Основные типы уравнений с частными производными второго порядка. Начальные и краевые условия. Задача Коши

Уравнение, связывающее неизвестную функцию нескольких переменных, ее частные производные и независимые переменные, называется уравнением в частных производных. Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, порядок уравнения определяется порядком старшей частной производной. Уравнение линейное, если оно первой степени относительно искомой функции и ее частных производных, и квазилинейное, если оно первой степени относительно старших производных. Чтобы составить себе представление о характере общего решения уравнения в частных производных, рассмотрим примеры.

Пример. Найти общее решение уравнения .

◄ Это уравнение 1-го порядка не содержит частной производной искомой функции двух переменных . Поэтому можно, фиксируя , рассматривать его как обыкновенное дифференциальное уравнение: , где – постоянная величина. Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными и . Решаем его: (вместо произвольной постоянной появляется произвольная функция , частная производная которой по аргументу равна нулю) – общее решение заданного уравнения. ►

Пример. Найти общее решение уравнения .

◄ Перепишем уравнение в виде: . Учитывая, что частная производная по какой-либо функции равна нулю только в том случае, если эта функция не зависит от , получаем: , где – произвольная функция переменной . Интегрируя полученное уравнение по переменной (при этом рассматривается как постоянная величина), получаем: , где и – произвольные функции переменных и соответственно. ►

Общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения с частными производными содержит, как правило, произвольные функции. Выделение частных решений (частных интегралов) производится путем задания соответствующих дополнительных условий, т. е. условий, налагаемых на искомую функцию нескольких переменных и/или ее частные производные.

Многие математические модели реальных физических, механических, технологических процессов включают дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, называемых уравнениями математической физики. Их вывод основывается на механических или физических законах.

Квазилинейное уравнение второго порядка относительно функции двух независимых переменных и имеет вид:

. (5.25)

Методы решения таких уравнений и характер описываемых этими уравнениями процессов зависят от того, к какому типу они относятся. Уравнение (5.25) является в точке (в некоторой области ):

· эллиптическим, если ,

· гиперболическим,если ,

· параболическим, если

в точке (соответственно во все точках области ).

Пример. Определить тип уравнения .

◄ В данном уравнении , , . Так как во всех точках, не лежащих на прямых и , то в любом открытом квадранте заданное уравнение имеет эллиптический тип. ►

Основными уравнениями математической физики являются следующие дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка (для случая функций двух независимых переменных):

1. Волновое уравнение (одномерное):

( – пространственная координата, – время). (5.26)

К такому уравнению приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, колебаний газа, крутильных колебаний вала и т. д. в отсутствии внешних сил. Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа.

2. Уравнение теплопроводности (одномерное):

. (5.27)

К такому уравнению приводит рассмотрение процессов распространения тепла в теле без источников тепла, фильтрации нефти и газа в пористой среде, диффузии частиц в среде и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа.

3. Уравнение Лапласа (двумерное):

. (5.28)

К такому уравнению приводит рассмотрение некоторых стационарных процессов в задачах электромагнетизма, о тепловом состоянии, диффузии, гидродинамики и т. д. Это уравнение является простейшим уравнением эллиптического типа.

В трехмерном случае уравнение Лапласа принимает вид:

, (5.29)

где – оператор Лапласа.

Как видно из приведенных выше примеров, решение уравнения в частных производных зависит, вообще говоря, от произвольных функций. При этом одно и то же уравнение может описывать совершенно различные процессы или состояния. Для однозначного описания определенного процесса или состояния каждая задача математической физики ставится как задача решения некоторого уравнения при определенных дополнительных условиях, которые в большинстве случаев диктуются ее физической постановкой. Так, например, для однозначного описания колебаний струны или стержня необходимо дополнительно задать смещение и скорость в каждой точке струны в начальный момент времени (начальные условия) и поведение струны на концах (краевые (или граничные) условия). Если же рассматривать неограниченную струну (неограниченно простирающуюся прямую, плоскость или пространство в общем случае для уравнений гиперболического и параболического типа), то краевые условия отпадают. Задача без таких условий носит название задачи Коши. В краевой задаче для уравнений эллиптического типа задаются граничные условия, а начальные условия отсутствуют. В смешанной задаче для уравнений гиперболического и параболического типа задаются и начальные и граничные условия.