условии, что первый шар белый) и что третий шар красный (при условии, что первый шар белый и второй шар черный):

Аналогично:

По теореме сложения вероятностей для несовместных событий:

Ответ: